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Theorem jm2.26a 30535
Description: Lemma for jm2.26 30537. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separatly. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10885 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
2 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 10900 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
5 zsubcl 10894 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  M )  e.  ZZ )
7 divides 13838 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M ) ) )
9 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
10 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
11 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
13 jm2.25 30534 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
16 oveq2 6283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( K  -  M ) ) )
1716oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M ) ) ) )
18 zcn 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
20 pncan3 9817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2118, 19, 20syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2322oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M
) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
2417, 23sylan9eqr 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
25 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  M ) )
2624, 25acongeq12d 30508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2715, 26mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2948 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
308, 29sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
31 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
32 znegcl 10887 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
3332ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  -u M  e.  ZZ )
3431, 33zsubcld 10960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  -u M )  e.  ZZ )
35 divides 13838 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  -u M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) ) )
364, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
) ) )
37 frmx 30440 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3837fovcl 6382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
409, 11, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )
41 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
42 frmy 30441 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4342fovcl 6382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
449, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  K )  e.  ZZ )
4542fovcl 6382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
469, 10, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )
4740, 44, 463jca 1171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4847adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4933adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  -> 
-u M  e.  ZZ )
50 jm2.25 30534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
53 oveq2 6283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )
5453oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) ) )
5518negcld 9906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  CC )
56 pncan3 9817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) )  =  K )
5755, 19, 56syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5857ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5958oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
6054, 59sylan9eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
61 rmyneg 30455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
629, 10, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
6362adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  -u M
)  =  -u ( A Yrm 
M ) )
6460, 63acongeq12d 30508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M
) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) )  <->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6552, 64mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm  M ) ) ) )
66 acongneg2 30506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
6748, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
6867ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
)  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6968rexlimdva 2948 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7036, 69sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7130, 70jaod 380 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   -ucneg 9795   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    || cdivides 13836   Xrm crmx 30427   Yrm crmy 30428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-numer 14116  df-denom 14117  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-squarenn 30368  df-pell1qr 30369  df-pell14qr 30370  df-pell1234qr 30371  df-pellfund 30372  df-rmx 30429  df-rmy 30430
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