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Theorem jm2.23 35851
Description: Lemma for jm2.20nn 35852. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12185 . . . . . 6  |-  ( 3 ... J )  e. 
Fin
2 ssrab2 3514 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J
)
3 ssfi 7792 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 678 . . . . 5  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
6 nnnn0 10876 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  NN0 )
763ad2ant3 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  NN0 )
82sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
9 elfzelz 11800 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
11 bccl 12507 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  a
)  e.  NN0 )
127, 10, 11syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
1312nn0zd 11038 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  ZZ )
14 simpl1 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
15 simpl2 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  N  e.  ZZ )
16 frmx 35761 . . . . . . . . . 10  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1918nn0zd 11038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
208adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
21 fznn0sub 11831 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
23 zexpcl 12287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  a )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
25 rmspecnonsq 35755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2625eldifad 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2726nnzd 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
28273ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
29 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  a ) )
3029notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  a ) )
3130elrab 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
3231simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
33 1zzd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
34 n2dvds1 14354 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  2  ||  1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
36 omoe 14762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  a
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
a  -  1 ) )
3710, 32, 33, 35, 36syl22anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
38 2z 10969 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
40 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
42 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
4310, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
44 dvdsval2 14308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
a  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
a  -  1 )  <-> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4637, 45mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
4743zred 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
48 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  e.  RR )
49 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  RR )
519zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  RR )
52 3pos 10703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  3 )
54 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  a )
5548, 50, 51, 53, 54ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  a )
56 elnnz 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  0  < 
a ) )
579, 55, 56sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  NN )
58 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
6059nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
618, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
62 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
64 2pos 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
66 divge0 10474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
a  -  1 )  /  2 ) )
6747, 61, 63, 65, 66syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
68 elnn0z 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) )
6946, 67, 68sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
70 zexpcl 12287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7128, 69, 70syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
72 frmy 35762 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
7372fovcl 6401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
7414, 15, 73syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
75 elfzel1 11799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  ZZ )
769, 75zsubcld 11045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  ZZ )
77 subge0 10127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
a  -  3 )  <->  3  <_  a )
)
7851, 49, 77sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
0  <_  ( a  -  3 )  <->  3  <_  a ) )
7954, 78mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  3 ) )
80 elnn0z 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  -  3 )  e.  NN0  <->  ( ( a  -  3 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( a  -  3 ) ) )
8176, 79, 80sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
828, 81syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
8382adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
84 zexpcl 12287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
8574, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
8671, 85zmulcld 11046 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  ZZ )
8724, 86zmulcld 11046 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  ZZ )
8813, 87zmulcld 11046 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
895, 88fsumzcl 13801 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
90733adant3 1028 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
91 3nn0 10887 . . . 4  |-  3  e.  NN0
92 zexpcl 12287 . . . 4  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
9390, 91, 92sylancl 668 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
94 dvdsmul2 14325 . . 3  |-  ( (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
9589, 93, 94syl2anc 667 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
96 jm2.22 35850 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
976, 96syl3an3 1303 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
98 1lt3 10778 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
99 1re 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
10099, 49ltnlei 9755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  3  <->  -.  3  <_  1 )
10198, 100mpbi 212 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  3  <_  1
102 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  1 )
103101, 102mto 180 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1  e.  ( 3 ... J
)
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  ( 3 ... J ) )
105104intnanrd 928 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
106 breq2 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  1  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  1 ) )
107106notbid 296 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  1  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  1 ) )
108107elrab 3196 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
109105, 108sylnibr 307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
110 disjsn 4032 . . . . . . 7  |-  ( ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
111109, 110sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  a  =  1 )
113112olcd 395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
114 elfznn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  NN0 )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  NN0 )
116115ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  NN0 )
117 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  2  ||  a )
118 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  =/=  1 )
119 elnn1uz2 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
120 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =/=  1  <->  -.  a  =  1 )
121120biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =/=  1  ->  -.  a  =  1 )
1221213ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  a  =  1
)
123122pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  =  1  ->  3  <_  a
) )
124123imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
1 )  ->  3  <_  a )
125 uzp1 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
126 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
127 dvdsmul1 14324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  1 ) )
12838, 126, 127mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  ( 2  x.  1 )
129 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
130128, 129breqtri 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  ||  2
131 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  2  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
133130, 132mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  2  ||  a )
134 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  -.  2  ||  a )
135133, 134pm2.21dd 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  3  <_  a )
136 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  a )
137 2p1e3 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  +  1 )  =  3
138137fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
139136, 138eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  3  <_  a )
140139adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  <_  a )
141135, 140jaodan 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )  ->  3  <_  a )
142125, 141sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  3  <_  a )
143124, 142jaodan 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  3  <_  a )
144119, 143sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  NN )  ->  3  <_ 
a )
145 dvds0 14318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
14638, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  ||  0
147 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  0 ) )
148146, 147mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  0  ->  2  ||  a )
149148adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  2  ||  a )
150 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  -.  2  ||  a )
151149, 150pm2.21dd 178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  3  <_  a )
152 elnn0 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  NN0  <->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
153152biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
1541533ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  NN  \/  a  =  0
) )
155144, 151, 154mpjaodan 795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
156116, 117, 118, 155syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
157 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  <_  J )
158157adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  <_  J
)
159158ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  <_  J )
160 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
161160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  ZZ )
162161ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ZZ )
163 3z 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  e.  ZZ )
165 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  ZZ )
1661653ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  ZZ )
167166ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  J  e.  ZZ )
168 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
a  e.  ( 3 ... J )  <->  ( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
169162, 164, 167, 168syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  <-> 
( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
170156, 159, 169mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ( 3 ... J ) )
171170, 117jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
172171orcd 394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
173113, 172pm2.61dane 2711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
174 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
17591, 174eleqtri 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
176 fzss1 11837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
)
178177sseli 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
179178anim1i 572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
180179adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
181 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  <_  1 )
183 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
1841833ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  1  <_  J )
185184adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  <_  J )
