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Theorem jm2.22 29363
Description: Lemma for jm2.20nn 29365. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i, x    i, N, x    i, J, x

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 10684 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
2 jm2.21 29362 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
31, 2syl3an3 1253 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
4 frmx 29273 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
54fovcl 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
653adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
76nn0cnd 10653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
8 eluzelz 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
9 zsqcl 11951 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
10 peano2zm 10703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
12113ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
1312zcnd 10763 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1413sqrcld 12938 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
15 frmy 29274 . . . . . . . . 9  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
17163adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1817zcnd 10763 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
1914, 18mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
20 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  NN0 )
21 binom 13308 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC  /\  J  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ^ J )  = 
sum_ i  e.  ( 0 ... J ) ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) ) )
23 rabnc 3676 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/)
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( { x  e.  (
0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/) )
25 rabxm 3675 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } )
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } ) )
27 fzfid 11810 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  e. 
Fin )
28 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  J  e.  NN0 )
29 elfzelz 11468 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  ZZ )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  ZZ )
31 bccl 12113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  NN0 )
3231nn0zd 10760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
3433zcnd 10763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
356nn0zd 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3736zcnd 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
38 fznn0sub 11502 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
3938adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
4037, 39expcld 12023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  CC )
4112adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
4241zcnd 10763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
4342sqrcld 12938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
4417adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4544zcnd 10763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4643, 45mulcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
47 elfznn0 11496 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  NN0 )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  NN0 )
4946, 48expcld 12023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  e.  CC )
5040, 49mulcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) )  e.  CC )
5134, 50mulcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 13231 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 11809 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
54 ssrab2 3452 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  C_  (
0 ... J )
55 ssfi 7548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { x  e.  (
0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
5653, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
58 breq2 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  i ) )
5958notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  i ) )
6059elrab 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  i ) )
6134adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
6240adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  CC )
63 zexpcl 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6417, 47, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6564zcnd 10763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  CC )
6665adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  CC )
6742adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
6829adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  ZZ )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  i )
70 1z 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  1  e.  ZZ )
72 n2dvds1 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  2  ||  1
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  1 )
74 omoe 13894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  i
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
7568, 69, 71, 73, 74syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
76 2z 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  ZZ )
78 2ne0 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  =/=  0
)
80 peano2zm 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8129, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ZZ )
83 dvdsval2 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
i  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
i  -  1 )  <-> 
( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8477, 79, 82, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( 2  ||  ( i  -  1 )  <->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
8575, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
8681zred 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
88 dvds0 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
8976, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  0
90 breq2 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  0  ->  (
2  ||  i  <->  2  ||  0 ) )
9189, 90mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  0  ->  2  ||  i )
9291con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  2  ||  i  ->  -.  i  =  0
)
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  i  = 
0 )
9447adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN0 )
95 elnn0 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  <->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
97 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  i  =  0  -> 
( ( i  e.  NN  \/  i  =  0 )  ->  i  e.  NN ) )
9893, 96, 97sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN )
99 nnm1nn0 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN  ->  (
i  -  1 )  e.  NN0 )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  NN0 )
101100nn0ge0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
i  -  1 ) )
102 2re 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  RR )
104 2pos 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <  2
)
106 divge0 10213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( i  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( i  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
i  -  1 )  /  2 ) )
10787, 101, 103, 105, 106syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
( i  -  1 )  /  2 ) )
108 elnn0z 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) )
10985, 107, 108sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
i  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
11167, 110expcld 12023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  CC )
11266, 111mulcld 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
11362, 112mulcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
11461, 113mulcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11560, 114sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11657, 14, 115fsummulc2 13266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
11743adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  CC )
118117, 61, 113mul12d 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
119117, 62, 112mul12d 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
12043, 48expcld 12023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  e.  CC )
121120adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  e.  CC )
12266, 121mulcomd 9422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
123117, 66, 111mul12d 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
124 2nn0 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
126117, 110, 125expmuld 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) )
12781zcnd 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  CC )
128127ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( i  -  1 )  e.  CC )
129 2cnd 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  CC )
13078a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  =/=  0 )
131128, 129, 130divcan2d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( 2  x.  ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( i  -  1 ) )
132131oveq2d 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
