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Theorem jm2.22 30913
Description: Lemma for jm2.20nn 30915. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, x   i, N, x   i, J, x
Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 10894 . . . . 5 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
2 jm2.21 30912 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
31, 2syl3an3 1264 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
4 frmx 30825 . . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
54fovcl 6392 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
653adant3 1017 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
76nn0cnd 10861 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
8 eluzelz 11101 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
9 zsqcl 12220 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10 peano2zm 10914 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
1312zcnd 10977 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
1413sqrtcld 13250 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
15 frmy 30826 . . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6392 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
17163adant3 1017 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
1817zcnd 10977 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
1914, 18mulcld 9619 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
20 simp3 999 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. NN0 )
21 binom 13624 . . . . 5 |- ( ( ( A Xrm N ) e. CC /\ ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1229 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
23 rabnc 3795 . . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/)
2423a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/) )
25 rabxm 3794 . . . . . . 7 |- ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } )
2625a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) )
27 fzfid 12065 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) e. Fin )
28 simpl3 1002 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> J e. NN0 )
29 elfzelz 11699 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. ZZ )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. ZZ )
31 bccl 12382 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. NN0 )
3231nn0zd 10974 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3433zcnd 10977 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
356nn0zd 10974 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3736zcnd 10977 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
38 fznn0sub 11727 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( J - i ) e. NN0 )
3938adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J - i ) e. NN0 )
4037, 39expcld 12292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
4112adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
4241zcnd 10977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
4342sqrtcld 13250 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
4417adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
4544zcnd 10977 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
4643, 45mulcld 9619 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
47 elfznn0 11782 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. NN0 )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. NN0 )
4946, 48expcld 12292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. CC )
5040, 49mulcld 9619 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. CC )
5134, 50mulcld 9619 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 13544 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 12064 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... J ) e. Fin
54 ssrab2 3570 . . . . . . . . . 10 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J )
55 ssfi 7742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
5653, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . 9 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
58 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( 2 || x <-> 2 || i ) )
5958notbid 294 . . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> ( -. 2 || x <-> -. 2 || i ) )
6059elrab 3243 . . . . . . . . 9 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) )
6134adantrr 716 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
6240adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
63 zexpcl 12163 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ i e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6417, 47, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6564zcnd 10977 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6665adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6742adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
6829adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. ZZ )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || i )
70 1zzd 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 1 e. ZZ )
71 n2dvds1 14017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. 2 || 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || 1 )
73 omoe 14318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ZZ /\ -. 2 || i ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( i - 1 ) )
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 || ( i - 1 ) )
75 2z 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. ZZ )
77 2ne0 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 =/= 0 )
79 peano2zm 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ZZ -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8029, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
82 dvdsval2 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( i - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8376, 78, 81, 82syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8474, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8580zred 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. RR )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. RR )
87 dvds0 13981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || 0
89 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = 0 -> ( 2 || i <-> 2 || 0 ) )
9088, 89mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = 0 -> 2 || i )
9190con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. 2 || i -> -. i = 0 )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. i = 0 )
9347adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN0 )
94 elnn0 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 <-> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
9593, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
96 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. i = 0 -> ( ( i e. NN \/ i = 0 ) -> i e. NN ) )
9792, 95, 96sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN )
98 nnm1nn0 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN -> ( i - 1 ) e. NN0 )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. NN0 )
10099nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( i - 1 ) )
101 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. RR )
103 2pos 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 < 2 )
105 divge0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( i - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( i - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
107 elnn0z 10884 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
10884, 106, 107sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
11067, 109expcld 12292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
11166, 110mulcld 9619 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
11262, 111mulcld 9619 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
11361, 112mulcld 9619 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11460, 113sylan2b 475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11557, 14, 114fsummulc2 13581 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
11643adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
117116, 61, 112mul12d 9792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
118116, 62, 111mul12d 9792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
11943, 48expcld 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
120119adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
12166, 120mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
122116, 66, 110mul12d 9792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
123 2nn0 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
125116, 109, 124expmuld 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
12680zcnd 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. CC )
127126ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( i - 1 ) e. CC )
