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Theorem jm2.20nn 35301
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 nnz 10927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 frmy 35211 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
76zcnd 11009 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  CC )
98sqvald 12351 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10 zsqcl 12283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
116, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  e.  ZZ )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
13 frmx 35210 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1413fovcl 6388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
151, 3, 14syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615nn0zd 11006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
1716adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
187sqvald 12351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
20 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
2119, 20eqbrtrrd 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
22 nnz 10927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
23223ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
244fovcl 6388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
251, 23, 24syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
26 muldvds1 14217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
276, 6, 25, 26syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm 
M )  ->  ( A Yrm 
N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm  M ) )
30 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
313adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  ZZ )
3223adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  ZZ )
33 jm2.19 35297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
3529, 34mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  ||  M )
36 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  NN )
37 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  NN )
38 nndivdvds 14201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
3936, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4035, 39mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  NN )
41 nnm1nn0 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  /  N )  e.  NN  ->  (
( M  /  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
43 zexpcl 12225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
4417, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4540nnzd 11007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  ZZ )
466adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 11014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )
4825adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
49 nncn 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
50493ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
51 nncn 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
52513ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
53 nnne0 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54533ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5550, 52, 54divcan2d 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
5655oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
5756, 25eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  e.  ZZ )
5857adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  e.  ZZ )
5944, 46zmulcld 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
6045, 59zmulcld 11014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
6158, 60zsubcld 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
62 3nn0 10854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  NN0 )
64 zexpcl 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
656, 63, 64syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
6665adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )
67 2nn0 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
69 3z 10938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
70 2re 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
71 3re 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
72 2lt3 10744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
7370, 71, 72ltleii 9739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
74 2z 10937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7574eluz1i 11134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
7669, 73, 75mpbir2an 921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
78 dvdsexp 14251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
796, 68, 77, 78syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )
8079adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
81 jm2.23 35300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8230, 31, 40, 81syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
83 dvdstr 14227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8483imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8512, 66, 61, 80, 82, 84syl32anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
86 dvds2sub 14225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) ) )
8786imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8812, 48, 61, 20, 85, 87syl32anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8955adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
9089oveq2d 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
9190oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
9291oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9325zcnd 11009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
9493adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
9560zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  CC )
9694, 95nncand 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
9745zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  CC )
9844zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
9997, 98, 8mul12d 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10192, 100eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10288, 101breqtrd 4419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
103 gcdcom 14367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
1046, 16, 103syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
105 jm2.19lem1 35293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
1061, 3, 105syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
107104, 106eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
108107adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
10967a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
2  e.  NN0 )
110 rpexp12i 14472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( 2  e.  NN0  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 ) )
11146, 17, 109, 42, 110syl112anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) ) )  =  1 ) )
112108, 111mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 )
113 coprmdvds 14452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
114113imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  gcd  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
11512, 44, 47, 102, 112, 114syl32anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4417 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
117 rmy0 35226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1181173ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
119 nngt0 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1201193ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
121 0zd 10917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
122 ltrmy 35251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
1231, 121, 3, 122syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
124120, 123mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
125118, 124eqbrtrrd 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
126 elnnz 10915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  <->  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )
1276, 125, 126sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN )
128 nnne0 10609 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( A Yrm  N )  =/=  0 )
129127, 128syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =/=  0
)
130129adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  =/=  0 )
131 dvdsmulcr 14222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13246, 45, 46, 130, 131syl112anc 1234 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
133116, 132mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( M  /  N
) )
13454adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  =/=  0 )
135 dvdscmulr 14221 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13646, 45, 31, 134, 135syl112anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
137133, 136mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )
138137, 89breqtrd 4419 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  M )
13911adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1403, 6zmulcld 11014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )
1414fovcl 6388 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
1421, 140, 141syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
143142adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
14425adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
145 nnm1nn0 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e. 
NN0 )
146127, 145syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  - 
1 )  e.  NN0 )
147 zexpcl 12225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
14816, 146, 147syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
149 dvdsmul2 14215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
150148, 11, 149syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
15118oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
152148zcnd 11009 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  CC )
153152, 7, 7mul12d 9823 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
154151, 153eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
155150, 154breqtrd 4419 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
156148, 6zmulcld 11014 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
1576, 156zmulcld 11014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
158142, 157zsubcld 11013 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
159 jm2.23 35300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  NN )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( A Yrm  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
1601, 3, 127, 159syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
161 dvdstr 14227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
162161imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16311, 65, 158, 79, 160, 162syl32anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
164 dvdssub2 14232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16511, 142, 157, 163, 164syl31anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
166155, 165mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
167166adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
168 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M )
169 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170140adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
17123adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  M  e.  ZZ )
172 jm2.19 35297 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
173169, 170, 171, 172syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) 
||  ( A Yrm  M ) ) )
174168, 173mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
175 dvdstr 14227 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
176175imp 427 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
177139, 143, 144, 167, 174, 176syl32anc 1238 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
178138, 177impbida 833 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   3c3 10627   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ^cexp 12210    || cdvds 14195    gcd cgcd 14353   Xrm crmx 35197   Yrm crmy 35198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-numer 14477  df-denom 14478  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-squarenn 35138  df-pell1qr 35139  df-pell14qr 35140  df-pell1234qr 35141  df-pellfund 35142  df-rmx 35199  df-rmy 35200
This theorem is referenced by:  jm2.27a  35309  jm2.27c  35311
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