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Theorem jm2.26a 29320
Description: Lemma for jm2.26 29322. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separatly. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10670 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
2 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 10685 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
5 zsubcl 10679 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  M )  e.  ZZ )
7 divides 13529 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M ) ) )
9 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
10 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
11 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
13 jm2.25 29319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
16 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( K  -  M ) ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M ) ) ) )
18 zcn 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
20 pncan3 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2118, 19, 20syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2322oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M
) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
2417, 23sylan9eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
25 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  M ) )
2624, 25acongeq12d 29293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2715, 26mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2836 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
308, 29sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
31 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
32 znegcl 10672 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
3332ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  -u M  e.  ZZ )
3431, 33zsubcld 10744 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  -u M )  e.  ZZ )
35 divides 13529 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  -u M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) ) )
364, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
) ) )
37 frmx 29225 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3837fovcl 6190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
409, 11, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )
41 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
42 frmy 29226 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4342fovcl 6190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
449, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  K )  e.  ZZ )
4542fovcl 6190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
469, 10, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )
4740, 44, 463jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4847adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4933adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  -> 
-u M  e.  ZZ )
50 jm2.25 29319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
53 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )
5453oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) ) )
5518negcld 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  CC )
56 pncan3 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) )  =  K )
5755, 19, 56syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5857ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5958oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
6054, 59sylan9eqr 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
61 rmyneg 29240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
629, 10, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
6362adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  -u M
)  =  -u ( A Yrm 
M ) )
6460, 63acongeq12d 29293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M
) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) )  <->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6552, 64mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm  M ) ) ) )
66 acongneg2 29291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
6748, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
6867ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
)  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6968rexlimdva 2836 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7036, 69sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7130, 70jaod 380 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    || cdivides 13527   Xrm crmx 29212   Yrm crmy 29213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-numer 13805  df-denom 13806  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-squarenn 29153  df-pell1qr 29154  df-pell14qr 29155  df-pell1234qr 29156  df-pellfund 29157  df-rmx 29214  df-rmy 29215
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