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Theorem jm2.23 31177
Description: Lemma for jm2.20nn 31178. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12064 . . . . . 6 |- ( 3 ... J ) e. Fin
2 ssrab2 3571 . . . . . 6 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J )
3 ssfi 7733 . . . . . 6 |- ( ( ( 3 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J ) ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
41, 2, 3mp2an 670 . . . . 5 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
54a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
6 nnnn0 10798 . . . . . . . 8 |- ( J e. NN -> J e. NN0 )
763ad2ant3 1017 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. NN0 )
82sseli 3485 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 3 ... J ) )
9 elfzelz 11691 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . 7 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
11 bccl 12382 . . . . . . 7 |- ( ( J e. NN0 /\ a e. ZZ ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
127, 10, 11syl2an 475 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
1312nn0zd 10963 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. ZZ )
14 simpl1 997 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15 simpl2 998 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> N e. ZZ )
16 frmx 31088 . . . . . . . . . 10 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6380 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1918nn0zd 10963 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
208adantl 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 3 ... J ) )
21 fznn0sub 11720 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
23 zexpcl 12163 . . . . . . 7 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - a ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 659 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
25 rmspecnonsq 31082 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
2625eldifad 3473 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
2726nnzd 10964 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
28273ad2ant1 1015 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
29 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = a -> ( 2 || b <-> 2 || a ) )
3029notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = a -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || a ) )
3130elrab 3254 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
3231simprbi 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
33 1zzd 10891 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
34 n2dvds1 14119 . . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
36 omoe 14420 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. ZZ /\ -. 2 || a ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( a - 1 ) )
3710, 32, 33, 35, 36syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
38 2z 10892 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
40 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
42 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ZZ -> ( a - 1 ) e. ZZ )
4310, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
44 dvdsval2 14073 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( a - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4637, 45mpbid 210 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
4743zred 10965 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
48 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 e. RR )
49 3re 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. RR )
519zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. RR )
52 3pos 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < 3 )
54 elfzle1 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ a )
5548, 50, 51, 53, 54ltletrd 9731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < a )
56 elnnz 10870 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
579, 55, 56sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. NN )
58 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN -> ( a - 1 ) e. NN0 )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 1 ) e. NN0 )
6059nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 1 ) )
618, 60syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
62 2re 10601 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
64 2pos 10623 . . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
66 divge0 10407 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( a - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
6747, 61, 63, 65, 66syl22anc 1227 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
68 elnn0z 10873 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) )
6946, 67, 68sylanbrc 662 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
70 zexpcl 12163 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7128, 69, 70syl2an 475 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
72 frmy 31089 . . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
7372fovcl 6380 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
7414, 15, 73syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
75 elfzel1 11690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. ZZ )
769, 75zsubcld 10970 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. ZZ )
77 subge0 10061 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
7851, 49, 77sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
7954, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 3 ) )
80 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a - 3 ) e. NN0 <-> ( ( a - 3 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( a - 3 ) ) )
8176, 79, 80sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
828, 81syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 3 ) e. NN0 )
8382adantl 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
84 zexpcl 12163 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8574, 83, 84syl2anc 659 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8671, 85zmulcld 10971 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. ZZ )
8724, 86zmulcld 10971 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. ZZ )
8813, 87zmulcld 10971 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
895, 88fsumzcl 13639 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
90733adant3 1014 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
91 3nn0 10809 . . . 4 |- 3 e. NN0
92 zexpcl 12163 . . . 4 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
9390, 91, 92sylancl 660 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
94 dvdsmul2 14090 . . 3 |- ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
9589, 93, 94syl2anc 659 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
96 jm2.22 31176 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
976, 96syl3an3 1261 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
98 1lt3 10700 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 3
99 1re 9584 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
10099, 49ltnlei 9694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 3 <-> -. 3 <_ 1 )
10198, 100mpbi 208 . . . . . . . . . . 11 |- -. 3 <_ 1
102 elfzle1 11692 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ 1 )
103101, 102mto 176 . . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. ( 3 ... J )
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. ( 3 ... J ) )
105104intnanrd 915 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
106 breq2 4443 . . . . . . . . . 10 |- ( b = 1 -> ( 2 || b <-> 2 || 1 ) )
107106notbid 292 . . . . . . . . 9 |- ( b = 1 -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || 1 ) )
108107elrab 3254 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
109105, 108sylnibr 303 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
110 disjsn 4076 . . . . . . 7 |- ( ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
111109, 110sylibr 212 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) )
112 simpr 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> a = 1 )
113112olcd 391 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
114 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. NN0 )
115114adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. NN0 )
116115ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. NN0 )
117 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> -. 2 || a )
118 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a =/= 1 )
119 elnn1uz2 11159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN <-> ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
120 df-ne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a =/= 1 <-> -. a = 1 )
121120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a =/= 1 -> -. a = 1 )
