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Theorem jm2.26 30401
Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acongrep 30373 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
21ad2ant2l 745 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) )
3 acongrep 30373 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
43ad2ant2lr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )
5 2z 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
6 simpl1l 1042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )
)
7 nnz 10875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 zmulcl 10900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
115, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
12 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
13123ad2antl1 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
14 simpl3l 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
15 elfzelz 11677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18173ad2antl1 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 simpl2r 1045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
20 simpl2l 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
21 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
22213ad2antl1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
23 frmx 30304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2423fovcl 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0zd 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
2622, 9, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
27 elfzelz 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
29 frmy 30305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3122, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3229fovcl 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3322, 18, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3429fovcl 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
m )  e.  ZZ )
3522, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  m )  e.  ZZ )
3629fovcl 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
3722, 13, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
38 jm2.26a 30399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) ) )
3922, 9, 28, 13, 38syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
K ) ) ) ) )
4019, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
42 acongtr 30371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
4326, 31, 37, 33, 40, 41, 42syl222anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
44 simpl3r 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
45 acongsym 30369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
4611, 16, 18, 44, 45syl31anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
47 jm2.26a 30399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  m )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( M  -  -u m ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) ) )
4822, 9, 18, 16, 47syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  -u m
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )
4946, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
50 acongtr 30371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  m )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )
5126, 31, 33, 35, 43, 49, 50syl222anc 1239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
52 jm2.26lem3 30400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )  ->  k  =  m )
536, 20, 14, 51, 52syl121anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  =  m )
54 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
55 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  K  =  K )
5654, 55acongeq12d 30372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5819, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )
59 acongsym 30369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
6011, 16, 13, 58, 59syl31anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
61 acongtr 30371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) )
6211, 13, 16, 18, 60, 44, 61syl222anc 1239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) )
63623exp1 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
6463expd 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) ) )
6564rexlimdv 2946 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
664, 65mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
6766expd 436 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) ) )
6867rexlimdv 2946 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
692, 68mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) )
70 jm2.26a 30399 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
717, 70sylanl2 651 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
7269, 71impbid 191 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481    x. cmul 9486    - cmin 9794   -ucneg 9795   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661    || cdivides 13836   Xrm crmx 30291   Yrm crmy 30292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-numer 14116  df-denom 14117  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-squarenn 30232  df-pell1qr 30233  df-pell14qr 30234  df-pell1234qr 30235  df-pellfund 30236  df-rmx 30293  df-rmy 30294
This theorem is referenced by:  jm2.27a  30404
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