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Theorem jm2.27c 30877
Description: Lemma for jm2.27 30878. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27c4  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
jm2.27c5  |-  D  =  ( A Xrm  B )
jm2.27c6  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
jm2.27c7  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c8  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c9  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
jm2.27c10  |-  H  =  ( G Yrm  B )
jm2.27c11  |-  I  =  ( G Xrm  B )
jm2.27c12  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
Assertion
Ref Expression
jm2.27c  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4  |-  D  =  ( A Xrm  B )
2 jm2.27a1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
43nnzd 10977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5 frmx 30777 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
65fovcl 6402 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
B )  e.  NN0 )
72, 4, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  B )  e. 
NN0 )
81, 7syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
9 jm2.27c7 . . . 4  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
10 2z 10908 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
1413nnzd 10977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1512, 14eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  ZZ )
164, 15zmulcld 10984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  ZZ )
1711, 16syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
18 zmulcl 10923 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
1910, 17, 18sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
20 frmy 30778 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2120fovcl 6402 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
222, 19, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
23 rmy0 30793 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
242, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
25 2nn 10705 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
2612, 13eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  NN )
273, 26nnmulcld 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  NN )
2811, 27syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
29 nnmulcl 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3025, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3130nnnn0d 10864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10867 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  Q ) )
33 0zd 10888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
34 lermy 30821 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
352, 33, 19, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3632, 35mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
3724, 36eqbrtrrd 4475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
38 elnn0z 10889 . . . . 5  |-  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  e.  NN0  <->  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3922, 37, 38sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
409, 39syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
41 jm2.27c8 . . . 4  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
425fovcl 6402 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
432, 19, 42syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
4441, 43syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
458, 40, 443jca 1176 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0  /\  F  e.  NN0 ) )
46 2nn0 10824 . . . 4  |-  2  e.  NN0
47 jm2.27c9 . . . . 5  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
4844nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
4948sqvald 12287 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
5044, 44nn0mulcld 10869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  NN0 )
5149, 50eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
52 eluz2b2 11166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
5352simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
542, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5554nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
5655nn0red 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5744nn0red 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
5857, 57remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  RR )
59 rmx1 30790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
602, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
6130nnge1d 10590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  x.  Q ) )
62 1nn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
64 lermxnn0 30816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  NN0  /\  ( 2  x.  Q )  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Xrm  1 )  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
652, 63, 31, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6760, 66eqbrtrrd 4475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6867, 41syl6breqr 4493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  F )
6944nn0ge0d 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  F )
70 rmxnn 30817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
712, 19, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
7241, 71syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
7372nnge1d 10590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  F )
7457, 57, 69, 73lemulge12d 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  <_  ( F  x.  F ) )
7556, 57, 58, 68, 74letrd 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F  x.  F ) )
7675, 49breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F ^ 2 ) )
77 nn0sub 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7855, 51, 77syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7976, 78mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  NN0 )
8051, 79nn0mulcld 10869 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )
81 uzaddcl 11149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )  -> 
( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
822, 80, 81syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8347, 82syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
84 eluznn0 11163 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  G  e.  NN0 )
8546, 83, 84sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
86 jm2.27c10 . . . 4  |-  H  =  ( G Yrm  B )
8720fovcl 6402 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Yrm 
B )  e.  ZZ )
8883, 4, 87syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e.  ZZ )
89 rmy0 30793 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
9083, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
913nnnn0d 10864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
9291nn0ge0d 10867 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
93 lermy 30821 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  B
) ) )
9483, 33, 4, 93syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
B ) ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  B ) )
9690, 95eqbrtrrd 4475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G Yrm  B
) )
97 elnn0z 10889 . . . . 5  |-  ( ( G Yrm  B )  e.  NN0  <->  (
( G Yrm  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( G Yrm  B ) ) )
9888, 96, 97sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e. 
NN0 )
9986, 98syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
100 jm2.27c11 . . . 4  |-  I  =  ( G Xrm  B )
1015fovcl 6402 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Xrm 
B )  e.  NN0 )
10283, 4, 101syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Xrm  B )  e. 