1221213ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> -. a = 1 )
123122pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a = 1 -> 3 <_ a ) )
124123imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 1 ) -> 3 <_ a )
125 uzp1 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
126 1z 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. ZZ
127 dvdsmul1 14089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 1 ) )
12838, 126, 127mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || ( 2 x. 1 )
129 2t1e2 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
130128, 129breqtri 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 || 2
131 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = 2 -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
132131adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
133130, 132mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 2 || a )
134 simpl2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> -. 2 || a )
135133, 134pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 3 <_ a )
136 eluzle 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ a )
137 2p1e3 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 + 1 ) = 3
138137fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 3 )
139136, 138eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> 3 <_ a )
140139adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> 3 <_ a )
141135, 140jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) ) -> 3 <_ a )
142125, 141sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 3 <_ a )
143124, 142jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> 3 <_ a )
144119, 143sylan2b 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. NN ) -> 3 <_ a )
145 dvds0 14083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
14638, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 || 0
147 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = 0 -> ( 2 || a <-> 2 || 0 ) )
148146, 147mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = 0 -> 2 || a )
149148adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 2 || a )
150 simpl2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> -. 2 || a )
151149, 150pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 3 <_ a )
152 elnn0 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. NN0 <-> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
153152biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
1541533ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
155144, 151, 154mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
156116, 117, 118, 155syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
157 elfzle2 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a <_ J )
158157adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a <_ J )
159158ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a <_ J )
160 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. ZZ )
161160adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. ZZ )
162161ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ZZ )
163 3z 10893 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 e. ZZ )
165 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. NN -> J e. ZZ )
1661653ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. ZZ )
167166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> J e. ZZ )
168 elfz 11681 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
169162, 164, 167, 168syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
170156, 159, 169mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ( 3 ... J ) )
171170, 117jca 530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
172171orcd 390 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
173113, 172pm2.61dane 2772 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
174 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
17591, 174eleqtri 2540 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
176 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J )
178177sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ( 0 ... J ) )
179178anim1i 566 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
180179adantl 464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
181 0le1 10072 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 <_ 1 )
183 nnge1 10557 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. NN -> 1 <_ J )
1841833ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> 1 <_ J )
185184adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 <_ J )
186 1zzd 10891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ZZ )
187 0zd 10872 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 e. ZZ )
188166adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> J e. ZZ )
189 elfz 11681 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
190186, 187, 188, 189syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
191182, 185, 190mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ( 0 ... J ) )
19234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> -. 2 || 1 )
193 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a e. ( 0 ... J ) <-> 1 e. ( 0 ... J ) ) )
194 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = 1 -> ( 2 || a <-> 2 || 1 ) )
195194notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( -. 2 || a <-> -. 2 || 1 ) )
196193, 195anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
197196adantl 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
198191, 192, 197mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
199180, 198jaodan 783 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
200173, 199impbida 830 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) )
20130elrab 3254 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
202 elun 3631 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) )
203 elsn 4030 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { 1 } <-> a = 1 )
20431, 203orbi12i 519 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
205202, 204bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
206200, 201, 2053bitr4g 288 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) ) )
207206eqrdv 2451 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } = ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) )
208 fzfi 12064 . . . . . . . 8 |- ( 0 ... J ) e. Fin
209 ssrab2 3571 . . . . . . . 8 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J )
210 ssfi 7733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J ) ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
211208, 209, 210mp2an 670 . . . . . . 7 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
212211a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
213209sseli 3485 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 0 ... J ) )
214213, 160syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
2157, 214, 11syl2an 475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
216215nn0cnd 10850 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
217173adant3 1014 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
218217nn0cnd 10850 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
219218adantr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
220213adantl 464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 0 ... J ) )
221 fznn0sub 11720 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
222220, 221syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
223219, 222expcld 12292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
22490zcnd 10966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
225213, 114syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN0 )
226 expcl 12166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ a e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
227224, 225, 226syl2an 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
228 rmspecpos 31091 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
229228rpcnd 11261 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
2302293ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
231201simprbi 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
232 1zzd 10891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
23334a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
234214, 231, 232, 233, 36syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
23538a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
23640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
237214, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
238235, 236, 237, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
239234, 238mpbid 210 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
240237zred 10965 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
