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Theorem jm2.23 29486
Description: Lemma for jm2.20nn 29487. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11904 . . . . . 6 |- ( 3 ... J ) e. Fin
2 ssrab2 3538 . . . . . 6 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J )
3 ssfi 7637 . . . . . 6 |- ( ( ( 3 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J ) ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
54a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
6 nnnn0 10690 . . . . . . . 8 |- ( J e. NN -> J e. NN0 )
763ad2ant3 1011 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. NN0 )
82sseli 3453 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 3 ... J ) )
9 elfzelz 11563 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . 7 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
11 bccl 12208 . . . . . . 7 |- ( ( J e. NN0 /\ a e. ZZ ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
127, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
1312nn0zd 10849 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. ZZ )
14 simpl1 991 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15 simpl2 992 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> N e. ZZ )
16 frmx 29395 . . . . . . . . . 10 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6298 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1918nn0zd 10849 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
208adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 3 ... J ) )
21 fznn0sub 11597 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
23 zexpcl 11990 . . . . . . 7 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - a ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
25 rmspecnonsq 29389 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
2625eldifad 3441 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
2726nnzd 10850 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
28273ad2ant1 1009 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
29 breq2 4397 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = a -> ( 2 || b <-> 2 || a ) )
3029notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = a -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || a ) )
3130elrab 3217 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
33 1z 10780 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
35 n2dvds1 13693 . . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
37 omoe 13990 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. ZZ /\ -. 2 || a ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( a - 1 ) )
3810, 32, 34, 36, 37syl22anc 1220 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
39 2z 10782 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
41 2ne0 10518 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
43 peano2zm 10792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ZZ -> ( a - 1 ) e. ZZ )
4410, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
45 dvdsval2 13649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( a - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4738, 46mpbid 210 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
4844zred 10851 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
49 0re 9490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 e. RR )
51 3re 10499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. RR )
539zred 10851 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. RR )
54 3pos 10519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < 3 )
56 elfzle1 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ a )
5750, 52, 53, 55, 56ltletrd 9635 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < a )
58 elnnz 10760 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
599, 57, 58sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. NN )
60 nnm1nn0 10725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN -> ( a - 1 ) e. NN0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 1 ) e. NN0 )
6261nn0ge0d 10743 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 1 ) )
638, 62syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
64 2re 10495 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
66 2pos 10517 . . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
68 divge0 10302 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( a - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
6948, 63, 65, 67, 68syl22anc 1220 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
70 elnn0z 10763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) )
7147, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
72 zexpcl 11990 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7328, 71, 72syl2an 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
74 frmy 29396 . . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
7574fovcl 6298 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
7614, 15, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
77 elfzel1 11562 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. ZZ )
789, 77zsubcld 10856 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. ZZ )
79 subge0 9956 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
8053, 51, 79sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
8156, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 3 ) )
82 elnn0z 10763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a - 3 ) e. NN0 <-> ( ( a - 3 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( a - 3 ) ) )
8378, 81, 82sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
848, 83syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 3 ) e. NN0 )
8584adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
86 zexpcl 11990 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8776, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8873, 87zmulcld 10857 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. ZZ )
8924, 88zmulcld 10857 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. ZZ )
9013, 89zmulcld 10857 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
915, 90fsumzcl 13323 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
92753adant3 1008 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
93 3nn0 10701 . . . 4 |- 3 e. NN0
94 zexpcl 11990 . . . 4 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
9592, 93, 94sylancl 662 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
96 dvdsmul2 13666 . . 3 |- ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
9791, 95, 96syl2anc 661 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
98 jm2.22 29485 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
996, 98syl3an3 1254 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
100 1lt3 10594 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 3
101 1re 9489 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
102101, 51ltnlei 9599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 3 <-> -. 3 <_ 1 )
103100, 102mpbi 208 . . . . . . . . . . 11 |- -. 3 <_ 1
104 elfzle1 11564 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ 1 )
105103, 104mto 176 . . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. ( 3 ... J )
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. ( 3 ... J ) )
107106intnanrd 908 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
108 breq2 4397 . . . . . . . . . 10 |- ( b = 1 -> ( 2 || b <-> 2 || 1 ) )
109108notbid 294 . . . . . . . . 9 |- ( b = 1 -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || 1 ) )
110109elrab 3217 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
111107, 110sylnibr 305 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
112 disjsn 4037 . . . . . . 7 |- ( ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
113111, 112sylibr 212 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) )
114 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> a = 1 )
115114olcd 393 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
116 elfznn0 11591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. NN0 )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. NN0 )
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. NN0 )
119 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> -. 2 || a )
120 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a =/= 1 )
121 elnn1uz2 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN <-> ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
122 df-ne 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a =/= 1 <-> -. a = 1 )
123122biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a =/= 1 -> -. a = 1 )
1241233ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> -. a = 1 )
125124pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a = 1 -> 3 <_ a ) )
126125imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 1 ) -> 3 <_ a )
