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Theorem jm2.26 26963
Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acongrep 26935 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
21ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) )
3 acongrep 26935 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
43ad2ant2lr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )
5 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
6 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )
)
7 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
115, 9, 10sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
12 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
13123ad2antl1 1119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
14 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
15 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18173ad2antl1 1119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
20 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
21 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
22213ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
23 frmx 26866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2423fovcl 6134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
2622, 9, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
27 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
29 frmy 26867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3122, 28, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3229fovcl 6134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3322, 18, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3429fovcl 6134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
m )  e.  ZZ )
3522, 16, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  m )  e.  ZZ )
3629fovcl 6134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
3722, 13, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
38 jm2.26a 26961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) ) )
3922, 9, 28, 13, 38syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
K ) ) ) ) )
4019, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) )
41 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
42 acongtr 26933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
4326, 31, 37, 33, 40, 41, 42syl222anc 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
44 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
45 acongsym 26931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
4611, 16, 18, 44, 45syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
47 jm2.26a 26961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  m )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( M  -  -u m ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) ) )
4822, 9, 18, 16, 47syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  -u m
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )
4946, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
50 acongtr 26933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  m )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )
5126, 31, 33, 35, 43, 49, 50syl222anc 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
52 jm2.26lem3 26962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )  ->  k  =  m )
536, 20, 14, 51, 52syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  =  m )
54 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
55 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  K  =  K )
5654, 55acongeq12d 26934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5819, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )
59 acongsym 26931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
6011, 16, 13, 58, 59syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
61 acongtr 26933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) )
6211, 13, 16, 18, 60, 44, 61syl222anc 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) )
63623exp1 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
6463exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) ) )
6564rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
664, 65mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
6766exp3a 426 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) ) )
6867rexlimdv 2789 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
692, 68mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) )
70 jm2.26a 26961 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
717, 70sylanl2 633 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
7269, 71impbid 184 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    || cdivides 12807   Xrm crmx 26853   Yrm crmy 26854
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795  df-pell14qr 26796  df-pell1234qr 26797  df-pellfund 26798  df-rmx 26855  df-rmy 26856
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