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Theorem jm2.23 35851
Description: Lemma for jm2.20nn 35852. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12185 . . . . . 6 |- ( 3 ... J ) e. Fin
2 ssrab2 3514 . . . . . 6 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J )
3 ssfi 7792 . . . . . 6 |- ( ( ( 3 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 3 ... J ) ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
41, 2, 3mp2an 678 . . . . 5 |- { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
54a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
6 nnnn0 10876 . . . . . . . 8 |- ( J e. NN -> J e. NN0 )
763ad2ant3 1031 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. NN0 )
82sseli 3428 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 3 ... J ) )
9 elfzelz 11800 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ZZ )
108, 9syl 17 . . . . . . 7 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
11 bccl 12507 . . . . . . 7 |- ( ( J e. NN0 /\ a e. ZZ ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
127, 10, 11syl2an 480 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
1312nn0zd 11038 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. ZZ )
14 simpl1 1011 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15 simpl2 1012 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> N e. ZZ )
16 frmx 35761 . . . . . . . . . 10 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6401 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1918nn0zd 11038 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
208adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 3 ... J ) )
21 fznn0sub 11831 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
23 zexpcl 12287 . . . . . . 7 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - a ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. ZZ )
25 rmspecnonsq 35755 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ ◻NN ) )
2625eldifad 3416 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. NN )
2726nnzd 11039 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
28273ad2ant1 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
29 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = a -> ( 2 || b <-> 2 || a ) )
3029notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = a -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || a ) )
3130elrab 3196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
3231simprbi 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
33 1zzd 10968 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
34 n2dvds1 14354 . . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
36 omoe 14762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. ZZ /\ -. 2 || a ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( a - 1 ) )
3710, 32, 33, 35, 36syl22anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
38 2z 10969 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
40 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
42 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ZZ -> ( a - 1 ) e. ZZ )
4310, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
44 dvdsval2 14308 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( a - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4637, 45mpbid 214 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
4743zred 11040 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
48 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 e. RR )
49 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. RR )
519zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. RR )
52 3pos 10703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < 3 )
54 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ a )
5548, 50, 51, 53, 54ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 < a )
56 elnnz 10947 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
579, 55, 56sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. NN )
58 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN -> ( a - 1 ) e. NN0 )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 1 ) e. NN0 )
6059nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 1 ) )
618, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
62 2re 10679 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
64 2pos 10701 . . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
66 divge0 10474 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( a - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
6747, 61, 63, 65, 66syl22anc 1269 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
68 elnn0z 10950 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) )
6946, 67, 68sylanbrc 670 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
70 zexpcl 12287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7128, 69, 70syl2an 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
72 frmy 35762 . . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
7372fovcl 6401 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
7414, 15, 73syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
75 elfzel1 11799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 3 e. ZZ )
769, 75zsubcld 11045 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. ZZ )
77 subge0 10127 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
7851, 49, 77sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( 0 <_ ( a - 3 ) <-> 3 <_ a ) )
7954, 78mpbird 236 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> 0 <_ ( a - 3 ) )
80 elnn0z 10950 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a - 3 ) e. NN0 <-> ( ( a - 3 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( a - 3 ) ) )
8176, 79, 80sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
828, 81syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 3 ) e. NN0 )
8382adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( a - 3 ) e. NN0 )
84 zexpcl 12287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8574, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. ZZ )
8671, 85zmulcld 11046 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. ZZ )
8724, 86zmulcld 11046 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. ZZ )
8813, 87zmulcld 11046 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
895, 88fsumzcl 13801 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ )
90733adant3 1028 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
91 3nn0 10887 . . . 4 |- 3 e. NN0
92 zexpcl 12287 . . . 4 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
9390, 91, 92sylancl 668 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
94 dvdsmul2 14325 . . 3 |- ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
9589, 93, 94syl2anc 667 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
96 jm2.22 35850 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
976, 96syl3an3 1303 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
98 1lt3 10778 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 3
99 1re 9642 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
10099, 49ltnlei 9755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 3 <-> -. 3 <_ 1 )
10198, 100mpbi 212 . . . . . . . . . . 11 |- -. 3 <_ 1
102 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ( 3 ... J ) -> 3 <_ 1 )
