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Theorem jm2.26lem3 35562
Description: Lemma for jm2.26 35563. Use acongrep 35536 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
32adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
43ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ZZ )
5 rmyabs 35514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K ) ) )
61, 4, 5syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K
) ) )
73zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
87ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  RR )
9 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
109adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  K
)
1110ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  K )
128, 11absidd 13463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  K
)  =  K )
1312oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  K
) )  =  ( A Yrm  K ) )
146, 13eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  K ) )
15 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1615adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
18 rmyabs 35514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
191, 17, 18syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M
) ) )
2016zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
2120ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  RR )
22 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  M
)
2423ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  M )
2521, 24absidd 13463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
2625oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  M
) )  =  ( A Yrm  M ) )
2719, 26eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2814, 27oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
29 frmy 35468 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
311, 4, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
3231zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  RR )
3329fovcl 6415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
341, 17, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3534zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  RR )
3632, 35readdcld 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
37 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ZZ )
39 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
4129fovcl 6415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4342zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )
4429fovcl 6415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
451, 38, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4645zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  RR )
4743, 46readdcld 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
48 frmx 35467 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4948fovcl 6415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
501, 38, 49syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e. 
NN0 )
5150nn0red 10926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e.  RR )
52 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
5352adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
54 lermy 35511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
551, 4, 40, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
5753, 56mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
58 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
59 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  <_  N )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  <_  N )
61 lermy 35511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
621, 17, 38, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
6360, 62mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  N ) )
6463adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm 
N ) )
65 le2add 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A Yrm  K )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
M )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6766adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6857, 64, 67mp2and 683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6931zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  CC )
7034zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
7169, 70addcomd 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
7271adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
73 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  M )
7473necomd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =/=  M  ->  M  =/=  K )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  K )
76 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  K  =  N )
7775, 76neeqtrd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  N )
7877neneqd 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
7978adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
80 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
81 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8280, 81syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8382ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
84 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
8584ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
86 fzm1 11872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N ) ) )
8786biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
8883, 85, 87syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
89 orel2 384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
9079, 88, 89sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
91 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
93 lermy 35511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
941, 17, 40, 93syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
9594adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
9692, 95mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
97 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
98 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  <_  N )
100 lermy 35511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
1011, 4, 38, 100syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
10299, 101mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  N ) )
103102adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm 
N ) )
104 le2add 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
K )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
106105adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10796, 103, 106mp2and 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10872, 107eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10937nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN0 )
110109, 81syl6eleq 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
111 fzm1 11872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
112111biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  K  =  N ) )
113110, 97, 112syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
11468, 108, 113mpjaodan 793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
115 jm2.24 35519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
1161, 38, 115syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11828, 117eqbrtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
119 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  M )
120 rmyeq 35510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  M ) ) )
121120necon3bid 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  M ) ) )
1221, 4, 17, 121syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm 
M ) ) )
123119, 122mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M ) )
1247ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  e.  RR )
125 0red 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  e.  RR )
126 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  -u M )
12722ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  0  <_  M )
12820adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  RR )
129128le0neg2d 10185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
0  <_  M  <->  -u M  <_ 
0 ) )
130127, 129mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  -u M  <_  0 )
131130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  -u M  <_  0
)
132126, 131eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  <_  0
)
13310ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  <_  K
)
134 letri3 9718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  =  0  <-> 
( K  <_  0  /\  0  <_  K ) ) )
135134biimpar 487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( K  <_ 
0  /\  0  <_  K ) )  ->  K  =  0 )
136124, 125, 132, 133, 135syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  0 )
137 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  0 )
138 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  -u M )
139138, 137eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  -u M  =  0 )
140128recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  CC )
141140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  e.  CC )
142141negeq0d 9977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  ( M  =  0  <->  -u M  =  0 ) )
143139, 142mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  =  0 )
144137, 143eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  M )
145136, 144mpdan 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  M )
146145ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =  -u M  ->  K  =  M )
)
147146necon3d 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  -u M ) )
148147imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  -u M )
14958, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
150149znegcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  -u M  e.  ZZ )
151 rmyeq 35510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  -u M ) ) )
152151necon3bid 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
1531, 4, 150, 152syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
154148, 153mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) )
155 rmyneg 35482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
1561, 17, 155syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
157154, 156neeqtrd 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )
158118, 123, 1573jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )
159158ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  (
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
160 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1613ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
162160, 161, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
163162zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  CC )
16416ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
165160, 164, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
166165zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
167163, 166negsubd 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) ) )
168167fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
169166negcld 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  CC )
170163, 169addcld 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
171170abscld 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
172163abscld 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  e.  RR )
173166abscld 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
174172, 173readdcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
175 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
176175adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
177176ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
17849nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
179160, 177, 178syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
180179zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
181163, 169abstrid 13496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
182 absneg 13319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
183182eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) )
184166, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm  M ) ) )
185184oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
186181, 185breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
187 simpr1 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
188171, 174, 180, 186, 187lelttrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
189168, 188eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
190162, 165zsubcld 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
191190zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
192191abscld 13476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
193192, 180ltnled 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
194189, 193mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
195 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  ( A Yrm 
M ) )
196163, 166, 195subne0d 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
197 dvdsleabs 14329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
198179, 190, 196, 197syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
199194, 198mtod 180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )
200163, 166subnegd 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
201200fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) ) )
202163, 166addcld 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
203202abscld 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
204163, 166abstrid 13496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
205203, 174, 180, 204, 187lelttrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
206201, 205eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
207165znegcld 11042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
208162, 207zsubcld 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
209208zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
210209abscld 13476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
211210, 180ltnled 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
212206, 211mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
213 simpr3 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  -u ( A Yrm 
M ) )
214163, 169, 213subne0d 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
215 dvdsleabs 14329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
216179, 208, 214, 215syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
217212, 216mtod 180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )
218199, 217jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
219 pm4.56 497 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
220218, 219sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
221220ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )  ->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
222159, 221syld 45 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
223222necon4ad 2651 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  =  M ) )
2242233impia 1202 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   abscabs 13276    || cdvds 14283   Xrm crmx 35454   Yrm crmy 35455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-numer 14655  df-denom 14656  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-squarenn 35395  df-pell1qr 35396  df-pell14qr 35397  df-pell1234qr 35398  df-pellfund 35399  df-rmx 35456  df-rmy 35457
This theorem is referenced by:  jm2.26  35563
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