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Theorem jm2.27c 35781
Description: Lemma for jm2.27 35782. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27c4  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
jm2.27c5  |-  D  =  ( A Xrm  B )
jm2.27c6  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
jm2.27c7  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c8  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c9  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
jm2.27c10  |-  H  =  ( G Yrm  B )
jm2.27c11  |-  I  =  ( G Xrm  B )
jm2.27c12  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
Assertion
Ref Expression
jm2.27c  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4  |-  D  =  ( A Xrm  B )
2 jm2.27a1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
43nnzd 11039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5 frmx 35680 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
65fovcl 6411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
B )  e.  NN0 )
72, 4, 6syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  B )  e. 
NN0 )
81, 7syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
9 jm2.27c7 . . . 4  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
10 2z 10969 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
1413nnzd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1512, 14eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  ZZ )
164, 15zmulcld 11046 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  ZZ )
1711, 16syl5eqel 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
18 zmulcl 10985 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
1910, 17, 18sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
20 frmy 35681 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2120fovcl 6411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
222, 19, 21syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
23 rmy0 35696 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
242, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
25 2nn 10767 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
2612, 13eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  NN )
273, 26nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  NN )
2811, 27syl5eqel 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
29 nnmulcl 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3025, 28, 29sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3130nnnn0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  Q ) )
33 0zd 10949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
34 lermy 35724 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
352, 33, 19, 34syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3632, 35mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
3724, 36eqbrtrrd 4443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
38 elnn0z 10950 . . . . 5  |-  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  e.  NN0  <->  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3922, 37, 38sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
409, 39syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
41 jm2.27c8 . . . 4  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
425fovcl 6411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
432, 19, 42syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
4441, 43syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
458, 40, 443jca 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0  /\  F  e.  NN0 ) )
46 2nn0 10886 . . . 4  |-  2  e.  NN0
47 jm2.27c9 . . . . 5  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
4844nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
4948sqvald 12412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
5044, 44nn0mulcld 10930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  NN0 )
5149, 50eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
52 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5453nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
5554nn0red 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5644nn0red 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
5756, 56remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  RR )
58 rmx1 35693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
592, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
6030nnge1d 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  x.  Q ) )
61 1nn0 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
63 lermxnn0 35719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  NN0  /\  ( 2  x.  Q )  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Xrm  1 )  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
642, 62, 31, 63syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
6560, 64mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6659, 65eqbrtrrd 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6766, 41syl6breqr 4461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  F )
6844nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  F )
69 rmxnn 35720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
702, 19, 69syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
7141, 70syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
7271nnge1d 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  F )
7356, 56, 68, 72lemulge12d 10545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  <_  ( F  x.  F ) )
7455, 56, 57, 67, 73letrd 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F  x.  F ) )
7574, 49breqtrrd 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F ^ 2 ) )
76 nn0sub 10920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7754, 51, 76syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7875, 77mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  NN0 )
7951, 78nn0mulcld 10930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )
80 uzaddcl 11215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )  -> 
( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
812, 79, 80syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8247, 81syl5eqel 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
83 eluznn0 11228 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  G  e.  NN0 )
8446, 82, 83sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
85 jm2.27c10 . . . 4  |-  H  =  ( G Yrm  B )
8620fovcl 6411 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Yrm 
B )  e.  ZZ )
8782, 4, 86syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e.  ZZ )
88 rmy0 35696 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
8982, 88syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
903nnnn0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
9190nn0ge0d 10928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
92 lermy 35724 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  B
) ) )
9382, 33, 4, 92syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
B ) ) )
9491, 93mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  B ) )
9589, 94eqbrtrrd 4443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G Yrm  B
) )
96 elnn0z 10950 . . . . 5  |-  ( ( G Yrm  B )  e.  NN0  <->  (
( G Yrm  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( G Yrm  B ) ) )
9787, 95, 96sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e. 
NN0 )
9885, 97syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
99 jm2.27c11 . . . 4  |-  I  =  ( G Xrm  B )
1005fovcl 6411 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Xrm 
B )  e.  NN0 )
10182, 4, 100syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Xrm  B )  e. 
