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Theorem jm2.25 31124
Description: Lemma for jm2.26 31127. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 simprrr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 frmx 31032 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
43fovcl 6406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
54nn0zd 10988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
7 simprrl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8 frmy 31033 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
98fovcl 6406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
101, 7, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
11 congid 31092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
126, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
13 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
14 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1513, 14mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
1615mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  ( 2  x.  N ) )  =  0 )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  (
2  x.  N ) )  =  0 )
1817oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  0 ) )
19 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2019addid1d 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2218, 21eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2322ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2423oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2524oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2612, 25breqtrrd 4482 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2726orcd 392 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
29 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 simprrr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3129, 30, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
32 simprrl 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
3329, 32, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3534peano2zd 10993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  +  1 )  e.  ZZ )
36 eluzel2 11111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
3837, 30zmulcld 10996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
3935, 38zmulcld 10996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4032, 39zaddcld 10994 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
418fovcl 6406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4229, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4334, 38zmulcld 10996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4432, 43zaddcld 10994 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )
458fovcl 6406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4629, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
473fovcl 6406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e. 
NN0 )
4847nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4929, 38, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5046, 49zmulcld 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5146znegcld 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5250, 51zsubcld 10995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ )
533fovcl 6406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  NN0 )
5453nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5529, 44, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
568fovcl 6406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5729, 38, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5855, 57zmulcld 10996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5937, 31zmulcld 10996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  ZZ )
60 dvdsmul2 14018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6159, 31, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
62 rmxdbl 31058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6329, 30, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6463oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 ) )
65 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  CC )
6629, 30, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
6766nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
6867sqcld 12311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  CC )
6965, 68mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  e.  CC )
70 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
7169, 70npcand 9954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) ) )
7267sqvald 12310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7372oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
74 mulass 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
7574eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7665, 67, 67, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7773, 76eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7864, 71, 773eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7961, 78breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
8049peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
81 dvdsmultr2 14033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8231, 46, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8379, 82mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) )
8446zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
8584mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
8749zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
8884, 87, 70adddid 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  1 ) ) )
8950zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
9089, 84subnegd 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
9186, 88, 903eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
9283, 91breqtrd 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
938fovcl 6406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9429, 30, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9537, 94zmulcld 10996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
96 dvdsmul2 14018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
9795, 31, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
98 rmydbl 31059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
9929, 30, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10094zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
10165, 67, 100mul32d 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
10299, 101eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
10397, 102breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )
104 dvdsmultr2 14033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
10531, 55, 57, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )
107 dvds2add 14027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
108107imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
10931, 52, 58, 92, 106, 108syl32anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11034zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
11138zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
112110, 70, 111adddird 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  x.  ( 2  x.  N ) )  +  ( 1  x.  (
2  x.  N ) ) ) )
113112oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11432zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
11543zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
116 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
117116, 38zmulcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
118117zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
119114, 115, 118addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
120111mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 2  x.  N ) )
121120oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
122113, 119, 1213eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
123122oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) ) )
124 rmyadd 31050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
12529, 44, 38, 124syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
126123, 125eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
127126oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
12858zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
12951zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
13089, 128, 129addsubd 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
131127, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
132109, 131breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
133132olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )
134 jm2.25lem1 31123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
13531, 33, 42, 46, 133, 134syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
136135pm5.74da 687 . . . . 5  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
137 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )
138137oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
139138oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
140139oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
141140breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
142139oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
143142breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
144141, 143orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
145144imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
146 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
147146oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
148147oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
149148oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
150149breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
151148oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
152151breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
153150, 152orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
154153imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
155 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) )
156155oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  0  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
157156oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
158157oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
159158breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
160157oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
161160breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
162159, 161orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
163162imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
164 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) )
165164oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
166165oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
167166oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
168167breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
169166oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
170169breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
171168, 170orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
172171imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
173136, 145, 154, 163, 172zindbi 31065 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
17428, 173mpbid 210 . . 3  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
175174impcom 430 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
1761753impa 1191 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   -ucneg 9825   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12169    || cdvds 13998   Xrm crmx 31019   Yrm crmy 31020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-squarenn 30960  df-pell1qr 30961  df-pell14qr 30962  df-pell1234qr 30963  df-pellfund 30964  df-rmx 31021  df-rmy 31022
This theorem is referenced by:  jm2.26a  31125
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