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Theorem jm2.22 29269
Description: Lemma for jm2.20nn 29271. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i, x    i, N, x    i, J, x

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 10665 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
2 jm2.21 29268 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
31, 2syl3an3 1248 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
4 frmx 29179 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
54fovcl 6194 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
653adant3 1003 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
76nn0cnd 10634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
8 eluzelz 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
9 zsqcl 11932 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
10 peano2zm 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
12113ad2ant1 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
1312zcnd 10744 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1413sqrcld 12919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
15 frmy 29180 . . . . . . . . 9  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6194 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
17163adant3 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1817zcnd 10744 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
1914, 18mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
20 simp3 985 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  NN0 )
21 binom 13289 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC  /\  J  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ^ J )  = 
sum_ i  e.  ( 0 ... J ) ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) ) )
23 rabnc 3658 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/)
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( { x  e.  (
0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/) )
25 rabxm 3657 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } )
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } ) )
27 fzfid 11791 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  e. 
Fin )
28 simpl3 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  J  e.  NN0 )
29 elfzelz 11449 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  ZZ )
3029adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  ZZ )
31 bccl 12094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  NN0 )
3231nn0zd 10741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
3433zcnd 10744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
356nn0zd 10741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3635adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3736zcnd 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
38 fznn0sub 11483 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
3938adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
4037, 39expcld 12004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  CC )
4112adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
4241zcnd 10744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
4342sqrcld 12919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
4417adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4544zcnd 10744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4643, 45mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
47 elfznn0 11477 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  NN0 )
4847adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  NN0 )
4946, 48expcld 12004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  e.  CC )
5040, 49mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) )  e.  CC )
5134, 50mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 13212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 11790 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
54 ssrab2 3434 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  C_  (
0 ... J )
55 ssfi 7529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { x  e.  (
0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
5653, 54, 55mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
58 breq2 4293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  i ) )
5958notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  i ) )
6059elrab 3114 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  i ) )
6134adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
6240adantrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  CC )
63 zexpcl 11876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6417, 47, 63syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6564zcnd 10744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  CC )
6665adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  CC )
6742adantrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
6829adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  ZZ )
69 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  i )
70 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  1  e.  ZZ )
72 n2dvds1 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  2  ||  1
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  1 )
74 omoe 13875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  i
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
7568, 69, 71, 73, 74syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
76 2z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  ZZ )
78 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  =/=  0
)
80 peano2zm 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8129, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8281adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ZZ )
83 dvdsval2 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
i  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
i  -  1 )  <-> 
( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8477, 79, 82, 83syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( 2  ||  ( i  -  1 )  <->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
8575, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
8681zred 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
8786adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
88 dvds0 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
8976, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  0
90 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  0  ->  (
2  ||  i  <->  2  ||  0 ) )
9189, 90mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  0  ->  2  ||  i )
9291con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  2  ||  i  ->  -.  i  =  0
)
9392adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  i  = 
0 )
9447adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN0 )
95 elnn0 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  <->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
97 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  i  =  0  -> 
( ( i  e.  NN  \/  i  =  0 )  ->  i  e.  NN ) )
9893, 96, 97sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN )
99 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN  ->  (
i  -  1 )  e.  NN0 )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  NN0 )
101100nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
i  -  1 ) )
102 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  RR )
104 2pos 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <  2
)
106 divge0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( i  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( i  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
i  -  1 )  /  2 ) )
10787, 101, 103, 105, 106syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
( i  -  1 )  /  2 ) )
108 elnn0z 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) )
10985, 107, 108sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
110109adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
i  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
11167, 110expcld 12004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  CC )
11266, 111mulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
11362, 112mulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
11461, 113mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11560, 114sylan2b 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11657, 14, 115fsummulc2 13247 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
11743adantrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  CC )
118117, 61, 113mul12d 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
119117, 62, 112mul12d 9574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
12043, 48expcld 12004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  e.  CC )
121120adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  e.  CC )
12266, 121mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
123117, 66, 111mul12d 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
124 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
126117, 110, 125expmuld 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) )
12781zcnd 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  CC )
128127ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( i  -  1 )  e.  CC )
129 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  CC )