186 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
187 0zd 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  e.  ZZ )
188166adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  J  e.  ZZ )
189 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... J )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
190186, 187, 188, 189syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... J )  <-> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
191182, 185, 190mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ( 0 ... J ) )
19234a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  -.  2  ||  1 )
193 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  e.  ( 0 ... J )  <->  1  e.  ( 0 ... J
) ) )
194 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  1 ) )
195194notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  ( -.  2  ||  a  <->  -.  2  ||  1 ) )
196193, 195anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
197196adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
198191, 192, 197mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
199180, 198jaodan 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
200173, 199impbida 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) ) )
20130elrab 3196 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
202 elun 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } ) )
203 elsn 3982 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { 1 }  <-> 
a  =  1 )
20431, 203orbi12i 524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
205202, 204bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
206200, 201, 2053bitr4g 292 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  <->  a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) ) )
207206eqrdv 2449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  =  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) )
208 fzfi 12185 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
209 ssrab2 3514 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J
)
210 ssfi 7792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
211208, 209, 210mp2an 678 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
212211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
213209sseli 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
214213, 160syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
2157, 214, 11syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
216215nn0cnd 10927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
217173adant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
218217nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
219218adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
220213adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
221 fznn0sub 11831 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
222220, 221syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
223219, 222expcld 12416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
22490zcnd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
225213, 114syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN0 )
226 expcl 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  a  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
227224, 225, 226syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
228 rmspecpos 35764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
229228rpcnd 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
2302293ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
231201simprbi 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
232 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
23334a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
234214, 231, 232, 233, 36syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
23538a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
23640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
237214, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
238235, 236, 237, 44syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
239234, 238mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
240237zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
241148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  (
a  =  0  -> 
2  ||  a )
)
242241con3dimp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  -.  a  = 
0 )
243201, 242sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  a  =  0 )
244225, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
245 orel2 385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  a  =  0  -> 
( ( a  e.  NN  \/  a  =  0 )  ->  a  e.  NN ) )
246243, 244, 245sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN )
247246, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
248247nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
24962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
251240, 248, 249, 250, 66syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
252239, 251, 68sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
253 expcl 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
254230, 252, 253syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
255227, 254mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
256223, 255mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
257216, 256mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
258111, 207, 212, 257fsumsplit 13806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  { 1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
259 expcl 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
260224, 91, 259sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
26188zcnd 11041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  CC )
2625, 260, 261fsummulc1 13846 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
26312nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
264218adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
265264, 22expcld 12416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
266230, 69, 253syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
267 expcl 12290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
268224, 82, 267syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
269266, 268mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  CC )
270265, 269mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  CC )
271260adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
272263, 270, 271mulassd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
273265, 269, 271mulassd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
274266, 268, 271mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
275268, 271mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
276266, 275mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) )
277224adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
27891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  3  e.  NN0 )
279277, 278, 83expaddd 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
28010adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ZZ )
281280zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  CC )
282 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  CC
283 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( a  - 
3 )  +  3 )  =  a )
284281, 282, 283sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( a  -  3 )  +  3 )  =  a )
285284oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
a ) )
286279, 285eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^ a ) )
287286oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
288274, 276, 2873eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
289288oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
290273, 289eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
291290oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
292272, 291eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
293292sumeq2dv 13769 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
294262, 293eqtr2d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
295 1nn 10620 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
296 bccl 12507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  1
)  e.  NN0 )
2976, 126, 296sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e. 
NN0 )
298297nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
2992983ad2ant3 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
300 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
3013003ad2ant3 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
302218, 301expcld 12416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  e.  CC )
303 1nn0 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
304 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
305224, 303, 304sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
306 1m1e0 10678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
307306oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  ( 0  /  2
)
308 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
309308, 40div0i 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  /  2 )  =  0
310307, 309eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  0
311 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
312310, 311eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0
313 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  -  1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
314230, 312, 313sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
315305, 314mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
316302, 315mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
317299, 316mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
318 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  ( J  _C  a )  =  ( J  _C  1
) )
319 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  ( J  -  a )  =  ( J  - 
1 ) )
320319oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  =  ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) ) )
321 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
1 ) )
322 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
323322oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) )
324323oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) )
325321, 324oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
326320, 325oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
327318, 326oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
328327sumsn 13807 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )
329295, 317, 328sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { 1 }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
330294, 329oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
33197, 258, 3303eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  ( ( sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
332 bcn1 12498 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
3337, 332syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
334333eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  =  ( J  _C  1 ) )
335224exp1d 12411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  =  ( A Yrm  N ) )
336310a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1  -  1 )  /  2 )  =  0 )
337336oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
0 ) )
338230exp0d 12410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
339337, 338eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
340335, 339oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
341224mulid1d 9660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  ( A Yrm  N ) )
342340, 341eqtr2d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
343342oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
344334, 343oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  x.  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
345331, 344oveq12d 6308 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3465, 261fsumcl 13799 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  CC )
347346, 260mulcld 9663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
348347, 317pncand 9987 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
349345, 348eqtrd 2485 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
35095, 349breqtrrd 4429 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   {crab 2741    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   ^cexp 12272    _C cbc 12487   sum_csu 13752    || cdvds 14305  ◻NNcsquarenn 35680   Xrm crmx 35748   Yrm crmy 35749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689  df-pellfund 35690  df-rmx 35750  df-rmy 35751
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  35852
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