103101, 102mto 180 . . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. ( 3 ... J )
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. ( 3 ... J ) )
105104intnanrd 928 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
106 breq2 4406 . . . . . . . . . 10 |- ( b = 1 -> ( 2 || b <-> 2 || 1 ) )
107106notbid 296 . . . . . . . . 9 |- ( b = 1 -> ( -. 2 || b <-> -. 2 || 1 ) )
108107elrab 3196 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( 1 e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) )
109105, 108sylnibr 307 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
110 disjsn 4032 . . . . . . 7 |- ( ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } )
111109, 110sylibr 216 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } i^i { 1 } ) = (/) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> a = 1 )
113112olcd 395 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
114 elfznn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. NN0 )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. NN0 )
116115ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. NN0 )
117 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> -. 2 || a )
118 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a =/= 1 )
119 elnn1uz2 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN <-> ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
120 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a =/= 1 <-> -. a = 1 )
121120biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a =/= 1 -> -. a = 1 )
1221213ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> -. a = 1 )
123122pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a = 1 -> 3 <_ a ) )
124123imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 1 ) -> 3 <_ a )
125 uzp1 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
126 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. ZZ
127 dvdsmul1 14324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 1 ) )
12838, 126, 127mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || ( 2 x. 1 )
129 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) = 2
130128, 129breqtri 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 || 2
131 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = 2 -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> ( 2 || a <-> 2 || 2 ) )
133130, 132mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 2 || a )
134 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> -. 2 || a )
135133, 134pm2.21dd 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 2 ) -> 3 <_ a )
136 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ a )
137 2p1e3 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 + 1 ) = 3
138137fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 3 )
139136, 138eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> 3 <_ a )
140139adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> 3 <_ a )
141135, 140jaodan 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 2 \/ a e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) ) -> 3 <_ a )
142125, 141sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 3 <_ a )
143124, 142jaodan 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ ( a = 1 \/ a e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> 3 <_ a )
144119, 143sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a e. NN ) -> 3 <_ a )
145 dvds0 14318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
14638, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 || 0
147 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = 0 -> ( 2 || a <-> 2 || 0 ) )
148146, 147mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = 0 -> 2 || a )
149148adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 2 || a )
150 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> -. 2 || a )
151149, 150pm2.21dd 178 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) /\ a = 0 ) -> 3 <_ a )
152 elnn0 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. NN0 <-> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
153152biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
1541533ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
155144, 151, 154mpjaodan 795 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. NN0 /\ -. 2 || a /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
156116, 117, 118, 155syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 <_ a )
157 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a <_ J )
158157adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a <_ J )
159158ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a <_ J )
160 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> a e. ZZ )
161160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> a e. ZZ )
162161ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ZZ )
163 3z 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> 3 e. ZZ )
165 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. NN -> J e. ZZ )
1661653ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J e. ZZ )
167166ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> J e. ZZ )
168 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
169162, 164, 167, 168syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) <-> ( 3 <_ a /\ a <_ J ) ) )
170156, 159, 169mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> a e. ( 3 ... J ) )
171170, 117jca 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
172171orcd 394 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) /\ a =/= 1 ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
173113, 172pm2.61dane 2711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
174 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
17591, 174eleqtri 2527 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
176 fzss1 11837 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 ... J ) C_ ( 0 ... J )
178177sseli 3428 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( 3 ... J ) -> a e. ( 0 ... J ) )
179178anim1i 572 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
180179adantl 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
181 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 <_ 1 )
183 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. NN -> 1 <_ J )
1841833ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> 1 <_ J )
185184adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 <_ J )
186 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ZZ )
187 0zd 10949 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 0 e. ZZ )
188166adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> J e. ZZ )
189 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
190186, 187, 188, 189syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( 1 e. ( 0 ... J ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ J ) ) )
191182, 185, 190mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> 1 e. ( 0 ... J ) )
19234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> -. 2 || 1 )
193 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a e. ( 0 ... J ) <-> 1 e. ( 0 ... J ) ) )
194 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = 1 -> ( 2 || a <-> 2 || 1 ) )
