Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Unicode version

Theorem jm2.27dlem2 31156
Description: Lemma for rmydioph 31160. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 
7  e.  ( 1 ... 10 ). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
jm2.27dlem2.2  |-  C  =  ( B  +  1 )
jm2.27dlem2.3  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2  |-  A  e.  ( 1 ... C
)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
2 elfzelz 11713 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  A  e.  ZZ
4 elfzle1 11714 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  1  <_  A )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  1  <_  A
63zrei 10891 . . . 4  |-  A  e.  RR
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5  |-  B  e.  NN
87nnrei 10565 . . . 4  |-  B  e.  RR
9 elfzle2 11715 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  <_  B )
101, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  A  <_  B
11 letrp1 10405 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
126, 8, 10, 11mp3an 1324 . . 3  |-  A  <_ 
( B  +  1 )
13 jm2.27dlem2.2 . . 3  |-  C  =  ( B  +  1 )
1412, 13breqtrri 4481 . 2  |-  A  <_  C
15 1z 10915 . . 3  |-  1  e.  ZZ
16 nnz 10907 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
17 peano2z 10926 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4  |-  ( B  +  1 )  e.  ZZ
1913, 18eqeltri 2541 . . 3  |-  C  e.  ZZ
20 elfz1 11702 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( 1 ... C )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C ) ) )
2115, 19, 20mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... C )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C
) )
223, 5, 14, 21mpbir3an 1178 1  |-  A  e.  ( 1 ... C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  rmydioph  31160  expdiophlem2  31168
  Copyright terms: Public domain W3C validator