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Theorem jm2.27a 29328
Description: Lemma for jm2.27 29331. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27a4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
jm2.27a5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
jm2.27a6  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
jm2.27a7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
jm2.27a8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
jm2.27a9  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
jm2.27a10  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
jm2.27a11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a12  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a13  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a14  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a15  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
jm2.27a16  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
jm2.27a17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
jm2.27a18  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
jm2.27a19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
jm2.27a20  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
jm2.27a21  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
jm2.27a22  |-  ( ph  ->  D  =  ( A Xrm  P ) )
jm2.27a23  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
jm2.27a24  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
jm2.27a25  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
jm2.27a26  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
jm2.27a27  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
jm2.27a28  |-  ( ph  ->  I  =  ( G Xrm  R ) )
jm2.27a29  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
Assertion
Ref Expression
jm2.27a  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
2 2z 10670 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
43nnzd 10738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
5 zmulcl 10685 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
62, 4, 5sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
7 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
87nnzd 10738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
9 jm2.27a27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
10 jm2.27a21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
1211nn0zd 10737 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
14 congsym 29285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
1811nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  H )
19 rmy0 29244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
2221eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  =  H )
2318, 20, 223brtr4d 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  R ) )
24 0zd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
25 lermy 29272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  R
) ) )
2617, 24, 9, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
R ) ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
28 elnn0z 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  ZZ  /\  0  <_  R ) )
299, 27, 28sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
30 jm2.16nn0 29327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  R )  -  R ) )
3117, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3221oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3331, 32breqtrrd 4313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R ) )
34 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
3534nn0zd 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
36 peano2zm 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3812, 9zsubcld 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  e.  ZZ )
39 dvdstr 13558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  R
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  R ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) ) )
406, 37, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )
4116, 33, 40mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) )
42 congtr 29282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( H  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H )  /\  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )  ->  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )
)
436, 8, 12, 9, 15, 41, 42syl222anc 1234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  R ) )
4443orcd 392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) ) )
45 jm2.27a24 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
46 zmulcl 10685 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
472, 45, 46sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
48 zsqcl 11928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
494, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
50 dvdsmul2 13547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
512, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
52 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
5352nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5453peano2zd 10742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
55 zmulcl 10685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
562, 49, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
57 dvdsmultr2 13560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( J  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5951, 58mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
601oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) )
61 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
62 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
6361, 62eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( A Yrm  Q ) )
6459, 60, 633brtr3d 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
65 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6654zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  RR )
6756zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
68 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
6952, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7069nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( J  +  1 ) )
71 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
723nnsqcld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
73 nnmulcl 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7471, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7574nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
7666, 67, 70, 75mulgt0d 9518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
7776, 61breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  E )
78 rmy0 29244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7965, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8062eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  =  E )
8177, 79, 803brtr4d 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  Q ) )
82 ltrmy 29269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  Q ) ) )
8365, 24, 45, 82syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
Q ) ) )
8481, 83mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
85 elnnz 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  NN  <->  ( Q  e.  ZZ  /\  0  < 
Q ) )
8645, 84, 85sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
873nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  C )
881eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  =  C )
8987, 79, 883brtr4d 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  P ) )
90 ltrmy 29269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  P ) ) )
9165, 24, 10, 90syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
P ) ) )
9289, 91mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  P )
93 elnnz 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
9410, 92, 93sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
95 jm2.20nn 29320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q ) )
9665, 86, 94, 95syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q ) )
9764, 96mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q )
981, 4eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )
99 muldvds2 13550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q  ->  ( A Yrm  P ) 
||  Q ) )
10010, 98, 45, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q  ->  ( A Yrm 
P )  ||  Q
) )
10197, 100mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  ||  Q )
1021, 101eqbrtrd 4307 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  ||  Q )
1032a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
104 dvdscmul 13551 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  Q  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( 2  x.  Q ) ) )
1054, 45, 103, 104syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  ||  Q  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) ) )
106102, 105mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) )
107 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
108 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
109108nn0zd 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
110107, 109eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
111 frmy 29229 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
112111fovcl 6190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )
11365, 9, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  R )  e.  ZZ )
11421, 12eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  e.  ZZ )
115 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
11665, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
118 congsym 29285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  G  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
119109, 35, 116, 117, 118syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
120107, 119eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G
) )
121 jm2.15nn0 29326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( A  -  G )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
12265, 17, 29, 121syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )
123116, 35zsubcld 10744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  e.  ZZ )
124113, 114zsubcld 10744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  e.  ZZ )
125 dvdstr 13558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A  -  G )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm 
R ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  Q ) 
||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )  ->  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
126110, 123, 124, 125syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )  ->  ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
127120, 122, 126mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
128 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
12921, 1oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
130128, 107, 1293brtr3d 4316 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
131 congtr 29282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )  /\  ( ( G Yrm  R )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  /\  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) ) )  ->  ( A Xrm  Q
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
132110, 113, 114, 98, 127, 130, 131syl222anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
133132orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) ) )
134 jm2.26 29325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  Q  e.  NN )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm 
P ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )
13565, 86, 9, 10, 134syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) )  <->  ( (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  -u P ) ) ) )
136133, 135mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
137 dvdsacongtr 29301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  Q )  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q )  /\  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )  ->  (
( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  C ) 
||  ( R  -  -u P ) ) )
13847, 9, 10, 6, 106, 136, 137syl222anc 1234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
139 acongtr 29295 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  -u P
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) )
1406, 8, 9, 10, 44, 138, 139syl222anc 1234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) )
1417nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
1423nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
143 jm2.27a20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
144 elfz2nn0 11472 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... C )  <->  ( B  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  B  <_  C ) )
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 ... C ) )
14694nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
147 rmygeid 29281 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  <_  ( A Yrm  P ) )
14865, 146, 147syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  <_  ( A Yrm  P
) )
149148, 1breqtrrd 4313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  <_  C )
150 elfz2nn0 11472 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( 0 ... C )  <->  ( P  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  P  <_  C ) )
151146, 142, 149, 150syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... C ) )
152 acongeq 29300 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... C )  /\  P  e.  ( 0 ... C ) )  ->  ( B  =  P  <->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) ) )
1533, 145, 151, 152syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =  P  <-> 
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) ) )
154140, 153mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  P )
155154oveq2d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  =  ( A Yrm  P ) )
1561, 155eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   ^cexp 11857    || cdivides 13527   Xrm crmx 29215   Yrm crmy 29216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-numer 13805  df-denom 13806  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-squarenn 29156  df-pell1qr 29157  df-pell14qr 29158  df-pell1234qr 29159  df-pellfund 29160  df-rmx 29217  df-rmy 29218
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