195194notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( -. 2 || a <-> -. 2 || 1 ) )
196193, 195anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
197196adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( 1 e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || 1 ) ) )
198191, 192, 197mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a = 1 ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
199180, 198jaodan 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) -> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
200173, 199impbida 843 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) ) )
20130elrab 3196 . . . . . . . 8 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) )
202 elun 3574 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) )
203 elsn 3982 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { 1 } <-> a = 1 )
20431, 203orbi12i 524 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } \/ a e. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
205202, 204bitri 253 . . . . . . . 8 |- ( a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) <-> ( ( a e. ( 3 ... J ) /\ -. 2 || a ) \/ a = 1 ) )
206200, 201, 2053bitr4g 292 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } <-> a e. ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) ) )
207206eqrdv 2449 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } = ( { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } u. { 1 } ) )
208 fzfi 12185 . . . . . . . 8 |- ( 0 ... J ) e. Fin
209 ssrab2 3514 . . . . . . . 8 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J )
210 ssfi 7792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } C_ ( 0 ... J ) ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
211208, 209, 210mp2an 678 . . . . . . 7 |- { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin
212211a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } e. Fin )
213209sseli 3428 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ( 0 ... J ) )
214213, 160syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. ZZ )
2157, 214, 11syl2an 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. NN0 )
216215nn0cnd 10927 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
217173adant3 1028 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
218217nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
219218adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
220213adantl 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ( 0 ... J ) )
221 fznn0sub 11831 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( J - a ) e. NN0 )
222220, 221syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J - a ) e. NN0 )
223219, 222expcld 12416 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
22490zcnd 11041 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
225213, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN0 )
226 expcl 12290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ a e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
227224, 225, 226syl2an 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) e. CC )
228 rmspecpos 35764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
229228rpcnd 11343 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
2302293ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
231201simprbi 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || a )
232 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 1 e. ZZ )
23334a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. 2 || 1 )
234214, 231, 232, 233, 36syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 || ( a - 1 ) )
23538a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. ZZ )
23640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 =/= 0 )
237214, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. ZZ )
238235, 236, 237, 44syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( 2 || ( a - 1 ) <-> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
239234, 238mpbid 214 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
240237zred 11040 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. RR )
241148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( 0 ... J ) -> ( a = 0 -> 2 || a ) )
242241con3dimp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || a ) -> -. a = 0 )
243201, 242sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> -. a = 0 )
244225, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a e. NN \/ a = 0 ) )
245 orel2 385 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. a = 0 -> ( ( a e. NN \/ a = 0 ) -> a e. NN ) )
246243, 244, 245sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> a e. NN )
247246, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( a - 1 ) e. NN0 )
248247nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( a - 1 ) )
24962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 2 e. RR )
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 < 2 )
251240, 248, 249, 250, 66syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> 0 <_ ( ( a - 1 ) / 2 ) )
252239, 251, 68sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } -> ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
253 expcl 12290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( a - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
254230, 252, 253syl2an 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
255227, 254mulcld 9663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
256223, 255mulcld 9663 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
257216, 256mulcld 9663 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
258111, 207, 212, 257fsumsplit 13806 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 0 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
259 expcl 12290 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
260224, 91, 259sylancl 668 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
26188zcnd 11041 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
2625, 260, 261fsummulc1 13846 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
26312nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( J _C a ) e. CC )
264218adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
265264, 22expcld 12416 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) e. CC )
266230, 69, 253syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
267 expcl 12290 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ ( a - 3 ) e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
268224, 82, 267syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) e. CC )
269266, 268mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) e. CC )
270265, 269mulcld 9663 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) e. CC )
271260adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. CC )
272263, 270, 271mulassd 9666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
273265, 269, 271mulassd 9666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
274266, 268, 271mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) )
275268, 271mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
276266, 275mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
277224adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