NN0 )
103100, 102syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
10485, 99, 1033jca 1176 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN0  /\  H  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )
105 jm2.27c12 . . . 4  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
106 iddvds 13875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( A Yrm  B ) )  e.  ZZ  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
10716, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
108107, 11syl6breqr 4493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q )
109 jm2.20nn 30867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( B  x.  ( A Yrm  B ) ) 
||  Q ) )
1102, 28, 3, 109syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q ) )
111108, 110mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
112 zsqcl 12218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  B )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11315, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11420fovcl 6402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
Q )  e.  ZZ )
1152, 17, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )
11610a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
117 dvdscmul 13888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
118113, 115, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
119111, 118mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) ) )
120 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ )
12110, 115, 120sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ )
1225fovcl 6402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
Q )  e.  NN0 )
1232, 17, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e. 
NN0 )
124123nn0zd 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
125 dvdsmul1 13883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
126121, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
127 rmydbl 30804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
1282, 17, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
129 2cnd 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
130123nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  CC )
131115zcnd 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  CC )
132129, 130, 131mul32d 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm 
Q ) ) )
133128, 132eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
134126, 133breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
135 zmulcl 10923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
13610, 113, 135sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
137 dvdstr 13895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
138136, 121, 22, 137syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) ) ) )
139119, 134, 138mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
14012oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )
141140oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
1429a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
143139, 141, 1423brtr4d 4483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) 
||  E )
1449, 22syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14530nngt0d 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  Q ) )
146 ltrmy 30818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
1472, 33, 19, 146syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
148145, 147mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
14924eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( A Yrm  0 ) )
150148, 149, 1423brtr4d 4483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
151 elnnz 10886 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  NN  <->  ( E  e.  ZZ  /\  0  < 
E ) )
152144, 150, 151sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
15313nnsqcld 12310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
154 nnmulcl 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
15525, 153, 154sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
156 nndivdvds 13870 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
157152, 155, 156syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
158143, 157mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  NN )
159 nnm1nn0 10849 . . . . 5  |-  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN  ->  (
( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
160158, 159syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
161105, 160syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
1621oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )
163162a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 ) )
164140oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
165163, 164oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  B ) ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) ) )
166 rmxynorm 30782 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
1672, 4, 166syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
168165, 167eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
16941oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( F ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
1709oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( E ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
171170oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^
2 ) )
172169, 171oveq12i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )
173 rmxynorm 30782 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
1742, 19, 173syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
175172, 174syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
176168, 175, 833jca 1176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
177100oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( I ^ 2 )  =  ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )
17886oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( H ^ 2 )  =  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 )
179178oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) )  =  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) )
180177, 179oveq12i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
181 rmxynorm 30782 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
18283, 4, 181syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
183180, 182syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
184105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  1 ) )
185184oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
186144zcnd 10979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
187155nncnd 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
188155nnne0d 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =/=  0 )
189186, 187, 188divcld 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC )
190 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
191 npcan 9841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
192189, 190, 191sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
193185, 192eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
194193oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
195186, 187, 188divcan1d 10333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  E )
196194, 195eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
19744nn0zd 10976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
19879nn0zd 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  ZZ )
199197, 198zmulcld 10984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
200 dvdsmul1 13883 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
201197, 199, 200syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
20247oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( G  -  A )  =  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)
20355nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
20480nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  CC )
205203, 204pncan2d 9944 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20649oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( ( F  x.  F )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20779nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  CC )
20848, 48, 207mulassd 9631 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  F )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
209205, 206, 2083eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