127 uzp1 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
128 dvdsmul1 13665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 1 ) )
12939, 33, 128mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || ( 2 x. 1 )
130 2cn 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
131130mulid1i 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
132129, 131breqtri 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 || 2
133 breq2 4397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = 2 -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
135132, 134mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 2 || a )
136 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> -. 2 || a )
137135, 136pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 3 <_ a )
138 eluzle 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ a )
139 2p1e3 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 + 1 ) = 3
140139fveq2i 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 3 )
141138, 140eleq2s 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> 3 <_ a )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> 3 <_ a )
143137, 142jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) ) -> 3 <_ a )
144127, 143sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 3 <_ a )
145126, 144jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> 3 <_ a )
146121, 145sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. NN ) -> 3 <_ a )
147 dvds0 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
14839, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 || 0
149 breq2 4397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = 0 -> ( 2 || a <-> 2 || 0 ) )
150148, 149mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = 0 -> 2 || a )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 2 || a )
152 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> -. 2 || a )
153151, 152pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 3 <_ a )
154 elnn0 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. NN0 <-> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
155154biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
1561553ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
157146, 153, 156mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
158118, 119, 120, 157syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
159 elfzle2 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a <_ J )
160159adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a <_ J )
161160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a <_ J )
162 elfzelz 11563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. ZZ )
163162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. ZZ )
164163ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ZZ )
165 3z 10783 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 e. ZZ )
167 nnz 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. NN -> J e. ZZ )
1681673ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. ZZ )
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> J e. ZZ )
170 elfz 11553 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
171164, 166, 169, 170syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
172158, 161, 171mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ( 3 ... J ) )
173172, 119jca 532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
174173orcd 392 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
175115, 174pm2.61dane 2766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
176 nn0uz 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
17793, 176eleqtri 2537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
178 fzss1 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
179177, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J )
180179sseli 3453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ( 0 ... J ) )
181180anim1i 568 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
182181adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
183 0le1 9967 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 <_ 1 )
185 nnge1 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. NN -> 1 <_ J )
1861853ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> 1 <_ J )
187186adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 <_ J )
18833a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ZZ )
189 0zd 10762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 e. ZZ )
190168adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> J e. ZZ )
191 elfz 11553 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
192188, 189, 190, 191syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
193184, 187, 192mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ( 0 ... J ) )
19435a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> -. 2 || 1 )
195 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a e. ( 0 ... J ) <-> 1 e. ( 0 ... J ) ) )
196 breq2 4397 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = 1 -> ( 2 || a <-> 2 || 1 ) )
197196notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( -. 2 || a <-> -. 2 || 1 ) )
198195, 197anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
199198adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
200193, 194, 199mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
201182, 200jaodan 783 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
202175, 201impbida 828 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) )
20330elrab 3217 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
204 elun 3598 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) )
205 elsn 3992 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { 1 } <-> a = 1 )
20631, 205orbi12i 521 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
207204, 206bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
208202, 203, 2073bitr4g 288 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) ) )
209208eqrdv 2448 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } = ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) )
210 fzfi 11904 . . . . . . . 8 |- ( 0 ... J ) e. Fin
211 ssrab2 3538 . . . . . . . 8 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J )
212 ssfi 7637 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J ) ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
213210, 211, 212mp2an 672 . . . . . . 7 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
214213a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
215211sseli 3453 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 0 ... J ) )
216215, 162syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
2177, 216, 11syl2an 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
218217nn0cnd 10742 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
219173adant3 1008 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
220219nn0cnd 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
221220adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
222215adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 0 ... J ) )
223 fznn0sub 11597 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
224222, 223syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
225221, 224expcld 12118 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
22692zcnd 10852 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
227215, 116syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN0 )
228 expcl 11993 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ a e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
229226, 227, 228syl2an 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
230 rmspecpos 29398 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
231230rpcnd 11133 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
2322313ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
233203simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
23433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
23535a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
236216, 233, 234, 235, 37syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
23739a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
23841a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
239216, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
240237, 238, 239, 45syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
241236, 240mpbid 210 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
242239zred 10851 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
243150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( a = 0 -> 2 || a ) )
244243con3dimp 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> -. a = 0 )
245203, 244sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. a = 0 )
