Theorem jm2.26lem3 31105

Description: Lemma for jm2.26 31106. Use acongrep 31080 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
3	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
4	3	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ZZ )
5		rmyabs 31058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
7	3	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
8	7	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. RR )
9		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ K )
11	10	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ K )
12	8, 11	absidd 13265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` K ) = K )
13	12	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` K ) ) = ( A Yrm K ) )
14	6, 13	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm K ) )
15		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
16	15	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
17	16	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
18		rmyabs 31058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
19	1, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
20	16	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. RR )
22		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ M )
24	23	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ M )
25	21, 24	absidd 13265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` M ) = M )
26	25	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` M ) ) = ( A Yrm M ) )
27	19, 26	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm M ) )
28	14, 27	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
29		frmy 31012	. . . . . . . . . . . 12 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
30	29	fovcl 6406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
31	1, 4, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
32	31	zred 10990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. RR )
33	29	fovcl 6406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
34	1, 17, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
35	34	zred 10990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. RR )
36	32, 35	readdcld 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. RR )
37		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN )
38	37	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ZZ )
39		peano2zm 10928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
41	29	fovcl 6406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
43	42	zred 10990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
44	29	fovcl 6406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
45	1, 38, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
46	45	zred 10990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
47	43, 46	readdcld 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
48		frmx 31011	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
49	48	fovcl 6406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
50	1, 38, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
51	50	nn0red 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
52		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
54		lermy 31055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
57	53, 56	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
58		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ( 0 ... N ) )
59		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M <_ N )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M <_ N )
61		lermy 31055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
63	60, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
65		le2add 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A Yrm K ) e. RR /\ ( A Yrm M ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
68	57, 64, 67	mp2and 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	31	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
70	34	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
71	69, 70	addcomd 9799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K =/= M -> K =/= M )
74	73	necomd 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K =/= M -> M =/= K )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= K )
76		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> K = N )
77	75, 76	neeqtrd 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= N )
78	77	neneqd 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> -. M = N )
79	78	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> -. M = N )
80		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
81		nn0uz 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
82	80, 81	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
83	82	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )
85	84	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... N ) )
86		fzm1 11783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) ) )
87	86	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
88	83, 85, 87	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
89		orel2 383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = N -> ( ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
90	79, 88, 89	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
91		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
93		lermy 31055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
97		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ( 0 ... N ) )
98		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K <_ N )
100		lermy 31055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
102	99, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
104		le2add 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A Yrm M ) e. RR /\ ( A Yrm K ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
106	105	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
107	96, 103, 106	mp2and 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
108	72, 107	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
109	37	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN0 )
110	109, 81	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111		fzm1 11783	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) ) )
112	111	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
113	110, 97, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
114	68, 108, 113	mpjaodan 786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
115		jm2.24 31063	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
116	1, 38, 115	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 9757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) < ( A Xrm N ) )
118	28, 117	eqbrtrd 4476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
119		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= M )
120		rmyeq 31054	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K = M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm M ) ) )
121	120	necon3bid 2715	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
123	119, 122	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
124	7	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K e. RR )
125		0red 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 e. RR )
126		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = -u M )
127	22	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> 0 <_ M )
128	20	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. RR )
129	128	le0neg2d 10146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 <_ M <-> -u M <_ 0 ) )
130	127, 129	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> -u M <_ 0 )
131	130	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> -u M <_ 0 )
132	126, 131	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K <_ 0 )
133	10	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 <_ K )
134		letri3 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( K = 0 <-> ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) )
135	134	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) -> K = 0 )
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = 0 )
137		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = 0 )
138		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = -u M )
139	138, 137	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> -u M = 0 )
140	128	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. CC )
141	140	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M e. CC )
142	141	negeq0d 9942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> ( M = 0 <-> -u M = 0 ) )
143	139, 142	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M = 0 )
144	137, 143	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = M )
145	136, 144	mpdan 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = M )
146	145	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K = -u M -> K = M ) )
147	146	necon3d 2681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> K =/= -u M ) )
148	147	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= -u M )
149	58, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
150	149	znegcld 10992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> -u M e. ZZ )
151		rmyeq 31054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K = -u M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm -u M ) ) )
152	151	necon3bid 2715	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
154	148, 153	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) )
155		rmyneg 31026	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
156	1, 17, 155	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
157	154, 156	neeqtrd 2752	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
158	118, 123, 157	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) )
159	158	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) )
160		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
161	3	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> K e. ZZ )
162	160, 161, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
163	162	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
164	16	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> M e. ZZ )
165	160, 164, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
166	165	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
167	163, 166	negsubd 9956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
168	167	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
169	166	negcld 9937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. CC )
170	163, 169	addcld 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
171	170	abscld 13278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
172	163	abscld 13278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) e. RR )
173	166	abscld 13278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. RR )
174	172, 173	readdcld 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
175		nnz 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
176	175	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
177	176	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> N e. ZZ )
178	49	nn0zd 10988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
179	160, 177, 178	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
180	179	zred 10990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
181	163, 169	abstrid 13298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
182		absneg 13121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) = ( abs ` ( A Yrm M ) ) )
183	182	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
184	166, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
185	184	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
186	181, 185	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
187		simpr1 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 9757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
189	168, 188	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
190	162, 165	zsubcld 10995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
191	190	zcnd 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. CC )
192	191	abscld 13278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
193	192, 180	ltnled 9749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
194	189, 193	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
195		simpr2 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
196	163, 166, 195	subne0d 9959	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
197		dvdsleabs 14043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
199	194, 198	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
200	163, 166	subnegd 9957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
201	200	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) )
202	163, 166	addcld 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. CC )
203	202	abscld 13278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
204	163, 166	abstrid 13298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 9757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
207	165	znegcld 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. ZZ )
208	162, 207	zsubcld 10995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
209	208	zcnd 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
210	209	abscld 13278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
211	210, 180	ltnled 9749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
212	206, 211	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
213		simpr3 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
214	163, 169, 213	subne0d 9959	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
215		dvdsleabs 14043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
217	212, 216	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) )
218	199, 217	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
219		pm4.56 495	. . . . . 6 |- ( ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
220	218, 219	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
221	220	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
222	159, 221	syld 44	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
223	222	necon4ad 2677	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) -> K = M ) )
224	223	3impia 1193	1 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   abscabs 13078   || cdvds 13997   X_rm crmx 30998   Y_rm crmy 30999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-numer 14279  df-denom 14280  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-squarenn 30939  df-pell1qr 30940  df-pell14qr 30941  df-pell1234qr 30942  df-pellfund 30943  df-rmx 31000  df-rmy 31001

This theorem is referenced by:  jm2.26  31106