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Theorem jm2.26lem3 26962
Description: Lemma for jm2.26 26963. Use acongrep 26935 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
32adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
43ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ZZ )
5 rmyabs 26913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K
) ) )
73zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
87ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  RR )
9 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  K
)
1110ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  K )
128, 11absidd 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  K
)  =  K )
1312oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  K
) )  =  ( A Yrm  K ) )
146, 13eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  K ) )
15 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
18 rmyabs 26913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
191, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M
) ) )
2016zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  RR )
22 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  M
)
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  M )
2521, 24absidd 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
2625oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  M
) )  =  ( A Yrm  M ) )
2719, 26eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2814, 27oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
29 frmy 26867 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
311, 4, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
3231zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  RR )
3329fovcl 6134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
341, 17, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3534zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  RR )
3632, 35readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
37 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ZZ )
39 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
4129fovcl 6134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4342zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )
4429fovcl 6134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
451, 38, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4645zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  RR )
4743, 46readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
48 frmx 26866 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4948fovcl 6134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
501, 38, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e. 
NN0 )
5150nn0red 10231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e.  RR )
52 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
54 lermy 26910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
551, 4, 40, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
5753, 56mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
58 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
59 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  <_  N )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  <_  N )
61 lermy 26910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
621, 17, 38, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
6360, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  N ) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm 
N ) )
65 le2add 9466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A Yrm  K )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
M )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6857, 64, 67mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6931zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  CC )
7034zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
7169, 70addcomd 9224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
7271adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
73 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  M )
7473necomd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =/=  M  ->  M  =/=  K )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  K )
76 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  K  =  N )
7775, 76neeqtrd 2589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  N )
7877neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
7978adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
80 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
81 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8280, 81syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8382ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
84 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
86 fzm1 11082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N ) ) )
8786biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
8883, 85, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
89 orel2 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
9079, 88, 89sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
91 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
93 lermy 26910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
941, 17, 40, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
9692, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
97 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
98 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  <_  N )
100 lermy 26910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
1011, 4, 38, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
10299, 101mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  N ) )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm 
N ) )
104 le2add 9466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
K )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
106105adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10796, 103, 106mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10872, 107eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10937nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN0 )
110109, 81syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
111 fzm1 11082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
112111biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  K  =  N ) )
113110, 97, 112syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
11468, 108, 113mpjaodan 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
115 jm2.24 26918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
1161, 38, 115syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 9184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11828, 117eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
119 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  M )
120 rmyeq 26909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  M ) ) )
121120necon3bid 2602 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  M ) ) )
1221, 4, 17, 121syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm 
M ) ) )
123119, 122mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M ) )
1247ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  e.  RR )
125 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  e.  RR )
127 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  -u M )
12822ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  0  <_  M )
12920adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  RR )
130129le0neg2d 9555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
0  <_  M  <->  -u M  <_ 
0 ) )
131128, 130mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  -u M  <_  0 )
132131adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  -u M  <_  0
)
133127, 132eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  <_  0
)
13410ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  <_  K
)
135 letri3 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  =  0  <-> 
( K  <_  0  /\  0  <_  K ) ) )
136135biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( K  <_ 
0  /\  0  <_  K ) )  ->  K  =  0 )
137124, 126, 133, 134, 136syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  0 )
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  0 )
139 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  -u M )
140139, 138eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  -u M  =  0 )
141129recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  CC )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  e.  CC )
143142negeq0d 9359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  ( M  =  0  <->  -u M  =  0 ) )
144140, 143mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  =  0 )
145138, 144eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  M )
146137, 145mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  M )
147146ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =  -u M  ->  K  =  M )
)
148147necon3d 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  -u M ) )
149148imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  -u M )
15058, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
151150znegcld 10333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  -u M  e.  ZZ )
152 rmyeq 26909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  -u M ) ) )
153152necon3bid 2602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
1541, 4, 151, 153syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
155149, 154mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) )
156 rmyneg 26881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
1571, 17, 156syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
158155, 157neeqtrd 2589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )
159118, 123, 1583jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )
160159ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  (
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
161 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1623ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
163161, 162, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
164163zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  CC )
16516ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
166161, 165, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
167166zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
168164, 167negsubd 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) ) )
169168fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
170167negcld 9354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  CC )
171164, 170addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
172171abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
173164abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  e.  RR )
174167abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
175173, 174readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
176 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
177176adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
178177ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
17949nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
180161, 178, 179syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
181180zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
182164, 170abstrid 12213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
183 absneg 12037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
184183eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) )
185167, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm  M ) ) )
186185oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
187182, 186breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
188 simpr1 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
189172, 175, 181, 187, 188lelttrd 9184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
190169, 189eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
191163, 166zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
192191zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
193192abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
194193, 181ltnled 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
195190, 194mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
196 simpr2 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  ( A Yrm 
M ) )
197164, 167, 196subne0d 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
198 dvdsleabs 12851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
199180, 191, 197, 198syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
200195, 199mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )
201164, 167subnegd 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
202201fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) ) )
203164, 167addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
204203abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
205164, 167abstrid 12213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
206204, 175, 181, 205, 188lelttrd 9184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
207202, 206eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
208166znegcld 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
209163, 208zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
210209zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
211210abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
212211, 181ltnled 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
213207, 212mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
214 simpr3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  -u ( A Yrm 
M ) )
215164, 170, 214subne0d 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
216 dvdsleabs 12851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
217180, 209, 215, 216syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
218213, 217mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )
219200, 218jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
220 pm4.56 482 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
221219, 220sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
222221ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )  ->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
223160, 222syld 42 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
224223necon4ad 2628 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  =  M ) )
2252243impia 1150 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   abscabs 11994    || cdivides 12807   Xrm crmx 26853   Yrm crmy 26854
This theorem is referenced by:  jm2.26  26963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795  df-pell14qr 26796  df-pell1234qr 26797  df-pellfund 26798  df-rmx 26855  df-rmy 26856
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