246227, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
247 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. a = 0 -> ( ( a e. NN \/ a = 0 ) -> a e. NN ) )
248245, 246, 247sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN )
249248, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. NN0 )
250249nn0ge0d 10743 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
25164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
25266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
253242, 250, 251, 252, 68syl22anc 1220 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
254241, 253, 70sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
255 expcl 11993 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
256232, 254, 255syl2an 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
257229, 256mulcld 9510 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
258225, 257mulcld 9510 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
259218, 258mulcld 9510 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
260113, 209, 214, 259fsumsplit 13327 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
261 expcl 11993 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
262226, 93, 261sylancl 662 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
26390zcnd 10852 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
2645, 262, 263fsummulc1 13363 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
26512nn0cnd 10742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
266220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
267266, 22expcld 12118 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
268232, 71, 255syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
269 expcl 11993 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
270226, 84, 269syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
271268, 270mulcld 9510 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. CC )
272267, 271mulcld 9510 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. CC )
273262adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
274265, 272, 273mulassd 9513 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
275267, 271, 273mulassd 9513 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
276268, 270, 273mulassd 9513 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
277270, 273mulcld 9510 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
278268, 277mulcomd 9511 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
279226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
28093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> 3 e. NN0 )
281279, 280, 85expaddd 12120 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
28210adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ZZ )
283282zcnd 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. CC )
284 3cn 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. CC
285 npcan 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
286283, 284, 285sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
287286oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
288281, 287eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
289288oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
290276, 278, 2893eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
291290oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
292275, 291eqtrd 2492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
293292oveq2d 6209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
294274, 293eqtrd 2492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
295294sumeq2dv 13291 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
296264, 295eqtr2d 2493 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
297 1nn 10437 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
298 bccl 12208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
2996, 33, 298sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
300299nn0cnd 10742 . . . . . . . . 9 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. CC )
3013003ad2ant3 1011 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) e. CC )
302 nnm1nn0 10725 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. NN -> ( J - 1 ) e. NN0 )
3033023ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J - 1 ) e. NN0 )
304220, 303expcld 12118 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) e. CC )
305 1nn0 10699 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
306 expcl 11993 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
307226, 305, 306sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
308 1m1e0 10494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
309308oveq1i 6203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
310130, 41div0i 10169 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 / 2 ) = 0
311309, 310eqtri 2480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
312 0nn0 10698 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
313311, 312eqeltri 2535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
314 expcl 11993 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
315232, 313, 314sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
316307, 315mulcld 9510 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
317304, 316mulcld 9510 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
318301, 317mulcld 9510 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
319 oveq2 6201 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( J _C a ) = ( J _C 1 ) )
320 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( J - a ) = ( J - 1 ) )
321320oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) = ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) )
322 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) = ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) )
323 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
324323oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
325324oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) )
326322, 325oveq12d 6211 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
327321, 326oveq12d 6211 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
328319, 327oveq12d 6211 . . . . . . . 8 |- ( a = 1 -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
329328sumsn 13328 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
330297, 318, 329sylancr 663 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
331296, 330oveq12d 6211 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
33299, 260, 3313eqtrd 2496 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
333 bcn1 12199 . . . . . . 7 |- ( J e. NN0 -> ( J _C 1 ) = J )
3347, 333syl 16 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) = J )
335334eqcomd 2459 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J = ( J _C 1 ) )
336226exp1d 12113 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) = ( A Yrm N ) )
337311a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0 )
338337oveq2d 6209 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) )
339232exp0d 12112 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) = 1 )
340338, 339eqtrd 2492 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
341336, 340oveq12d 6211 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( A Yrm N ) x. 1 ) )
342226mulid1d 9507 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. 1 ) = ( A Yrm N ) )
343341, 342eqtr2d 2493 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
344343oveq2d 6209 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
345335, 344oveq12d 6211 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
346332, 345oveq12d 6211 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
3475, 263fsumcl 13321 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
348347, 262mulcld 9510 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
349348, 318pncand 9824 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
350346, 349eqtrd 2492 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
35197, 350breqtrrd 4419 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   {crab 2799   u. cun 3427   i^i cin 3428   C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   3c3 10476   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547   ^cexp 11975   _C cbc 12188   sum_csu 13274   || cdivides 13646  ◻NNcsquarenn 29318   Xrm crmx 29382   Yrm crmy 29383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-numer 13924  df-denom 13925  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-squarenn 29323  df-pell1qr 29324  df-pell14qr 29325  df-pell1234qr 29326  df-pellfund 29327  df-rmx 29384  df-rmy 29385
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  29487
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