Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem jm3.1lem1 30934
Description: Lemma for jm3.1 30937. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.b  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
jm3.1.d  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )

Proof of Theorem jm3.1lem1
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelre 11100 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4 jm3.1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10858 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
63, 5reexpcld 12306 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
7 2z 10902 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 11104 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 uz2mulcl 11168 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  K )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
119, 1, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
12 uz2m1nn 11165 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  K )  -  1 )  e.  NN )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  NN )
1413nnred 10557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
1514, 5reexpcld 12306 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  e.  RR )
16 jm3.1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
17 eluzelre 11100 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
19 uz2m1nn 11165 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
2120nngt0d 10585 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  -  1 ) )
22 2cn 10612 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
233recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
24 mulcl 9579 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
2522, 23, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
26 1cnd 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2725, 26, 23sub32d 9968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  -  K
)  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  K )  -  1 ) )
28232timesd 10787 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  =  ( K  +  K ) )
2928oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  K
)  =  ( ( K  +  K )  -  K ) )
3023, 23pncand 9937 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  -  K
)  =  K )
3129, 30eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  K
)  =  K )
3231oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  -  K )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
3327, 32eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  -  K
)  =  ( K  -  1 ) )
3421, 33breqtrrd 4463 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  K
)  -  1 )  -  K ) )
353, 14posdifd 10145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  <->  0  <  ( ( ( 2  x.  K
)  -  1 )  -  K ) ) )
3634, 35mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  K  <  ( ( 2  x.  K )  -  1 ) )
37 eluz2nn 11128 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
381, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
3938nnrpd 11264 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
4013nnrpd 11264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  1 )  e.  RR+ )
41 rpexpmord 30859 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  e.  RR+ )  ->  ( K  <  ( ( 2  x.  K )  - 
1 )  <->  ( K ^ N )  <  (
( ( 2  x.  K )  -  1 ) ^ N ) ) )
424, 39, 40, 41syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  <  (
( 2  x.  K
)  -  1 )  <-> 
( K ^ N
)  <  ( (
( 2  x.  K
)  -  1 ) ^ N ) ) )
4336, 42mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( 2  x.  K
)  -  1 ) ^ N ) )
444nnzd 10973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4544peano2zd 10977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
46 frmy 30825 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4746fovcl 6392 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
481, 45, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
4948zred 10974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
50 jm2.17a 30873 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  K )  -  1 ) ^ N )  <_  ( K Yrm  ( N  +  1 ) ) )
511, 5, 50syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( K Yrm  ( N  +  1 ) ) )
52 jm3.1.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
5315, 49, 18, 51, 52letrd 9742 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
1 ) ^ N
)  <_  A )
546, 15, 18, 43, 53ltletrd 9745 1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10542   2c2 10591   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   RR+crp 11229   ^cexp 12145   Yrm crmy 30812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-numer 14145  df-denom 14146  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-squarenn 30752  df-pell1qr 30753  df-pell14qr 30754  df-pell1234qr 30755  df-pellfund 30756  df-rmx 30813  df-rmy 30814
This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  30935
  Copyright terms: Public domain W3C validator