Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.24nn Structured version   Unicode version

Theorem jm2.24nn 30517
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 10885 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1z 10893 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 zsubcl 10904 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 frmy 30470 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 6390 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
74, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
87zred 10965 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
95fovcl 6390 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
101, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1110zred 10965 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
128, 11readdcld 9622 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
13 2re 10604 . . . 4  |-  2  e.  RR
14 remulcl 9576 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1615, 8resubcld 9986 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
17 frmx 30469 . . . . 5  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1817fovcl 6390 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
191, 18sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2019nn0red 10852 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
2111, 8resubcld 9986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
22 remulcl 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
2313, 8, 22sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
24 eluzelre 11091 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2625, 8remulcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
278, 25remulcld 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
2817fovcl 6390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
294, 28sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3029nn0red 10852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
3127, 30readdcld 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
33 nnm1nn0 10836 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
34 rmxypos 30505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3534simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
3633, 35sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )
37 eluzle 11093 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  A )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  <_  A )
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 10484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
4025recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
418recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
4240, 41mulcomd 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A ) )
4334simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )
4433, 43sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
4530, 27ltaddposd 10135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A
)  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
4644, 45mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4742, 46eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 9738 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
49412timesd 10780 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
50 rmyp1 30489 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
514, 50sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
52 nnre 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
5453recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
55 ax-1cn 9549 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
56 npcan 9828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5754, 55, 56sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5857oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
5951, 58eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
6048, 49, 593brtr3d 4476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <  ( A Yrm  N ) )
618, 8, 11ltaddsubd 10151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
638, 21, 11, 62ltadd1dd 10162 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6411recnd 9621 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
65642timesd 10780 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6665oveq1d 6298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
6764, 64, 41addsubd 9950 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6866, 67eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6963, 68breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
7025, 11remulcld 9623 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  RR )
71 rmy0 30485 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
73 nngt0 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7473adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76 0zd 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
771adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
78 ltrmy 30510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8074, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
8172, 80eqbrtrrd 4469 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
82 lemul1 10393 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( A Yrm  N )  e.  RR  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )  ->  ( 2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8332, 25, 11, 81, 82syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8438, 83mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N
) ) )
8515, 70, 8, 84lesub1dd 10167 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
86 rmym1 30491 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
871, 86sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
8864, 40mulcomd 9616 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) )
8988oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) ) )
9087, 89eqtr2d 2509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
9170recnd 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  CC )
9220recnd 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
93 subsub23 9824 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9491, 92, 41, 93syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9590, 94mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) )
9685, 95breqtrd 4471 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( A Xrm  N ) )
9712, 16, 20, 69, 96ltletrd 9740 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   Xrm crmx 30456   Yrm crmy 30457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-acn 8322  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-dvds 13847  df-gcd 14003  df-numer 14126  df-denom 14127  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-squarenn 30397  df-pell1qr 30398  df-pell14qr 30399  df-pell1234qr 30400  df-pellfund 30401  df-rmx 30458  df-rmy 30459
This theorem is referenced by:  jm2.24  30521
  Copyright terms: Public domain W3C validator