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Theorem jm2.25 29374
Description: Lemma for jm2.26 29377. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 frmx 29280 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
43fovcl 6216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
54nn0zd 10766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
7 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8 frmy 29281 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
98fovcl 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
101, 7, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
11 congid 29340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
126, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
13 2cnd 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
14 zcn 10672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1513, 14mulcld 9427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
1615mul02d 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  ( 2  x.  N ) )  =  0 )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  (
2  x.  N ) )  =  0 )
1817oveq2d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  0 ) )
19 zcn 10672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2019addid1d 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2218, 21eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2322ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2423oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2524oveq1d 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2612, 25breqtrrd 4339 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2726orcd 392 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
29 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3129, 30, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
32 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
3329, 32, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3534peano2zd 10771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  +  1 )  e.  ZZ )
36 eluzel2 10887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
3837, 30zmulcld 10774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
3935, 38zmulcld 10774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4032, 39zaddcld 10772 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
418fovcl 6216 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4229, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4334, 38zmulcld 10774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4432, 43zaddcld 10772 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )
458fovcl 6216 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4629, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
473fovcl 6216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e. 
NN0 )
4847nn0zd 10766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4929, 38, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5046, 49zmulcld 10774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5146znegcld 10770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5250, 51zsubcld 10773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ )
533fovcl 6216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  NN0 )
5453nn0zd 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5529, 44, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
568fovcl 6216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5729, 38, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5855, 57zmulcld 10774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5937, 31zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  ZZ )
60 dvdsmul2 13576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6159, 31, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
62 rmxdbl 29306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6329, 30, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6463oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 ) )
65 2cnd 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  CC )
6629, 30, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
6766nn0cnd 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
6867sqcld 12027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  CC )
6965, 68mulcld 9427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  e.  CC )
70 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
7269, 71npcand 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) ) )
7367sqvald 12026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7473oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
75 mulass 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
7675eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7765, 67, 67, 76syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7874, 77eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7964, 72, 783eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
8061, 79breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
8149peano2zd 10771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
82 dvdsmultr2 13589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8331, 46, 81, 82syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8480, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) )
8546zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
8685mulid1d 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8786oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
8849zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
8985, 88, 71adddid 9431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  1 ) ) )
9050zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
9190, 85subnegd 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
9287, 89, 913eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
9384, 92breqtrd 4337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
948fovcl 6216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9529, 30, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9637, 95zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
97 dvdsmul2 13576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
9896, 31, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
99 rmydbl 29307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10029, 30, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10195zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
10265, 67, 101mul32d 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
103100, 102eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
10498, 103breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )
105 dvdsmultr2 13589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
10631, 55, 57, 105syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
107104, 106mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )
108 dvds2add 13585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
109108imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11031, 52, 58, 93, 107, 109syl32anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11134zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
11238zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
113111, 71, 112adddird 9432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  x.  ( 2  x.  N ) )  +  ( 1  x.  (
2  x.  N ) ) ) )
114113oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11532zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
11643zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
117 1z 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
119118, 38zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
120119zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
121115, 116, 120addassd 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
122112mulid2d 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 2  x.  N ) )
123122oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
124114, 121, 1233eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
125124oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) ) )
126 rmyadd 29298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
12729, 44, 38, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
128125, 127eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
129128oveq1d 6127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
13058zcnd 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
13151zcnd 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
13290, 130, 131addsubd 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
133129, 132eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
134110, 133breqtrrd 4339 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
135134olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )
136 jm2.25lem1 29373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
13731, 33, 42, 46, 135, 136syl221anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
138137pm5.74da 687 . . . . 5  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
139 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )
140139oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
141140oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
142141oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
143142breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
144141oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
145144breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
146143, 145orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
147146imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
148 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
149148oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
150149oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
151150oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
152151breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
153150oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
154153breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
155152, 154orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
156155imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
157 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) )
158157oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  0  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
159158oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
160159oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
161160breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
162159oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
163162breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
164161, 163orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
165164imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
166 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) )
167166oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
168167oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
169168oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
170169breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
171168oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
172171breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
173170, 172orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
174173imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
175138, 147, 156, 165, 174zindbi 29313 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
17628, 175mpbid 210 . . 3  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
177176impcom 430 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
1781773impa 1182 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   -ucneg 9617   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ^cexp 11886    || cdivides 13556   Xrm crmx 29267   Yrm crmy 29268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-numer 13834  df-denom 13835  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-squarenn 29208  df-pell1qr 29209  df-pell14qr 29210  df-pell1234qr 29211  df-pellfund 29212  df-rmx 29269  df-rmy 29270
This theorem is referenced by:  jm2.26a  29375
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