Theorem jm3.1lem1 29319

Description: Lemma for jm3.1 29322. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm3.1.a	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.b	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.c	|- ( ph -> N e. NN )
jm3.1.d	|- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
jm3.1lem1	|- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Proof of Theorem jm3.1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelre 10863	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. RR )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> K e. RR )
4		jm3.1.c	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 10628	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	3, 5	reexpcld 12017	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
7		2z 10670	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 10867	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uz2mulcl 10924	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	9, 1, 10	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12		uz2m1nn 10921	. . . . 5 |- ( ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
14	13	nnred 10329	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR )
15	14, 5	reexpcld 12017	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) e. RR )
16		jm3.1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17		eluzelre 10863	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
18	16, 17	syl 16	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
19		uz2m1nn 10921	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( K - 1 ) e. NN )
20	1, 19	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. NN )
21	20	nngt0d 10357	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( K - 1 ) )
22		2cn 10384	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
23	3	recnd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. CC )
24		mulcl 9358	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ K e. CC ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
25	22, 23, 24	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
26		ax-1cn 9332	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
28	25, 27, 23	sub32d 9743	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) )
29	23	2timesd 10559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K + K ) )
30	29	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = ( ( K + K ) - K ) )
31	23, 23	pncand 9712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K + K ) - K ) = K )
32	30, 31	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = K )
33	32	oveq1d 6101	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
34	28, 33	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( K - 1 ) )
35	21, 34	breqtrrd 4313	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) )
36	3, 14	posdifd 9918	. . . 4 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) ) )
37	35, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) )
38		eluz2b2 10919	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. NN /\ 1 < K ) )
39	38	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
40	1, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
41	40	nnrpd 11018	. . . 4 |- ( ph -> K e. RR+ )
42	13	nnrpd 11018	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ )
43		rpexpmord 29242	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. RR+ /\ ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ ) -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
44	4, 41, 42, 43	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
45	37, 44	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) )
46	4	nnzd 10738	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
47	46	peano2zd 10742	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
48		frmy 29208	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
49	48	fovcl 6190	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
50	1, 47, 49	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
51	50	zred 10739	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. RR )
52		jm2.17a 29256	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
53	1, 5, 52	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
54		jm3.1.d	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )
55	15, 51, 18, 53, 54	letrd 9520	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ A )
56	6, 15, 18, 45, 55	ltletrd 9523	1 |- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ^cexp 11857   Y_rm crmy 29195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-numer 13805  df-denom 13806  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-squarenn 29135  df-pell1qr 29136  df-pell14qr 29137  df-pell1234qr 29138  df-pellfund 29139  df-rmx 29196  df-rmy 29197

This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  29320