Theorem jm3.1lem1 29534

Description: Lemma for jm3.1 29537. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm3.1.a	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.b	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.c	|- ( ph -> N e. NN )
jm3.1.d	|- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
jm3.1lem1	|- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Proof of Theorem jm3.1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelre 10985	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. RR )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> K e. RR )
4		jm3.1.c	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 10750	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	3, 5	reexpcld 12145	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
7		2z 10792	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 10989	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uz2mulcl 11046	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	9, 1, 10	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12		uz2m1nn 11043	. . . . 5 |- ( ( 2 x. K ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. NN )
14	13	nnred 10451	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR )
15	14, 5	reexpcld 12145	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) e. RR )
16		jm3.1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17		eluzelre 10985	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
18	16, 17	syl 16	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
19		uz2m1nn 11043	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( K - 1 ) e. NN )
20	1, 19	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. NN )
21	20	nngt0d 10479	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( K - 1 ) )
22		2cn 10506	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
23	3	recnd 9526	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. CC )
24		mulcl 9480	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ K e. CC ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
25	22, 23, 24	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
26		ax-1cn 9454	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
28	25, 27, 23	sub32d 9865	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) )
29	23	2timesd 10681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K + K ) )
30	29	oveq1d 6218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = ( ( K + K ) - K ) )
31	23, 23	pncand 9834	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K + K ) - K ) = K )
32	30, 31	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - K ) = K )
33	32	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - K ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
34	28, 33	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) = ( K - 1 ) )
35	21, 34	breqtrrd 4429	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) )
36	3, 14	posdifd 10040	. . . 4 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> 0 < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) - K ) ) )
37	35, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) )
38		eluz2b2 11041	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. NN /\ 1 < K ) )
39	38	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
40	1, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
41	40	nnrpd 11140	. . . 4 |- ( ph -> K e. RR+ )
42	13	nnrpd 11140	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ )
43		rpexpmord 29457	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. RR+ /\ ( ( 2 x. K ) - 1 ) e. RR+ ) -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
44	4, 41, 42, 43	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( K < ( ( 2 x. K ) - 1 ) <-> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) ) )
45	37, 44	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) < ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) )
46	4	nnzd 10860	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
47	46	peano2zd 10864	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
48		frmy 29423	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
49	48	fovcl 6308	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
50	1, 47, 49	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
51	50	zred 10861	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) e. RR )
52		jm2.17a 29471	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
53	1, 5, 52	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ ( K Yrm ( N + 1 ) ) )
54		jm3.1.d	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )
55	15, 51, 18, 53, 54	letrd 9642	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 1 ) ^ N ) <_ A )
56	6, 15, 18, 45, 55	ltletrd 9645	1 |- ( ph -> ( K ^ N ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   + caddc 9399   x. cmul 9401   < clt 9532   <_ cle 9533   - cmin 9709   NNcn 10436   2c2 10485   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   RR+crp 11105   ^cexp 11985   Y_rm crmy 29410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-dvds 13657  df-gcd 13812  df-numer 13934  df-denom 13935  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144  df-squarenn 29350  df-pell1qr 29351  df-pell14qr 29352  df-pell1234qr 29353  df-pellfund 29354  df-rmx 29411  df-rmy 29412

This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  29535