Theorem jm2.26lem3 35562

Description: Lemma for jm2.26 35563. Use acongrep 35536 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
3	2	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
4	3	ad2antlr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ZZ )
5		rmyabs 35514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
7	3	zred 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
8	7	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. RR )
9		elfzle1 11800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
10	9	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ K )
11	10	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ K )
12	8, 11	absidd 13463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` K ) = K )
13	12	oveq2d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` K ) ) = ( A Yrm K ) )
14	6, 13	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm K ) )
15		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
16	15	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
17	16	ad2antlr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
18		rmyabs 35514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
19	1, 17, 18	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
20	16	zred 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
21	20	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. RR )
22		elfzle1 11800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
23	22	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ M )
24	23	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ M )
25	21, 24	absidd 13463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` M ) = M )
26	25	oveq2d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` M ) ) = ( A Yrm M ) )
27	19, 26	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm M ) )
28	14, 27	oveq12d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
29		frmy 35468	. . . . . . . . . . . 12 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
30	29	fovcl 6415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
31	1, 4, 30	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
32	31	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. RR )
33	29	fovcl 6415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
34	1, 17, 33	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
35	34	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. RR )
36	32, 35	readdcld 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. RR )
37		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN )
38	37	nnzd 11039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ZZ )
39		peano2zm 10980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
41	29	fovcl 6415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
43	42	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
44	29	fovcl 6415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
45	1, 38, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
46	45	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
47	43, 46	readdcld 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
48		frmx 35467	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
49	48	fovcl 6415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
50	1, 38, 49	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
51	50	nn0red 10926	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
52		elfzle2 11801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
53	52	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
54		lermy 35511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
56	55	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
57	53, 56	mpbid 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
58		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ( 0 ... N ) )
59		elfzle2 11801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M <_ N )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M <_ N )
61		lermy 35511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
63	60, 62	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
64	63	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
65		le2add 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A Yrm K ) e. RR /\ ( A Yrm M ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
67	66	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
68	57, 64, 67	mp2and 683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	31	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
70	34	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
71	69, 70	addcomd 9834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
73		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K =/= M -> K =/= M )
74	73	necomd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K =/= M -> M =/= K )
75	74	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= K )
76		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> K = N )
77	75, 76	neeqtrd 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= N )
78	77	neneqd 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> -. M = N )
79	78	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> -. M = N )
80		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
81		nn0uz 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
82	80, 81	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
83	82	ad4antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )
85	84	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... N ) )
86		fzm1 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) ) )
87	86	biimpa 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
88	83, 85, 87	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
89		orel2 384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = N -> ( ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
90	79, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
91		elfzle2 11801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
93		lermy 35511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
95	94	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
97		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ( 0 ... N ) )
98		elfzle2 11801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K <_ N )
100		lermy 35511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
102	99, 101	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
103	102	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
104		le2add 10095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A Yrm M ) e. RR /\ ( A Yrm K ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
106	105	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
107	96, 103, 106	mp2and 683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
108	72, 107	eqbrtrd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
109	37	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN0 )
110	109, 81	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111		fzm1 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) ) )
112	111	biimpa 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
113	110, 97, 112	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
114	68, 108, 113	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
115		jm2.24 35519	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
116	1, 38, 115	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 9792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) < ( A Xrm N ) )
118	28, 117	eqbrtrd 4446	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
119		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= M )
120		rmyeq 35510	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K = M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm M ) ) )
121	120	necon3bid 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
123	119, 122	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
124	7	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K e. RR )
125		0red 9643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 e. RR )
126		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = -u M )
127	22	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> 0 <_ M )
128	20	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. RR )
129	128	le0neg2d 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 <_ M <-> -u M <_ 0 ) )
130	127, 129	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> -u M <_ 0 )
131	130	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> -u M <_ 0 )
132	126, 131	eqbrtrd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K <_ 0 )
133	10	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 <_ K )
134		letri3 9718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( K = 0 <-> ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) )
135	134	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) -> K = 0 )
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = 0 )
137		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = 0 )
138		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = -u M )
139	138, 137	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> -u M = 0 )
140	128	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. CC )
141	140	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M e. CC )
142	141	negeq0d 9977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> ( M = 0 <-> -u M = 0 ) )
143	139, 142	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M = 0 )
144	137, 143	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = M )
145	136, 144	mpdan 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = M )
146	145	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K = -u M -> K = M ) )
147	146	necon3d 2655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> K =/= -u M ) )
148	147	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= -u M )
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
150	149	znegcld 11042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> -u M e. ZZ )
151		rmyeq 35510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K = -u M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm -u M ) ) )
152	151	necon3bid 2689	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
154	148, 153	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) )
155		rmyneg 35482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
156	1, 17, 155	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
157	154, 156	neeqtrd 2726	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
158	118, 123, 157	3jca 1185	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) )
159	158	ex 435	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) )
160		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
161	3	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> K e. ZZ )
162	160, 161, 30	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
163	162	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
164	16	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> M e. ZZ )
165	160, 164, 33	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
166	165	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
167	163, 166	negsubd 9991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
168	167	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
169	166	negcld 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. CC )
170	163, 169	addcld 9661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
171	170	abscld 13476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
172	163	abscld 13476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) e. RR )
173	166	abscld 13476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. RR )
174	172, 173	readdcld 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
175		nnz 10959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
176	175	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
177	176	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> N e. ZZ )
178	49	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
179	160, 177, 178	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
180	179	zred 11040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
181	163, 169	abstrid 13496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
182		absneg 13319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) = ( abs ` ( A Yrm M ) ) )
183	182	eqcomd 2437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
185	184	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
186	181, 185	breqtrrd 4452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
187		simpr1 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
189	168, 188	eqbrtrrd 4448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
190	162, 165	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
191	190	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. CC )
192	191	abscld 13476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
193	192, 180	ltnled 9781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
194	189, 193	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
195		simpr2 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
196	163, 166, 195	subne0d 9994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
197		dvdsleabs 14329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
199	194, 198	mtod 180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
200	163, 166	subnegd 9992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
201	200	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) )
202	163, 166	addcld 9661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. CC )
203	202	abscld 13476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
204	163, 166	abstrid 13496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
207	165	znegcld 11042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. ZZ )
208	162, 207	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
209	208	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
210	209	abscld 13476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
211	210, 180	ltnled 9781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
212	206, 211	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
213		simpr3 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
214	163, 169, 213	subne0d 9994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
215		dvdsleabs 14329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
217	212, 216	mtod 180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) )
218	199, 217	jca 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
219		pm4.56 497	. . . . . 6 |- ( ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
220	218, 219	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
221	220	ex 435	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
222	159, 221	syld 45	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
223	222	necon4ad 2651	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) -> K = M ) )
224	223	3impia 1202	1 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   -ucneg 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   abscabs 13276   || cdvds 14283   X_rm crmx 35454   Y_rm crmy 35455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-numer 14655  df-denom 14656  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-squarenn 35395  df-pell1qr 35396  df-pell14qr 35397  df-pell1234qr 35398  df-pellfund 35399  df-rmx 35456  df-rmy 35457

This theorem is referenced by:  jm2.26  35563