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Theorem jm2.24nn 35809
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 10959 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1z 10967 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 zsubcl 10979 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 668 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 frmy 35762 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 6401 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
74, 6sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
87zred 11040 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
95fovcl 6401 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
101, 9sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1110zred 11040 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
128, 11readdcld 9670 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
13 2re 10679 . . . 4  |-  2  e.  RR
14 remulcl 9624 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 669 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1615, 8resubcld 10047 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
17 frmx 35761 . . . . 5  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1817fovcl 6401 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
191, 18sylan2 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2019nn0red 10926 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
2111, 8resubcld 10047 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
22 remulcl 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
2313, 8, 22sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
24 eluzelre 11169 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
2524adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2625, 8remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
278, 25remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
2817fovcl 6401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
294, 28sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3029nn0red 10926 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
3127, 30readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
33 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
34 rmxypos 35797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3534simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
3633, 35sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )
37 eluzle 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  A )
3837adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  <_  A )
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 10546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
4025recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
418recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
4240, 41mulcomd 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A ) )
4334simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )
4433, 43sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
4530, 27ltaddposd 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A
)  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
4644, 45mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4742, 46eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 9793 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
49412timesd 10855 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
50 rmyp1 35781 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
514, 50sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
52 nnre 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5352adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
5453recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
55 ax-1cn 9597 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
56 npcan 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5754, 55, 56sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5857oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
5951, 58eqtr3d 2487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
6048, 49, 593brtr3d 4432 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <  ( A Yrm  N ) )
618, 8, 11ltaddsubd 10213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
638, 21, 11, 62ltadd1dd 10224 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6411recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
65642timesd 10855 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6665oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
6764, 64, 41addsubd 10007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6866, 67eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6963, 68breqtrrd 4429 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
7025, 11remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  RR )
71 rmy0 35777 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7271adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
73 nngt0 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7473adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76 0zd 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
771adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
78 ltrmy 35802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8074, 79mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
8172, 80eqbrtrrd 4425 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
82 lemul1 10457 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( A Yrm  N )  e.  RR  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )  ->  ( 2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8332, 25, 11, 81, 82syl112anc 1272 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8438, 83mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N
) ) )
8515, 70, 8, 84lesub1dd 10229 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
86 rmym1 35783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
871, 86sylan2 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
8864, 40mulcomd 9664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) )
8988oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) ) )
9087, 89eqtr2d 2486 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
9170recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  CC )
9220recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
93 subsub23 9880 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9491, 92, 41, 93syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9590, 94mpbid 214 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) )
9685, 95breqtrd 4427 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( A Xrm  N ) )
9712, 16, 20, 69, 96ltletrd 9795 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   Xrm crmx 35748   Yrm crmy 35749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689  df-pellfund 35690  df-rmx 35750  df-rmy 35751
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