NN0 )
10299, 101syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
10384, 98, 1023jca 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN0  /\  H  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )
104 jm2.27c12 . . . 4  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
105 iddvds 14303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( A Yrm  B ) )  e.  ZZ  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
10616, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
107106, 11syl6breqr 4461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q )
108 jm2.20nn 35771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( B  x.  ( A Yrm  B ) ) 
||  Q ) )
1092, 28, 3, 108syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q ) )
110107, 109mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
111 zsqcl 12344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  B )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11215, 111syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11320fovcl 6411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
Q )  e.  ZZ )
1142, 17, 113syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )
11510a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
116 dvdscmul 14316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
117112, 114, 115, 116syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
118110, 117mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) ) )
119 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ )
12010, 114, 119sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ )
1215fovcl 6411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
Q )  e.  NN0 )
1222, 17, 121syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e. 
NN0 )
123122nn0zd 11038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
124 dvdsmul1 14311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
125120, 123, 124syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
126 rmydbl 35707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
1272, 17, 126syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
128 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
129122nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  CC )
130114zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  CC )
131128, 129, 130mul32d 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm 
Q ) ) )
132127, 131eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
133125, 132breqtrrd 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
134 zmulcl 10985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
13510, 112, 134sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
136 dvdstr 14324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
137135, 120, 22, 136syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) ) ) )
138118, 133, 137mp2and 683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
13912oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )
140139oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
1419a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
142138, 140, 1413brtr4d 4451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) 
||  E )
1439, 22syl5eqel 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14430nngt0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  Q ) )
145 ltrmy 35721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
1462, 33, 19, 145syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
147144, 146mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
14824eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( A Yrm  0 ) )
149147, 148, 1413brtr4d 4451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
150 elnnz 10947 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  NN  <->  ( E  e.  ZZ  /\  0  < 
E ) )
151143, 149, 150sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
15213nnsqcld 12435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
153 nnmulcl 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
15425, 152, 153sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
155 nndivdvds 14298 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
156151, 154, 155syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
157142, 156mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  NN )
158 nnm1nn0 10911 . . . . 5  |-  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN  ->  (
( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
159157, 158syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
160104, 159syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
1611oveq1i 6311 . . . . . . . 8  |-  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )
162161a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 ) )
163139oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
164162, 163oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  B ) ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) ) )
165 rmxynorm 35685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
1662, 4, 165syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
167164, 166eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
16841oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( F ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
1699oveq1i 6311 . . . . . . . 8  |-  ( E ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
170169oveq2i 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^
2 ) )
171168, 170oveq12i 6313 . . . . . 6  |-  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )
172 rmxynorm 35685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
1732, 19, 172syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
174171, 173syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
175167, 174, 823jca 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
17699oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( I ^ 2 )  =  ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )
17785oveq1i 6311 . . . . . . . 8  |-  ( H ^ 2 )  =  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 )
178177oveq2i 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) )  =  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) )
179176, 178oveq12i 6313 . . . . . 6  |-  ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
180 rmxynorm 35685 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
18182, 4, 180syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
182179, 181syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
183104a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  1 ) )
184183oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
185143zcnd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
186154nncnd 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
187154nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =/=  0 )
188185, 186, 187divcld 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC )
189 ax-1cn 9597 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
190 npcan 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
191188, 189, 190sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
192184, 191eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
193192oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
194185, 186, 187divcan1d 10384 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  E )
195193, 194eqtr2d 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
19644nn0zd 11038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
19778nn0zd 11038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  ZZ )
198196, 197zmulcld 11046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
199 dvdsmul1 14311 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
200196, 198, 199syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
20147oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( G  -  A )  =  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)
20254nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
20379nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  CC )
204202, 203pncan2d 9988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20549oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( ( F  x.  F )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20678nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  CC )
20748, 48, 206mulassd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  F )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
