Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.22 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem jm2.22 35921
Description: Lemma for jm2.20nn 35923. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, x   i, N, x   i, J, x
Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 10984 . . . . 5 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
2 jm2.21 35920 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
31, 2syl3an3 1327 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) )
4 frmx 35832 . . . . . . . 8 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
54fovcl 6420 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
653adant3 1050 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
76nn0cnd 10951 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
8 eluzelz 11192 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
9 zsqcl 12383 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10 peano2zm 11004 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
12113ad2ant1 1051 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
1312zcnd 11064 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
1413sqrtcld 13576 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
15 frmy 35833 . . . . . . . . 9 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6420 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
17163adant3 1050 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
1817zcnd 11064 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
1914, 18mulcld 9681 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
20 simp3 1032 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. NN0 )
21 binom 13965 . . . . 5 |- ( ( ( A Xrm N ) e. CC /\ ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1292 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm N ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ^ J ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
23 rabnc 3759 . . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/)
2423a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } i^i { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) = (/) )
25 rabxm 3758 . . . . . . 7 |- ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } )
2625a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) = ( { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } u. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) )
27 fzfid 12224 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( 0 ... J ) e. Fin )
28 simpl3 1035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> J e. NN0 )
29 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. ZZ )
3029adantl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. ZZ )
31 bccl 12545 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. NN0 )
3231nn0zd 11061 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN0 /\ i e. ZZ ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
3433zcnd 11064 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
356nn0zd 11061 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3635adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
3736zcnd 11064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
38 fznn0sub 11857 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( J - i ) e. NN0 )
3938adantl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( J - i ) e. NN0 )
4037, 39expcld 12454 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
4112adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
4241zcnd 11064 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
4342sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
4417adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
4544zcnd 11064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
4643, 45mulcld 9681 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
47 elfznn0 11913 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. NN0 )
4847adantl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. NN0 )
4946, 48expcld 12454 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. CC )
5040, 49mulcld 9681 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. CC )
5134, 50mulcld 9681 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 13883 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 12223 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... J ) e. Fin
54 ssrab2 3500 . . . . . . . . . 10 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J )
55 ssfi 7810 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
5653, 54, 55mp2an 686 . . . . . . . . 9 |- { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } e. Fin )
58 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( 2 || x <-> 2 || i ) )
5958notbid 301 . . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> ( -. 2 || x <-> -. 2 || i ) )
6059elrab 3184 . . . . . . . . 9 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) )
6134adantrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. CC )
6240adantrr 731 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. CC )
63 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ i e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6417, 47, 63syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
6564zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6665adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. CC )
6742adantrr 731 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
6829adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. ZZ )
69 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || i )
70 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 1 e. ZZ )
71 n2dvds1 14431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. 2 || 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. 2 || 1 )
73 omoe 14841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ZZ /\ -. 2 || i ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( i - 1 ) )
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 || ( i - 1 ) )
75 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. ZZ )
77 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 =/= 0 )
79 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ZZ -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. ZZ )
82 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( i - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8376, 78, 81, 82syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( 2 || ( i - 1 ) <-> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8474, 83mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8580zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. RR )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. RR )
87 dvds0 14395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 || 0
89 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = 0 -> ( 2 || i <-> 2 || 0 ) )
9088, 89mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = 0 -> 2 || i )
9190con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. 2 || i -> -. i = 0 )
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> -. i = 0 )
9347adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN0 )
94 elnn0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 <-> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
9593, 94sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i e. NN \/ i = 0 ) )
96 orel2 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. i = 0 -> ( ( i e. NN \/ i = 0 ) -> i e. NN ) )
9792, 95, 96sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> i e. NN )
98 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN -> ( i - 1 ) e. NN0 )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( i - 1 ) e. NN0 )
10099nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( i - 1 ) )
101 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 2 e. RR )
103 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 < 2 )
105 divge0 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( i - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( i - 1 ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) )
107 elnn0z 10974 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( i - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
10884, 106, 107sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
11067, 109expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
11166, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
11262, 111mulcld 9681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. CC )
11361, 112mulcld 9681 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11460, 113sylan2b 483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
11557, 14, 114fsummulc2 13922 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
11643adantrr 731 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
117116, 61, 112mul12d 9860 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
118116, 62, 111mul12d 9860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
11943, 48expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
120119adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) e. CC )
12166, 120mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
122116, 66, 110mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
123 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
125116, 109, 124expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
12680zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> ( i - 1 ) e. CC )
127126ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( i - 1 ) e. CC )
128 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 e. CC )
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> 2 =/= 0 )
130127, 128, 129divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( i - 1 ) )
131130oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
13267sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
133132oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) )
134125, 131, 1333eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) )
135134oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
