Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem jm3.1lem1 30878
Description: Lemma for jm3.1 30881. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.b  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
jm3.1.d  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )

Proof of Theorem jm3.1lem1
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelre 11104 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4 jm3.1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10864 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
63, 5reexpcld 12307 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
7 2z 10908 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 11108 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 uz2mulcl 11171 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  K )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
119, 1, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
12 uz2m1nn 11168 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  K )  -  1 )  e.  NN )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  NN )
1413nnred 10563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
1514, 5reexpcld 12307 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  e.  RR )
16 jm3.1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
17 eluzelre 11104 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
19 uz2m1nn 11168 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
2120nngt0d 10591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  -  1 ) )
22 2cn 10618 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
233recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
24 mulcl 9588 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
2522, 23, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
26 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2825, 27, 23sub32d 9974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  -  K
)  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  K )  -  1 ) )
29232timesd 10793 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  =  ( K  +  K ) )
3029oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  K
)  =  ( ( K  +  K )  -  K ) )
3123, 23pncand 9943 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  -  K
)  =  K )
3230, 31eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  K
)  =  K )
3332oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  -  K )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
3428, 33eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  -  K
)  =  ( K  -  1 ) )
3521, 34breqtrrd 4479 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  K
)  -  1 )  -  K ) )
363, 14posdifd 10151 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  <->  0  <  ( ( ( 2  x.  K
)  -  1 )  -  K ) ) )
3735, 36mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  K  <  ( ( 2  x.  K )  -  1 ) )
38 eluz2b2 11166 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
3938simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
401, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4140nnrpd 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
4213nnrpd 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  RR+ )
43 rpexpmord 30803 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  e.  RR+ )  ->  ( K  <  ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  <->  ( K ^ N )  <  (
( ( 2  x.  K )  -  1 ) ^ N ) ) )
444, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  <  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  <-> 
( K ^ N
)  <  ( (
( 2  x.  K
)  -  1 ) ^ N ) ) )
4537, 44mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( 2  x.  K
)  -  1 ) ^ N ) )
464nnzd 10977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4746peano2zd 10981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
48 frmy 30769 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4948fovcl 6402 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
501, 47, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
5150zred 10978 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
52 jm2.17a 30817 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  K )  -  1 ) ^ N )  <_  ( K Yrm  ( N  +  1 ) ) )
531, 5, 52syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( K Yrm  ( N  +  1 ) ) )
54 jm3.1.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
5515, 51, 18, 53, 54letrd 9750 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  <_  A )
566, 15, 18, 45, 55ltletrd 9753 1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ^cexp 12146   Yrm crmy 30756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-squarenn 30696  df-pell1qr 30697  df-pell14qr 30698  df-pell1234qr 30699  df-pellfund 30700  df-rmx 30757  df-rmy 30758
This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  30879
  Copyright terms: Public domain W3C validator