13367sqsqrd 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
134133oveq1d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )
135126, 132, 1343eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
136135oveq1d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
137117, 111mulcomd 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
13898adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN )
139 expm1t 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  - 
1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
140117, 138, 139syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
141136, 137, 1403eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )
142141oveq2d 6122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
143123, 142eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
14443, 45, 48mulexpd 12038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
145144adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
146122, 143, 1453eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) )
147146oveq2d 6122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )
148119, 147eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )
149148oveq2d 6122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
150118, 149eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
15160, 150sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
152151sumeq2dv 13195 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
153116, 152eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
154153oveq2d 6122 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
15552, 154eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
1563, 22, 1553eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
157 rmspecsqrnq 29266 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
1581573ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
159 nn0ssq 10976 . . . . 5  |-  NN0  C_  QQ
160 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
161 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
16213ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  ZZ )
163161, 162zmulcld 10768 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( N  x.  J )  e.  ZZ )
1644fovcl 6210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
165160, 163, 164syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
166159, 165sseldi 3369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
167 zssq 10975 . . . . 5  |-  ZZ  C_  QQ
16815fovcl 6210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
169160, 163, 168syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
170167, 169sseldi 3369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
171 ssrab2 3452 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J )
172 ssfi 7548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J
) )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17353, 171, 172mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin
174173a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17558elrab 3132 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  2  ||  i ) )
17633adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
177 zexpcl 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  i )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
17836, 39, 177syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
179178adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  e.  ZZ )
18043adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC )
18145adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
18247ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN0 )
183180, 181, 182mulexpd 12038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
18429zcnd 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  CC )
185184adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  CC )
186 2cnd 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  e.  CC )
18778a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  =/=  0 )
188185, 186, 187divcan2d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
2  x.  ( i  /  2 ) )  =  i )
189188eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2
) ) )
190189adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2 ) ) )
191190oveq2d 6122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( 2  x.  ( i  /  2
) ) ) )
19276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
19378a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  =/=  0 )
194 nn0z 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
195 dvdsval2 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
196192, 193, 194, 195syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 2 
||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
197196biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  ZZ )
198 nn0re 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
199198adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
i  e.  RR )
200 nn0ge0 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  0  <_ 
i )
201200adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  i )
202102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
2  e.  RR )
203104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <  2 )
204 divge0 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  RR  /\  0  <_  i )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( i  /  2 ) )
205199, 201, 202, 203, 204syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  ( i  /  2 ) )
206 elnn0z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( i  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( i  /  2
) ) )
207197, 205, 206sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
20847, 207sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
209208adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( i  / 
2 )  e.  NN0 )
210124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
211180, 209, 210expmuld 12026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ (
2  x.  ( i  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
21242adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
213212sqsqrd 12940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
214213oveq1d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^
( i  /  2
) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( i  /  2 ) ) )
215191, 211, 2143eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
216215oveq1d 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
217183, 216eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
218 zexpcl 11895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
i  /  2 ) )  e.  ZZ )
21912, 208, 218syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( i  /  2
) )  e.  ZZ )
22064adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ i )  e.  ZZ )
221219, 220zmulcld 10768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  e.  ZZ )
222217, 221eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  e.  ZZ )
223179, 222zmulcld 10768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) )  e.  ZZ )
224176, 223zmulcld 10768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
225175, 224sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  ZZ )
226174, 225fsumzcl 13227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
227167, 226sseldi 3369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ )
22833adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
229178adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  ZZ )
23064adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  ZZ )
231 zexpcl 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
23212, 109, 231syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
233230, 232zmulcld 10768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
234229, 233zmulcld 10768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  ZZ )
235228, 234zmulcld 10768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
23660, 235sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
23757, 236fsumzcl 13227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
238167, 237sseldi 3369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ )
239 qirropth 29268 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )  /\  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ  /\ 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ ) )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
240158, 166, 170, 227, 238, 239syl122anc 1227 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
241156, 240mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
242241simprd 463 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734    \ cdif 3340    u. cun 3341    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300    x. cmul 9302    < clt 9433    <_ cle 9434    - cmin 9610    / cdiv 10008   NNcn 10337   2c2 10386   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   QQcq 10968   ...cfz 11452   ^cexp 11880    _C cbc 12093   sqrcsqr 12737   sum_csu 13178    || cdivides 13550   Xrm crmx 29260   Yrm crmy 29261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-numer 13828  df-denom 13829  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-squarenn 29201  df-pell1qr 29202  df-pell14qr 29203  df-pell1234qr 29204  df-pellfund 29205  df-rmx 29262  df-rmy 29263
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