241148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( a = 0 -> 2 || a ) )
242241con3dimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> -. a = 0 )
243201, 242sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. a = 0 )
244225, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
245 orel2 381 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. a = 0 -> ( ( a e. NN \/ a = 0 ) -> a e. NN ) )
246243, 244, 245sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN )
247246, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. NN0 )
248247nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
24962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
251240, 248, 249, 250, 66syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
252239, 251, 68sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
253 expcl 12166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
254230, 252, 253syl2an 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
255227, 254mulcld 9605 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
256223, 255mulcld 9605 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
257216, 256mulcld 9605 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
258111, 207, 212, 257fsumsplit 13644 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
259 expcl 12166 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
260224, 91, 259sylancl 660 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
26188zcnd 10966 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
2625, 260, 261fsummulc1 13682 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
26312nn0cnd 10850 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
264218adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
265264, 22expcld 12292 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
266230, 69, 253syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
267 expcl 12166 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
268224, 82, 267syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
269266, 268mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. CC )
270265, 269mulcld 9605 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. CC )
271260adantr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
272263, 270, 271mulassd 9608 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
273265, 269, 271mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
274266, 268, 271mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
275268, 271mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
276266, 275mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
277224adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
27891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> 3 e. NN0 )
279277, 278, 83expaddd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
28010adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ZZ )
281280zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. CC )
282 3cn 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. CC
283 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
284281, 282, 283sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
285284oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
286279, 285eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
287286oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
288274, 276, 2873eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
289288oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
290273, 289eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
291290oveq2d 6286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
292272, 291eqtrd 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
293292sumeq2dv 13607 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
294262, 293eqtr2d 2496 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
295 1nn 10542 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
296 bccl 12382 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
2976, 126, 296sylancl 660 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
298297nn0cnd 10850 . . . . . . . . 9 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. CC )
2992983ad2ant3 1017 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) e. CC )
300 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. NN -> ( J - 1 ) e. NN0 )
3013003ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J - 1 ) e. NN0 )
302218, 301expcld 12292 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) e. CC )
303 1nn0 10807 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
304 expcl 12166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
305224, 303, 304sylancl 660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
306 1m1e0 10600 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
307306oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
308 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
309308, 40div0i 10274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 / 2 ) = 0
310307, 309eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
311 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
312310, 311eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
313 expcl 12166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
314230, 312, 313sylancl 660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
315305, 314mulcld 9605 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
316302, 315mulcld 9605 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
317299, 316mulcld 9605 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
318 oveq2 6278 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( J _C a ) = ( J _C 1 ) )
319 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( J - a ) = ( J - 1 ) )
320319oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) = ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) )
321 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) = ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) )
322 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
323322oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
324323oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) )
325321, 324oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
326320, 325oveq12d 6288 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
327318, 326oveq12d 6288 . . . . . . . 8 |- ( a = 1 -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
328327sumsn 13645 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
329295, 317, 328sylancr 661 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
330294, 329oveq12d 6288 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
33197, 258, 3303eqtrd 2499 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
332 bcn1 12373 . . . . . . 7 |- ( J e. NN0 -> ( J _C 1 ) = J )
3337, 332syl 16 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) = J )
334333eqcomd 2462 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J = ( J _C 1 ) )
335224exp1d 12287 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) = ( A Yrm N ) )
336310a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0 )
337336oveq2d 6286 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) )
338230exp0d 12286 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) = 1 )
339337, 338eqtrd 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
340335, 339oveq12d 6288 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( A Yrm N ) x. 1 ) )
341224mulid1d 9602 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. 1 ) = ( A Yrm N ) )
342340, 341eqtr2d 2496 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
343342oveq2d 6286 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
344334, 343oveq12d 6288 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
345331, 344oveq12d 6288 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
3465, 261fsumcl 13637 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
347346, 260mulcld 9605 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
348347, 317pncand 9923 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
349345, 348eqtrd 2495 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
35095, 349breqtrrd 4465 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   {crab 2808   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   ^cexp 12148   _C cbc 12362   sum_csu 13590   || cdvds 14070  ◻NNcsquarenn 31011   Xrm crmx 31075   Yrm crmy 31076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-numer 14352  df-denom 14353  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-squarenn 31016  df-pell1qr 31017  df-pell14qr 31018  df-pell1234qr 31019  df-pellfund 31020  df-rmx 31077  df-rmy 31078
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  31178
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