13078a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  =/=  0 )
131128, 129, 130divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( 2  x.  ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( i  -  1 ) )
132131oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
13367sqsqrd 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
134133oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )
135126, 132, 1343eqtr3rd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
136135oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
137117, 111mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
13898adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN )
139 expm1t 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  - 
1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
140117, 138, 139syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
141136, 137, 1403eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )
142141oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
143123, 142eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
14443, 45, 48mulexpd 12019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
145144adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
146122, 143, 1453eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) )
147146oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )
148119, 147eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )
149148oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
150118, 149eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
15160, 150sylan2b 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
152151sumeq2dv 13176 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
153116, 152eqtr2d 2474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
154153oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
15552, 154eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
1563, 22, 1553eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
157 rmspecsqrnq 29172 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
1581573ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
159 nn0ssq 10957 . . . . 5  |-  NN0  C_  QQ
160 simp1 983 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
161 simp2 984 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
16213ad2ant3 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  ZZ )
163161, 162zmulcld 10749 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( N  x.  J )  e.  ZZ )
1644fovcl 6194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
165160, 163, 164syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
166159, 165sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
167 zssq 10956 . . . . 5  |-  ZZ  C_  QQ
16815fovcl 6194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
169160, 163, 168syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
170167, 169sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
171 ssrab2 3434 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J )
172 ssfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J
) )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17353, 171, 172mp2an 667 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin
174173a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17558elrab 3114 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  2  ||  i ) )
17633adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
177 zexpcl 11876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  i )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
17836, 39, 177syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
179178adantrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  e.  ZZ )
18043adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC )
18145adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
18247ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN0 )
183180, 181, 182mulexpd 12019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
18429zcnd 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  CC )
185184adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  CC )
186 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  e.  CC )
18778a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  =/=  0 )
188185, 186, 187divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
2  x.  ( i  /  2 ) )  =  i )
189188eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2
) ) )
190189adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2 ) ) )
191190oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( 2  x.  ( i  /  2
) ) ) )
19276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
19378a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  =/=  0 )
194 nn0z 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
195 dvdsval2 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
196192, 193, 194, 195syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 2 
||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
197196biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  ZZ )
198 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
199198adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
i  e.  RR )
200 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  0  <_ 
i )
201200adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  i )
202102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
2  e.  RR )
203104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <  2 )
204 divge0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  RR  /\  0  <_  i )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( i  /  2 ) )
205199, 201, 202, 203, 204syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  ( i  /  2 ) )
206 elnn0z 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( i  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( i  /  2
) ) )
207197, 205, 206sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
20847, 207sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
209208adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( i  / 
2 )  e.  NN0 )
210124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
211180, 209, 210expmuld 12007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ (
2  x.  ( i  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
21242adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
213212sqsqrd 12921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
214213oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^
( i  /  2
) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( i  /  2 ) ) )
215191, 211, 2143eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
216215oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
217183, 216eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
218 zexpcl 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
i  /  2 ) )  e.  ZZ )
21912, 208, 218syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( i  /  2
) )  e.  ZZ )
22064adantrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ i )  e.  ZZ )
221219, 220zmulcld 10749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  e.  ZZ )
222217, 221eqeltrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  e.  ZZ )
223179, 222zmulcld 10749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) )  e.  ZZ )
224176, 223zmulcld 10749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
225175, 224sylan2b 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  ZZ )
226174, 225fsumzcl 13208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
227167, 226sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ )
22833adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
229178adantrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  ZZ )
23064adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  ZZ )
231 zexpcl 11876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
23212, 109, 231syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
233230, 232zmulcld 10749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
234229, 233zmulcld 10749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  ZZ )
235228, 234zmulcld 10749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
23660, 235sylan2b 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
23757, 236fsumzcl 13208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
238167, 237sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ )
239 qirropth 29174 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )  /\  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ  /\ 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ ) )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
240158, 166, 170, 227, 238, 239syl122anc 1222 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
241156, 240mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
242241simprd 460 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   QQcq 10949   ...cfz 11433   ^cexp 11861    _C cbc 12074   sqrcsqr 12718   sum_csu 13159    || cdivides 13531   Xrm crmx 29166   Yrm crmy 29167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-numer 13809  df-denom 13810  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-squarenn 29107  df-pell1qr 29108  df-pell14qr 29109  df-pell1234qr 29110  df-pellfund 29111  df-rmx 29168  df-rmy 29169
This theorem is referenced by:  jm2.23  29270
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