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Theorem jm2.26a 30910
Description: Lemma for jm2.26 30912. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separatly. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10897 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
2 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 10913 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
5 zsubcl 10907 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  M )  e.  ZZ )
7 divides 13860 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M ) ) )
9 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
10 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
11 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
13 jm2.25 30909 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
16 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( K  -  M ) ) )
1716oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M ) ) ) )
18 zcn 10870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
20 pncan3 9828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2118, 19, 20syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2322oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M
) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
2417, 23sylan9eqr 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
25 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  M ) )
2624, 25acongeq12d 30885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2715, 26mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2933 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
308, 29sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
31 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
32 znegcl 10900 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
3332ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  -u M  e.  ZZ )
3431, 33zsubcld 10974 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  -u M )  e.  ZZ )
35 divides 13860 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  -u M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) ) )
364, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
) ) )
37 frmx 30817 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3837fovcl 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
409, 11, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )
41 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
42 frmy 30818 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4342fovcl 6388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
449, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  K )  e.  ZZ )
4542fovcl 6388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
469, 10, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )
4740, 44, 463jca 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4847adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4933adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  -> 
-u M  e.  ZZ )
50 jm2.25 30909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
53 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )
5453oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) ) )
5518negcld 9918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  CC )
56 pncan3 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) )  =  K )
5755, 19, 56syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5857ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5958oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
6054, 59sylan9eqr 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
61 rmyneg 30832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
629, 10, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
6362adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  -u M
)  =  -u ( A Yrm 
M ) )
6460, 63acongeq12d 30885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M
) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) )  <->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6552, 64mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm  M ) ) ) )
66 acongneg2 30883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
6748, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
6867ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
)  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6968rexlimdva 2933 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7036, 69sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7130, 70jaod 380 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9805   -ucneg 9806   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085    || cdvds 13858   Xrm crmx 30804   Yrm crmy 30805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-numer 14140  df-denom 14141  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-squarenn 30745  df-pell1qr 30746  df-pell14qr 30747  df-pell1234qr 30748  df-pellfund 30749  df-rmx 30806  df-rmy 30807
This theorem is referenced by:  jm2.26  30912
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