Theorem jm2.26lem3 35927

Description: Lemma for jm2.26 35928. Use acongrep 35901 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
3	2	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
4	3	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ZZ )
5		rmyabs 35879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
7	3	zred 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
8	7	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. RR )
9		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
10	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ K )
11	10	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ K )
12	8, 11	absidd 13561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` K ) = K )
13	12	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` K ) ) = ( A Yrm K ) )
14	6, 13	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm K ) )
15		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
16	15	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
17	16	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
18		rmyabs 35879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
19	1, 17, 18	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
20	16	zred 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
21	20	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. RR )
22		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
23	22	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ M )
24	23	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ M )
25	21, 24	absidd 13561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` M ) = M )
26	25	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` M ) ) = ( A Yrm M ) )
27	19, 26	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm M ) )
28	14, 27	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
29		frmy 35833	. . . . . . . . . . . 12 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
30	29	fovcl 6420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
31	1, 4, 30	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
32	31	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. RR )
33	29	fovcl 6420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
34	1, 17, 33	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
35	34	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. RR )
36	32, 35	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. RR )
37		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN )
38	37	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ZZ )
39		peano2zm 11004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
41	29	fovcl 6420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
43	42	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
44	29	fovcl 6420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
45	1, 38, 44	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
46	45	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
47	43, 46	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
48		frmx 35832	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
49	48	fovcl 6420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
50	1, 38, 49	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
51	50	nn0red 10950	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
52		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
53	52	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
54		lermy 35876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
56	55	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
57	53, 56	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
58		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ( 0 ... N ) )
59		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M <_ N )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M <_ N )
61		lermy 35876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
63	60, 62	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
64	63	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
65		le2add 10117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A Yrm K ) e. RR /\ ( A Yrm M ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
67	66	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
68	57, 64, 67	mp2and 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	31	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
70	34	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
71	69, 70	addcomd 9853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
72	71	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K =/= M -> K =/= M )
74	73	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K =/= M -> M =/= K )
75	74	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= K )
76		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> K = N )
77	75, 76	neeqtrd 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= N )
78	77	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> -. M = N )
79	78	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> -. M = N )
80		nnnn0 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
81		nn0uz 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
82	80, 81	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
83	82	ad4antlr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )
85	84	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... N ) )
86		fzm1 11900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) ) )
87	86	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
88	83, 85, 87	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
89		orel2 390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = N -> ( ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
90	79, 88, 89	sylc 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
91		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
93		lermy 35876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
95	94	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
97		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ( 0 ... N ) )
98		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K <_ N )
100		lermy 35876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
102	99, 101	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
103	102	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
104		le2add 10117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A Yrm M ) e. RR /\ ( A Yrm K ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
106	105	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
107	96, 103, 106	mp2and 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
108	72, 107	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
109	37	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN0 )
110	109, 81	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111		fzm1 11900	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) ) )
112	111	biimpa 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
113	110, 97, 112	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
114	68, 108, 113	mpjaodan 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
115		jm2.24 35884	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
116	1, 38, 115	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 9810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) < ( A Xrm N ) )
118	28, 117	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
119		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= M )
120		rmyeq 35875	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K = M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm M ) ) )
121	120	necon3bid 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
123	119, 122	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
124	7	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K e. RR )
125		0red 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 e. RR )
126		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = -u M )
127	22	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> 0 <_ M )
128	20	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. RR )
129	128	le0neg2d 10207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 <_ M <-> -u M <_ 0 ) )
130	127, 129	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> -u M <_ 0 )
131	130	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> -u M <_ 0 )
132	126, 131	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K <_ 0 )
133	10	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 <_ K )
134		letri3 9737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( K = 0 <-> ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) )
135	134	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) -> K = 0 )
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = 0 )
137		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = 0 )
138		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = -u M )
139	138, 137	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> -u M = 0 )
140	128	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. CC )
141	140	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M e. CC )
142	141	negeq0d 9997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> ( M = 0 <-> -u M = 0 ) )
143	139, 142	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M = 0 )
144	137, 143	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = M )
145	136, 144	mpdan 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = M )
146	145	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K = -u M -> K = M ) )
147	146	necon3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> K =/= -u M ) )
148	147	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= -u M )
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
150	149	znegcld 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> -u M e. ZZ )
151		rmyeq 35875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K = -u M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm -u M ) ) )
152	151	necon3bid 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
154	148, 153	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) )
155		rmyneg 35847	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
156	1, 17, 155	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
157	154, 156	neeqtrd 2712	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
158	118, 123, 157	3jca 1210	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) )
159	158	ex 441	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) )
160		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
161	3	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> K e. ZZ )
162	160, 161, 30	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
163	162	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
164	16	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> M e. ZZ )
165	160, 164, 33	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
166	165	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
167	163, 166	negsubd 10011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
168	167	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
169	166	negcld 9992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. CC )
170	163, 169	addcld 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
171	170	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
172	163	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) e. RR )
173	166	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. RR )
174	172, 173	readdcld 9688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
175		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
176	175	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
177	176	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> N e. ZZ )
178	49	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
179	160, 177, 178	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
180	179	zred 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
181	163, 169	abstrid 13595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
182		absneg 13417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) = ( abs ` ( A Yrm M ) ) )
183	182	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
185	184	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
186	181, 185	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
187		simpr1 1036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
189	168, 188	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
190	162, 165	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
191	190	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. CC )
192	191	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
193	192, 180	ltnled 9799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
194	189, 193	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
195		simpr2 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
196	163, 166, 195	subne0d 10014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
197		dvdsleabs 14428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
199	194, 198	mtod 182	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
200	163, 166	subnegd 10012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
201	200	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) )
202	163, 166	addcld 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. CC )
203	202	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
204	163, 166	abstrid 13595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
207	165	znegcld 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. ZZ )
208	162, 207	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
209	208	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
210	209	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
211	210, 180	ltnled 9799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
212	206, 211	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
213		simpr3 1038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
214	163, 169, 213	subne0d 10014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
215		dvdsleabs 14428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
217	212, 216	mtod 182	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) )
218	199, 217	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
219		pm4.56 503	. . . . . 6 |- ( ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
220	218, 219	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
221	220	ex 441	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
222	159, 221	syld 44	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
223	222	necon4ad 2662	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) -> K = M ) )
224	223	3impia 1228	1 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   abscabs 13374   || cdvds 14382   X_rm crmx 35819   Y_rm crmy 35820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-squarenn 35757  df-pell1qr 35758  df-pell14qr 35759  df-pell1234qr 35760  df-pellfund 35761  df-rmx 35821  df-rmy 35822

This theorem is referenced by:  jm2.26  35928