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Theorem jm2.27a 35322
Description: Lemma for jm2.27 35325. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27a4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
jm2.27a5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
jm2.27a6  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
jm2.27a7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
jm2.27a8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
jm2.27a9  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
jm2.27a10  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
jm2.27a11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a12  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a13  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a14  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a15  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
jm2.27a16  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
jm2.27a17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
jm2.27a18  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
jm2.27a19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
jm2.27a20  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
jm2.27a21  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
jm2.27a22  |-  ( ph  ->  D  =  ( A Xrm  P ) )
jm2.27a23  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
jm2.27a24  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
jm2.27a25  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
jm2.27a26  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
jm2.27a27  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
jm2.27a28  |-  ( ph  ->  I  =  ( G Xrm  R ) )
jm2.27a29  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
Assertion
Ref Expression
jm2.27a  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
2 2z 10939 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
43nnzd 11009 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
5 zmulcl 10955 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
62, 4, 5sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
7 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
87nnzd 11009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
9 jm2.27a27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
10 jm2.27a21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
1211nn0zd 11008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
14 congsym 35280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
1811nn0ge0d 10898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  H )
19 rmy0 35239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
2221eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  =  H )
2318, 20, 223brtr4d 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  R ) )
24 0zd 10919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
25 lermy 35267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  R
) ) )
2617, 24, 9, 25syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
R ) ) )
2723, 26mpbird 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
28 elnn0z 10920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  ZZ  /\  0  <_  R ) )
299, 27, 28sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
30 jm2.16nn0 35321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  R )  -  R ) )
3117, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3221oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3331, 32breqtrrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R ) )
34 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
3534nn0zd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
36 peano2zm 10950 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3812, 9zsubcld 11015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  e.  ZZ )
39 dvdstr 14229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  R
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  R ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) ) )
406, 37, 38, 39syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )
4116, 33, 40mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) )
42 congtr 35277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( H  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H )  /\  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )  ->  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )
)
436, 8, 12, 9, 15, 41, 42syl222anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  R ) )
4443orcd 392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) ) )
45 jm2.27a24 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
46 zmulcl 10955 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
472, 45, 46sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
48 zsqcl 12285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
494, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
50 dvdsmul2 14217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
512, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
52 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
5352nn0zd 11008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5453peano2zd 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
55 zmulcl 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
562, 49, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
57 dvdsmultr2 14232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( J  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5951, 58mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
601oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) )
61 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
62 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
6361, 62eqtr3d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( A Yrm  Q ) )
6459, 60, 633brtr3d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
65 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6654zred 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  RR )
6756zred 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
68 nn0p1nn 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
6952, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7069nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( J  +  1 ) )
71 2nn 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
723nnsqcld 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
73 nnmulcl 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7471, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7574nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
7666, 67, 70, 75mulgt0d 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
7776, 61breqtrrd 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  E )
78 rmy0 35239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7965, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8062eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  =  E )
8177, 79, 803brtr4d 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  Q ) )
82 ltrmy 35264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  Q ) ) )
8365, 24, 45, 82syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
Q ) ) )
8481, 83mpbird 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
85 elnnz 10917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  NN  <->  ( Q  e.  ZZ  /\  0  < 
Q ) )
8645, 84, 85sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
873nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  C )
881eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  =  C )
8987, 79, 883brtr4d 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  P ) )
90 ltrmy 35264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  P ) ) )
9165, 24, 10, 90syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
P ) ) )
9289, 91mpbird 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  P )
93 elnnz 10917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
9410, 92, 93sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
95 jm2.20nn 35314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q ) )
9665, 86, 94, 95syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q ) )
9764, 96mpbid 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q )
981, 4eqeltrrd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )
99 muldvds2 14220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q  ->  ( A Yrm  P ) 
||  Q ) )
10010, 98, 45, 99syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q  ->  ( A Yrm 
P )  ||  Q
) )
10197, 100mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  ||  Q )
1021, 101eqbrtrd 4417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  ||  Q )
1032a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
104 dvdscmul 14221 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  Q  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( 2  x.  Q ) ) )
1054, 45, 103, 104syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  ||  Q  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) ) )
106102, 105mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) )
107 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
108 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
109108nn0zd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
110107, 109eqeltrrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
111 frmy 35224 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
112111fovcl 6390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )
11365, 9, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  R )  e.  ZZ )
11421, 12eqeltrrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  e.  ZZ )
115 eluzelz 11138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
11665, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
118 congsym 35280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  G  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
119109, 35, 116, 117, 118syl22anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
120107, 119eqbrtrrd 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G
) )
121 jm2.15nn0 35320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( A  -  G )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
12265, 17, 29, 121syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )
123116, 35zsubcld 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  e.  ZZ )
124113, 114zsubcld 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  e.  ZZ )
125 dvdstr 14229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A  -  G )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm 
R ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  Q ) 
||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )  ->  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
126110, 123, 124, 125syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )  ->  ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
127120, 122, 126mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
128 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
12921, 1oveq12d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
130128, 107, 1293brtr3d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
131 congtr 35277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )  /\  ( ( G Yrm  R )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  /\  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) ) )  ->  ( A Xrm  Q
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
132110, 113, 114, 98, 127, 130, 131syl222anc 1248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
133132orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) ) )
134 jm2.26 35319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  Q  e.  NN )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm 
P ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )
13565, 86, 9, 10, 134syl22anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) )  <->  ( (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  -u P ) ) ) )
136133, 135mpbid 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
137 dvdsacongtr 35296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  Q )  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q )  /\  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )  ->  (
( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  C ) 
||  ( R  -  -u P ) ) )
13847, 9, 10, 6, 106, 136, 137syl222anc 1248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
139 acongtr 35290 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  -u P
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) )
1406, 8, 9, 10, 44, 138, 139syl222anc 1248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) )
1417nnnn0d 10895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
1423nnnn0d 10895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
143 jm2.27a20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
144 elfz2nn0 11826 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... C )  <->  ( B  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  B  <_  C ) )
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 ... C ) )
14694nnnn0d 10895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
147 rmygeid 35276 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  <_  ( A Yrm  P ) )
14865, 146, 147syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  <_  ( A Yrm  P
) )
149148, 1breqtrrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  <_  C )
150 elfz2nn0 11826 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( 0 ... C )  <->  ( P  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  P  <_  C ) )
151146, 142, 149, 150syl3anbrc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... C ) )
152 acongeq 35295 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... C )  /\  P  e.  ( 0 ... C ) )  ->  ( B  =  P  <->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) ) )
1533, 145, 151, 152syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =  P  <-> 
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) ) )
154140, 153mpbird 234 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  P )
155154oveq2d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  =  ( A Yrm  P ) )
1561, 155eqtr4d 2448 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728   ^cexp 12212    || cdvds 14197   Xrm crmx 35210   Yrm crmy 35211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-numer 14479  df-denom 14480  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-squarenn 35151  df-pell1qr 35152  df-pell14qr 35153  df-pell1234qr 35154  df-pellfund 35155  df-rmx 35212  df-rmy 35213
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