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Theorem jm2.26lem3 30575
Description: Lemma for jm2.26 30576. Use acongrep 30550 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
32adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
43ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ZZ )
5 rmyabs 30528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K ) ) )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K
) ) )
73zred 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
87ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  RR )
9 elfzle1 11689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  K
)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  K )
128, 11absidd 13217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  K
)  =  K )
1312oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  K
) )  =  ( A Yrm  K ) )
146, 13eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  K ) )
15 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
18 rmyabs 30528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
191, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M
) ) )
2016zred 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  RR )
22 elfzle1 11689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  M
)
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  M )
2521, 24absidd 13217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
2625oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  M
) )  =  ( A Yrm  M ) )
2719, 26eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2814, 27oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
29 frmy 30482 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
311, 4, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
3231zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  RR )
3329fovcl 6391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
341, 17, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3534zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  RR )
3632, 35readdcld 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
37 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ZZ )
39 peano2zm 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
4129fovcl 6391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4342zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )
4429fovcl 6391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
451, 38, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4645zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  RR )
4743, 46readdcld 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
48 frmx 30481 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4948fovcl 6391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
501, 38, 49syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e. 
NN0 )
5150nn0red 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e.  RR )
52 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
54 lermy 30525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
551, 4, 40, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
5753, 56mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
58 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
59 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  <_  N )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  <_  N )
61 lermy 30525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
621, 17, 38, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
6360, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  N ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm 
N ) )
65 le2add 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A Yrm  K )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
M )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6857, 64, 67mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6931zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  CC )
7034zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
7169, 70addcomd 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  M )
7473necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =/=  M  ->  M  =/=  K )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  K )
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  K  =  N )
7775, 76neeqtrd 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  N )
7877neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
7978adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
80 nnnn0 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
81 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8280, 81syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8382ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
84 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
86 fzm1 11758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N ) ) )
8786biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
8883, 85, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
89 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
9079, 88, 89sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
91 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
93 lermy 30525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
941, 17, 40, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
9692, 95mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
97 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
98 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  <_  N )
100 lermy 30525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
1011, 4, 38, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
10299, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  N ) )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm 
N ) )
104 le2add 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
K )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10796, 103, 106mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10872, 107eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10937nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN0 )
110109, 81syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
111 fzm1 11758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
112111biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  K  =  N ) )
113110, 97, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
11468, 108, 113mpjaodan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
115 jm2.24 30533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
1161, 38, 115syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 9739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11828, 117eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
119 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  M )
120 rmyeq 30524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  M ) ) )
121120necon3bid 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  M ) ) )
1221, 4, 17, 121syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm 
M ) ) )
123119, 122mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M ) )
1247ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  e.  RR )
125 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  e.  RR )
127 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  -u M )
12822ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  0  <_  M )
12920adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  RR )
130129le0neg2d 10125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
0  <_  M  <->  -u M  <_ 
0 ) )
131128, 130mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  -u M  <_  0 )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  -u M  <_  0
)
133127, 132eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  <_  0
)
13410ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  <_  K
)
135 letri3 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  =  0  <-> 
( K  <_  0  /\  0  <_  K ) ) )
136135biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( K  <_ 
0  /\  0  <_  K ) )  ->  K  =  0 )
137124, 126, 133, 134, 136syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  0 )
138 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  0 )
139 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  -u M )
140139, 138eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  -u M  =  0 )
141129recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  CC )
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  e.  CC )
143142negeq0d 9922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  ( M  =  0  <->  -u M  =  0 ) )
144140, 143mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  =  0 )
145138, 144eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  M )
146137, 145mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  M )
147146ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =  -u M  ->  K  =  M )
)
148147necon3d 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  -u M ) )
149148imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  -u M )
15058, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
151150znegcld 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  -u M  e.  ZZ )
152 rmyeq 30524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  -u M ) ) )
153152necon3bid 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
1541, 4, 151, 153syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
155149, 154mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) )
156 rmyneg 30496 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
1571, 17, 156syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
158155, 157neeqtrd 2762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )
159118, 123, 1583jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )
160159ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  (
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
161 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1623ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
163161, 162, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
164163zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  CC )
16516ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
166161, 165, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
167166zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
168164, 167negsubd 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) ) )
169168fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
170167negcld 9917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  CC )
171164, 170addcld 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
172171abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
173164abscld 13230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  e.  RR )
174167abscld 13230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
175173, 174readdcld 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
176 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
177176adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
178177ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
17949nn0zd 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
180161, 178, 179syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
181180zred 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
182164, 170abstrid 13250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
183 absneg 13073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
184183eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) )
185167, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm  M ) ) )
186185oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
187182, 186breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
188 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
189172, 175, 181, 187, 188lelttrd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
190169, 189eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
191163, 166zsubcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
192191zcnd 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
193192abscld 13230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
194193, 181ltnled 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
195190, 194mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
196 simpr2 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  ( A Yrm 
M ) )
197164, 167, 196subne0d 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
198 dvdsleabs 13891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
199180, 191, 197, 198syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
200195, 199mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )
201164, 167subnegd 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
202201fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) ) )
203164, 167addcld 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
204203abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
205164, 167abstrid 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
206204, 175, 181, 205, 188lelttrd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
207202, 206eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
208166znegcld 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
209163, 208zsubcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
210209zcnd 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
211210abscld 13230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
212211, 181ltnled 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
213207, 212mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
214 simpr3 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  -u ( A Yrm 
M ) )
215164, 170, 214subne0d 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
216 dvdsleabs 13891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
217180, 209, 215, 216syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
218213, 217mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )
219200, 218jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
220 pm4.56 495 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
221219, 220sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
222221ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )  ->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
223160, 222syld 44 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
224223necon4ad 2687 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  =  M ) )
2252243impia 1193 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   abscabs 13030    || cdivides 13847   Xrm crmx 30468   Yrm crmy 30469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-numer 14127  df-denom 14128  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-squarenn 30409  df-pell1qr 30410  df-pell14qr 30411  df-pell1234qr 30412  df-pellfund 30413  df-rmx 30470  df-rmy 30471
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