210202, 209syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
211201, 210breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
212183, 196, 2113jca 1176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A ) ) )
213 zmulcl 10923 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
21410, 14, 213sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
215 eluzelz 11103 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2162, 215syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21780nn0zd 10976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
218 1z 10906 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
219 zsubcl 10917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
220218, 216, 219sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
221 zmulcl 10923 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  x.  ( 1  -  A
) )  e.  ZZ )
222218, 220, 221sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )
223 congid 30837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
224214, 216, 223syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
22551nn0zd 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
226218a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22713nncnd 10564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
228129, 227, 227mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C  x.  C ) ) )
229227sqvald 12287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
230229oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  x.  C
) ) )
231228, 230eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
232231, 143eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E )
233 muldvds1 13886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E  ->  ( 2  x.  C ) 
||  E ) )
234214, 14, 144, 233syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
)
235232, 234mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
236 zsqcl 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
237216, 236syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
238 peano2zm 10918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
239237, 238syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
240239, 144zmulcld 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ )
241 dvdsmultr2 13897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
242214, 240, 144, 241syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
243235, 242mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
244186sqvald 12287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
245244oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E
) ) )
246203sqcld 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
247 subcl 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
248246, 190, 247sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
249248, 186, 186mulassd 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E ) ) )
250245, 249eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
251243, 250breqtrrd 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
25248sqcld 12288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
253186sqcld 12288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
254248, 253mulcld 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
255190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
256 subsub23 9837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
257252, 254, 255, 256syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
258175, 257mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
259251, 258breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( F ^ 2 )  - 
1 ) )
260 congsub 30836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
261214, 225, 226, 216, 216, 259, 224, 260syl322anc 1256 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
262 congmul 30833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  -  (
1  -  A ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
263214, 225, 226, 198, 220, 259, 261, 262syl322anc 1256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
264 congadd 30832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
)  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  -  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
265214, 216, 216, 217, 222, 224, 263, 264syl322anc 1256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
26647a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
267220zcnd 10979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
268267mulid2d 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  A ) )
269268oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A ) ) )  =  ( A  +  ( 1  -  A ) ) )
270 pncan3 9840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
271203, 190, 270sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
272269, 271eqtr2d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
273266, 272oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  =  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  ( A  +  ( 1  x.  (
1  -  A ) ) ) ) )
274265, 273breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
275 jm2.15nn0 30873 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  A )  ||  (
( G Yrm  B )  -  ( A Yrm  B ) ) )
27683, 2, 91, 275syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( ( G Yrm 
B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
27786a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  B ) )
278277, 12oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
279276, 278breqtrrd 4479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( H  -  C ) )
280 eluzelz 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  G  e.  ZZ )
28183, 280syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
282281, 216zsubcld 10983 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  e.  ZZ )
28386, 88syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
284283, 14zsubcld 10983 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  e.  ZZ )
285 dvdstr 13895 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( G  -  A
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
||  ( G  -  A )  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C
) )  ->  F  ||  ( H  -  C
) ) )
286197, 282, 284, 285syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  ||  ( G  -  A
)  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C )
)  ->  F  ||  ( H  -  C )
) )
287211, 279, 286mp2and 679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
288 jm2.16nn0 30874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  B )  -  B ) )
28983, 91, 288syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  B )  -  B
) )
29086oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( H  -  B )  =  ( ( G Yrm  B )  -  B )
291289, 290syl6breqr 4493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B ) )
292 peano2zm 10918 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
293281, 292syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
294283, 4zsubcld 10983 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  -  B
)  e.  ZZ )
295 dvdstr 13895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  B ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) ) )
296214, 293, 294, 295syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B ) ) )
297274, 291, 296mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
298 rmygeid 30830 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  <_  ( A Yrm  B ) )
2992, 91, 298syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A Yrm  B
) )
300299, 12breqtrrd 4479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
301297, 300jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) )
302274, 287, 301jca31 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) )
303176, 212, 302jca31 534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) )
304161, 303jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  NN0  /\  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) )
30545, 104, 304jca31 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ^cexp 12146    || cdivides 13864   Xrm crmx 30764   Yrm crmy 30765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-prm 14094  df-numer 14144  df-denom 14145  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-squarenn 30705  df-pell1qr 30706  df-pell14qr 30707  df-pell1234qr 30708  df-pellfund 30709  df-rmx 30766  df-rmy 30767
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