128 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. CC )
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 =/= 0 )
130127, 128, 129divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( i - 1 ) )
131130oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
13267sqsqrtd 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
133132oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
134125, 131, 1333eqtr3rd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
135134oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
136116, 110mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
13797adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> i e. NN )
138 expm1t 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC /\ i e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
139116, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
140135, 136, 1393eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) )
141140oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
142122, 141eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
14343, 45, 48mulexpd 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
144143adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
145121, 142, 1443eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) )
146145oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
147118, 146eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
148147oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
149117, 148eqtrd 2484 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
15060, 149sylan2b 475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
151150sumeq2dv 13507 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
152115, 151eqtr2d 2485 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
153152oveq2d 6297 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
15452, 153eqtrd 2484 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1553, 22, 1543eqtrd 2488 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
156 rmspecsqrtnq 30818 . . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
1571563ad2ant1 1018 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
158 nn0ssq 11201 . . . . 5 |- NN0 C_ QQ
159 simp1 997 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
160 simp2 998 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16113ad2ant3 1020 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. ZZ )
162160, 161zmulcld 10982 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( N x. J ) e. ZZ )
1634fovcl 6392 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
164159, 162, 163syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
165158, 164sseldi 3487 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ )
166 zssq 11200 . . . . 5 |- ZZ C_ QQ
16715fovcl 6392 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
168159, 162, 167syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
169166, 168sseldi 3487 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ )
170 ssrab2 3570 . . . . . . . 8 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J )
171 ssfi 7742 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17253, 170, 171mp2an 672 . . . . . . 7 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17458elrab 3243 . . . . . . 7 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) )
17533adantrr 716 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
176 zexpcl 12163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - i ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17736, 39, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
178177adantrr 716 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17943adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
18045adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
18147ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i e. NN0 )
182179, 180, 181mulexpd 12307 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
18329zcnd 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. CC )
184183adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. CC )
185 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 e. CC )
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 =/= 0 )
187184, 185, 186divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( 2 x. ( i / 2 ) ) = i )
188187eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
189188adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
190189oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) )
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 e. ZZ )
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 =/= 0 )
193 nn0z 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. ZZ )
194 dvdsval2 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ i e. ZZ ) -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
195191, 192, 193, 194syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
196195biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. ZZ )
197 nn0re 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
198197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> i e. RR )
199 nn0ge0 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 0 <_ i )
200199adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ i )
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 2 e. RR )
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 < 2 )
203 divge0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
205 elnn0z 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i / 2 ) e. NN0 <-> ( ( i / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( i / 2 ) ) )
206196, 204, 205sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
20747, 206sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
208207adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
210179, 208, 209expmuld 12295 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) )
21142adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
212211sqsqrtd 13252 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
213212oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
214190, 210, 2133eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
215214oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
216182, 215eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
217 zexpcl 12163 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( i / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21812, 207, 217syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21964adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
220218, 219zmulcld 10982 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) e. ZZ )
221216, 220eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. ZZ )
222178, 221zmulcld 10982 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. ZZ )
223175, 222zmulcld 10982 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
224174, 223sylan2b 475 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
225173, 224fsumzcl 13539 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
226166, 225sseldi 3487 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ )
22733adantrr 716 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
228177adantrr 716 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
22964adantrr 716 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
230 zexpcl 12163 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
23112, 108, 230syl2an 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
232229, 231zmulcld 10982 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
233228, 232zmulcld 10982 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. ZZ )
234227, 233zmulcld 10982 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23560, 234sylan2b 475 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23657, 235fsumzcl 13539 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
237166, 236sseldi 3487 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ )
238 qirropth 30820 . . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ ) /\ ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ /\ sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1238 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
240155, 239mpbid 210 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
241240simprd 463 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   {crab 2797   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   QQcq 11193   ...cfz 11683   ^cexp 12148   _C cbc 12362   sqrcsqrt 13048   sum_csu 13490   || cdvds 13968   Xrm crmx 30812   Yrm crmy 30813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-numer 14250  df-denom 14251  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-squarenn 30753  df-pell1qr 30754  df-pell14qr 30755  df-pell1234qr 30756  df-pellfund 30757  df-rmx 30814  df-rmy 30815
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