27891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> 3 e. NN0 )
279277, 278, 83expaddd 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
28010adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. ZZ )
281280zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> a e. CC )
282 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. CC
283 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
284281, 282, 283sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( a - 3 ) + 3 ) = a )
285284oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( A Yrm N ) ^ ( ( a - 3 ) + 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
286279, 285eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( A Yrm N ) ^ a ) )
287286oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
288274, 276, 2873eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) )
289288oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
290273, 289eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
291290oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
292272, 291eqtrd 2485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) /\ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ) -> ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
293292sumeq2dv 13769 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) = sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
294262, 293eqtr2d 2486 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
295 1nn 10620 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
296 bccl 12507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
2976, 126, 296sylancl 668 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. NN0 )
298297nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9 |- ( J e. NN -> ( J _C 1 ) e. CC )
2992983ad2ant3 1031 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) e. CC )
300 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. NN -> ( J - 1 ) e. NN0 )
3013003ad2ant3 1031 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J - 1 ) e. NN0 )
302218, 301expcld 12416 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) e. CC )
303 1nn0 10885 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
304 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Yrm N ) e. CC /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
305224, 303, 304sylancl 668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) e. CC )
306 1m1e0 10678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
307306oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
308 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
309308, 40div0i 10341 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 / 2 ) = 0
310307, 309eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
311 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
312310, 311eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
313 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
314230, 312, 313sylancl 668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
315305, 314mulcld 9663 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
316302, 315mulcld 9663 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
317299, 316mulcld 9663 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
318 oveq2 6298 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( J _C a ) = ( J _C 1 ) )
319 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( J - a ) = ( J - 1 ) )
320319oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) = ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) )
321 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( A Yrm N ) ^ a ) = ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) )
322 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 1 -> ( a - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
323322oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( ( a - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
324323oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) )
325321, 324oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
326320, 325oveq12d 6308 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
327318, 326oveq12d 6308 . . . . . . . 8 |- ( a = 1 -> ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
328327sumsn 13807 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
329295, 317, 328sylancr 669 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
330294, 329oveq12d 6308 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) + sum_ a e. { 1 } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ a ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
33197, 258, 3303eqtrd 2489 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
332 bcn1 12498 . . . . . . 7 |- ( J e. NN0 -> ( J _C 1 ) = J )
3337, 332syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J _C 1 ) = J )
334333eqcomd 2457 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> J = ( J _C 1 ) )
335224exp1d 12411 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) = ( A Yrm N ) )
336310a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0 )
337336oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) )
338230exp0d 12410 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ 0 ) = 1 )
339337, 338eqtrd 2485 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
340335, 339oveq12d 6308 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( A Yrm N ) x. 1 ) )
341224mulid1d 9660 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. 1 ) = ( A Yrm N ) )
342340, 341eqtr2d 2486 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( A Yrm N ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) )
343342oveq2d 6306 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
344334, 343oveq12d 6308 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
345331, 344oveq12d 6308 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
3465, 261fsumcl 13799 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) e. CC )
347346, 260mulcld 9663 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) e. CC )
348347, 317pncand 9987 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) + ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) - ( ( J _C 1 ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ 1 ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( 1 - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
349345, 348eqtrd 2485 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( sum_ a e. { b e. ( 3 ... J ) | -. 2 || b } ( ( J _C a ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - a ) ) x. ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( a - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ ( a - 3 ) ) ) ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) ) )
35095, 349breqtrrd 4429 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. J ) ) - ( J x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   {crab 2741   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   ^cexp 12272   _C cbc 12487   sum_csu 13752   || cdvds 14305  ◻NNcsquarenn 35680   Xrm crmx 35748   Yrm crmy 35749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689  df-pellfund 35690  df-rmx 35750  df-rmy 35751
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  35852
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