Theorem jm3.1lem1 30878

Description: Lemma for jm3.1 30881. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm3.1.a	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.b	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.c	|- ( ph -> N e. NN )
jm3.1.d	|- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
jm3.1lem1	|- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Proof of Theorem jm3.1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelre 11104	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. RR )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> K e. RR )
4		jm3.1.c	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 10864	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	3, 5	reexpcld 12307	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
7		2z 10908	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 11108	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uz2mulcl 11171	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	9, 1, 10	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12		uz2m1nn 11168	. . . . 5 |- ( ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
14	13	nnred 10563	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR )
15	14, 5	reexpcld 12307	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) e. RR )
16		jm3.1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17		eluzelre 11104	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
18	16, 17	syl 16	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
19		uz2m1nn 11168	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( K - 1 ) e. NN )
20	1, 19	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. NN )
21	20	nngt0d 10591	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( K - 1 ) )
22		2cn 10618	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
23	3	recnd 9634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. CC )
24		mulcl 9588	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ K e. CC ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
25	22, 23, 24	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
26		ax-1cn 9562	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
28	25, 27, 23	sub32d 9974	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) )
29	23	2timesd 10793	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K + K ) )
30	29	oveq1d 6310	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = ( ( K + K ) - K ) )
31	23, 23	pncand 9943	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K + K ) - K ) = K )
32	30, 31	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = K )
33	32	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
34	28, 33	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( K - 1 ) )
35	21, 34	breqtrrd 4479	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) )
36	3, 14	posdifd 10151	. . . 4 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) ) )
37	35, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) )
38		eluz2b2 11166	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. NN /\ 1 < K ) )
39	38	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
40	1, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
41	40	nnrpd 11267	. . . 4 |- ( ph -> K e. RR+ )
42	13	nnrpd 11267	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ )
43		rpexpmord 30803	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. RR+ /\ ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ ) -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
44	4, 41, 42, 43	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
45	37, 44	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) )
46	4	nnzd 10977	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
47	46	peano2zd 10981	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
48		frmy 30769	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
49	48	fovcl 6402	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
50	1, 47, 49	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
51	50	zred 10978	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. RR )
52		jm2.17a 30817	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
53	1, 5, 52	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
54		jm3.1.d	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )
55	15, 51, 18, 53, 54	letrd 9750	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ A )
56	6, 15, 18, 45, 55	ltletrd 9753	1 |- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   < clt 9640   <_ cle 9641   - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ^cexp 12146   Y_rm crmy 30756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-squarenn 30696  df-pell1qr 30697  df-pell14qr 30698  df-pell1234qr 30699  df-pellfund 30700  df-rmx 30757  df-rmy 30758

This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  30879