208204, 205, 2073eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
209201, 208syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
210200, 209breqtrrd 4447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
211182, 195, 2103jca 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A ) ) )
212 zmulcl 10985 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
21310, 14, 212sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
214 eluzelz 11168 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2152, 214syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21679nn0zd 11038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
217 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
218 zsubcl 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
219217, 215, 218sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
220 zmulcl 10985 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  x.  ( 1  -  A
) )  e.  ZZ )
221217, 219, 220sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )
222 congid 35740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
223213, 215, 222syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
22451nn0zd 11038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
225217a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22613nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
227128, 226, 226mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C  x.  C ) ) )
228226sqvald 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
229228oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  x.  C
) ) )
230227, 229eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
231230, 142eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E )
232 muldvds1 14314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E  ->  ( 2  x.  C ) 
||  E ) )
233213, 14, 143, 232syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
)
234231, 233mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
235 zsqcl 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
236215, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
237 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
239238, 143zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ )
240 dvdsmultr2 14327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
241213, 239, 143, 240syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
242234, 241mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
243185sqvald 12412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
244243oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E
) ) )
245202sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
246 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
247245, 189, 246sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
248247, 185, 185mulassd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E ) ) )
249244, 248eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
250242, 249breqtrrd 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
25148sqcld 12413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
252185sqcld 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
253247, 252mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
254189a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
255 subsub23 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
256251, 253, 254, 255syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
257174, 256mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
258250, 257breqtrrd 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( F ^ 2 )  - 
1 ) )
259 congsub 35739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
260213, 224, 225, 215, 215, 258, 223, 259syl322anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
261 congmul 35736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  -  (
1  -  A ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
262213, 224, 225, 197, 219, 258, 260, 261syl322anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
263 congadd 35735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
)  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  -  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
264213, 215, 215, 216, 221, 223, 262, 263syl322anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
26547a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
266219zcnd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
267266mulid2d 9661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  A ) )
268267oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A ) ) )  =  ( A  +  ( 1  -  A ) ) )
269 pncan3 9883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
270202, 189, 269sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
271268, 270eqtr2d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
272265, 271oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  =  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  ( A  +  ( 1  x.  (
1  -  A ) ) ) ) )
273264, 272breqtrrd 4447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
274 jm2.15nn0 35777 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  A )  ||  (
( G Yrm  B )  -  ( A Yrm  B ) ) )
27582, 2, 90, 274syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( ( G Yrm 
B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
27685a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  B ) )
277276, 12oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
278275, 277breqtrrd 4447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( H  -  C ) )
279 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  G  e.  ZZ )
28082, 279syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
281280, 215zsubcld 11045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  e.  ZZ )
28285, 87syl5eqel 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
283282, 14zsubcld 11045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  e.  ZZ )
284 dvdstr 14324 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( G  -  A
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
||  ( G  -  A )  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C
) )  ->  F  ||  ( H  -  C
) ) )
285196, 281, 283, 284syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  ||  ( G  -  A
)  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C )
)  ->  F  ||  ( H  -  C )
) )
286210, 278, 285mp2and 683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
287 jm2.16nn0 35778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  B )  -  B ) )
28882, 90, 287syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  B )  -  B
) )
28985oveq1i 6311 . . . . . . . 8  |-  ( H  -  B )  =  ( ( G Yrm  B )  -  B )
290288, 289syl6breqr 4461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B ) )
291 peano2zm 10980 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
292280, 291syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
293282, 4zsubcld 11045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  -  B
)  e.  ZZ )
294 dvdstr 14324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  B ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) ) )
295213, 292, 293, 294syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B ) ) )
296273, 290, 295mp2and 683 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
297 rmygeid 35733 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  <_  ( A Yrm  B ) )
2982, 90, 297syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A Yrm  B
) )
299298, 12breqtrrd 4447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
300296, 299jca 534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) )
301273, 286, 300jca31 536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) )
302175, 211, 301jca31 536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) )
303160, 302jca 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  NN0  /\  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) )
30445, 103, 303jca31 536 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ^cexp 12271    || cdvds 14292   Xrm crmx 35667   Yrm crmy 35668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-numer 14671  df-denom 14672  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-squarenn 35605  df-pell1qr 35606  df-pell14qr 35607  df-pell1234qr 35608  df-pellfund 35609  df-rmx 35669  df-rmy 35670
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