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Theorem jm2.20nn 29317
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 nnz 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 frmy 29226 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 6190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
76zcnd 10740 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  CC )
98sqvald 11997 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10 zsqcl 11928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
116, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  e.  ZZ )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
13 frmx 29225 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1413fovcl 6190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
151, 3, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615nn0zd 10737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
187sqvald 11997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
2119, 20eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
22 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
23223ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
244fovcl 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
251, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
26 muldvds1 13549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
276, 6, 25, 26syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm 
M )  ->  ( A Yrm 
N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm  M ) )
30 simpl1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
313adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  ZZ )
3223adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  ZZ )
33 jm2.19 29313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
3529, 34mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  ||  M )
36 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  NN )
37 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  NN )
38 nndivdvds 13533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4035, 39mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  NN )
41 nnm1nn0 10613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  /  N )  e.  NN  ->  (
( M  /  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
43 zexpcl 11872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
4417, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4540nnzd 10738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  ZZ )
466adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )
4825adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
49 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
50493ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
51 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
52513ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
53 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54533ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5550, 52, 54divcan2d 10101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
5655oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
5756, 25eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  e.  ZZ )
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  e.  ZZ )
5944, 46zmulcld 10745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
6045, 59zmulcld 10745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
6158, 60zsubcld 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
62 3nn0 10589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  NN0 )
64 zexpcl 11872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
656, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )
67 2nn0 10588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
69 3z 10671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
70 2re 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
71 3re 10387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
72 2lt3 10481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
7370, 71, 72ltleii 9489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
74 2z 10670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7574eluz1i 10860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
7669, 73, 75mpbir2an 911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
78 dvdsexp 13581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
796, 68, 77, 78syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
81 jm2.23 29316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8230, 31, 40, 81syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
83 dvdstr 13558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8512, 66, 61, 80, 82, 84syl32anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
86 dvds2sub 13557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8812, 48, 61, 20, 85, 87syl32anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8955adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
9089oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
9190oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
9291oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9325zcnd 10740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
9560zcnd 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  CC )
9694, 95nncand 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
9745zcnd 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  CC )
9844zcnd 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
9997, 98, 8mul12d 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10192, 100eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10288, 101breqtrd 4311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
103 gcdcom 13696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
1046, 16, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
105 jm2.19lem1 29309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
1061, 3, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
107104, 106eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
108107adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
10967a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
2  e.  NN0 )
110 rpexp12i 13800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( 2  e.  NN0  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 ) )
11146, 17, 109, 42, 110syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) ) )  =  1 ) )
112108, 111mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 )
113 coprmdvds 13780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
114113imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  gcd  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
11512, 44, 47, 102, 112, 114syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4309 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
117 rmy0 29241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1181173ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
119 nngt0 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1201193ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
121 0zd 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
122 ltrmy 29266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
1231, 121, 3, 122syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
124120, 123mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
125118, 124eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
126 elnnz 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  <->  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )
1276, 125, 126sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN )
128 nnne0 10346 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( A Yrm  N )  =/=  0 )
129127, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =/=  0
)
130129adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  =/=  0 )
131 dvdsmulcr 13554 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13246, 45, 46, 130, 131syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
133116, 132mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( M  /  N
) )
13454adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  =/=  0 )
135 dvdscmulr 13553 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13646, 45, 31, 134, 135syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
137133, 136mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )
138137, 89breqtrd 4311 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  M )
13911adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1403, 6zmulcld 10745 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )
1414fovcl 6190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
1421, 140, 141syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
143142adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
14425adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
145 nnm1nn0 10613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e. 
NN0 )
146127, 145syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  - 
1 )  e.  NN0 )
147 zexpcl 11872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
14816, 146, 147syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
149 dvdsmul2 13547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
150148, 11, 149syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
15118oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
152148zcnd 10740 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  CC )
153152, 7, 7mul12d 9570 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
154151, 153eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
155150, 154breqtrd 4311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
156148, 6zmulcld 10745 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
1576, 156zmulcld 10745 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
158142, 157zsubcld 10744 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
159 jm2.23 29316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  NN )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( A Yrm  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
1601, 3, 127, 159syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
161 dvdstr 13558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
162161imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16311, 65, 158, 79, 160, 162syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
164 dvdssub2 13562 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16511, 142, 157, 163, 164syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
166155, 165mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
167166adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
168 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M )
169 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
17123adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  M  e.  ZZ )
172 jm2.19 29313 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
173169, 170, 171, 172syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) 
||  ( A Yrm  M ) ) )
174168, 173mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
175 dvdstr 13558 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
176175imp 429 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
177139, 143, 144, 167, 174, 176syl32anc 1226 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
178138, 177impbida 828 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ^cexp 11857    || cdivides 13527    gcd cgcd 13682   Xrm crmx 29212   Yrm crmy 29213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-numer 13805  df-denom 13806  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-squarenn 29153  df-pell1qr 29154  df-pell14qr 29155  df-pell1234qr 29156  df-pellfund 29157  df-rmx 29214  df-rmy 29215
This theorem is referenced by:  jm2.27a  29325  jm2.27c  29327
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