136116, 110mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
13797adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> i e. NN )
138 expm1t 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC /\ i e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
139116, 137, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( i - 1 ) ) x. ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) )
140135, 136, 1393eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) )
141140oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
142122, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) ) )
14343, 45, 48mulexpd 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
144143adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
145121, 142, 1443eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) )
146145oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
147118, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) )
148147oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
149117, 148eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
15060, 149sylan2b 483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
151150sumeq2dv 13846 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) )
152115, 151eqtr2d 2506 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
153152oveq2d 6324 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
15452, 153eqtrd 2505 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
1553, 22, 1543eqtrd 2509 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
156 rmspecsqrtnq 35825 . . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
1571563ad2ant1 1051 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
158 nn0ssq 11295 . . . . 5 |- NN0 C_ QQ
159 simp1 1030 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
160 simp2 1031 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16113ad2ant3 1053 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> J e. ZZ )
162160, 161zmulcld 11069 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( N x. J ) e. ZZ )
1634fovcl 6420 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
164159, 162, 163syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. NN0 )
165158, 164sseldi 3416 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ )
166 zssq 11294 . . . . 5 |- ZZ C_ QQ
16715fovcl 6420 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. J ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
168159, 162, 167syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. ZZ )
169166, 168sseldi 3416 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ )
170 ssrab2 3500 . . . . . . . 8 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J )
171 ssfi 7810 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... J ) e. Fin /\ { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } C_ ( 0 ... J ) ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17253, 170, 171mp2an 686 . . . . . . 7 |- { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } e. Fin )
17458elrab 3184 . . . . . . 7 |- ( i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } <-> ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) )
17533adantrr 731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
176 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( J - i ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17736, 39, 176syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
178177adantrr 731 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
17943adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
18045adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
18147ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i e. NN0 )
182179, 180, 181mulexpd 12469 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
18329zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. CC )
184183adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. CC )
185 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 e. CC )
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> 2 =/= 0 )
187184, 185, 186divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( 2 x. ( i / 2 ) ) = i )
188187eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
189188adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> i = ( 2 x. ( i / 2 ) ) )
190189oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) )
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 e. ZZ )
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 2 =/= 0 )
193 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. ZZ )
194 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ i e. ZZ ) -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
195191, 192, 193, 194syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> ( 2 || i <-> ( i / 2 ) e. ZZ ) )
196195biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. ZZ )
197 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
198197adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> i e. RR )
199 nn0ge0 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> 0 <_ i )
200199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ i )
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 2 e. RR )
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 < 2 )
203 divge0 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> 0 <_ ( i / 2 ) )
205 elnn0z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i / 2 ) e. NN0 <-> ( ( i / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( i / 2 ) ) )
206196, 204, 205sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. NN0 /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
20747, 206sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
208207adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( i / 2 ) e. NN0 )
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> 2 e. NN0 )
210179, 208, 209expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ ( 2 x. ( i / 2 ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) )
21142adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
212211sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) - 1 ) )
213212oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i / 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
214190, 210, 2133eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) )
215214oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ i ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
216182, 215eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) )
217 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( i / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21812, 207, 217syl2an 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) e. ZZ )
21964adantrr 731 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
220218, 219zmulcld 11069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( i / 2 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ i ) ) e. ZZ )
221216, 220eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) e. ZZ )
222178, 221zmulcld 11069 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) e. ZZ )
223175, 222zmulcld 11069 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
224174, 223sylan2b 483 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
225173, 224fsumzcl 13878 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. ZZ )
226166, 225sseldi 3416 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ )
22733adantrr 731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( J _C i ) e. ZZ )
228177adantrr 731 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) e. ZZ )
22964adantrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ i ) e. ZZ )
230 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( i - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
23112, 108, 230syl2an 485 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
232229, 231zmulcld 11069 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
233228, 232zmulcld 11069 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) e. ZZ )
234227, 233zmulcld 11069 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ ( i e. ( 0 ... J ) /\ -. 2 || i ) ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23560, 234sylan2b 483 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) /\ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ) -> ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
23657, 235fsumzcl 13878 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. ZZ )
237166, 236sseldi 3416 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ )
238 qirropth 35827 . . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm ( N x. J ) ) e. QQ /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) e. QQ ) /\ ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) e. QQ /\ sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1301 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm ( N x. J ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm ( N x. J ) ) ) ) = ( sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) )
240155, 239mpbid 215 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( ( A Xrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ^ i ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
241240simprd 470 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ J e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N x. J ) ) = sum_ i e. { x e. ( 0 ... J ) | -. 2 || x } ( ( J _C i ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( J - i ) ) x. ( ( ( A Yrm N ) ^ i ) x. ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ^ ( ( i - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {crab 2760   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   QQcq 11287   ...cfz 11810   ^cexp 12310   _C cbc 12525   sqrcsqrt 13373   sum_csu 13829   || cdvds 14382   Xrm crmx 35819   Yrm crmy 35820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-squarenn 35757  df-pell1qr 35758  df-pell14qr 35759  df-pell1234qr 35760  df-pellfund 35761  df-rmx 35821  df-rmy 35822
This theorem is referenced by:  jm2.23  35922
  Copyright terms: Public domain W3C validator