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Theorem jm2.19lem3 29340
Description: Lemma for jm2.19 29342. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.19lem3
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  M )  =  ( 0  x.  M ) )
21oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) )
32oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) ) )
43breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) ) ) )
54bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) ) ) )
7 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  M )  =  ( b  x.  M ) )
87oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( b  x.  M ) ) )
98oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) )
109breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )
1110bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) ) ) )
13 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  M )  =  ( ( b  +  1 )  x.  M ) )
1413oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) )
1514oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) )
1615breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
1716bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) ) ) )
19 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  M )  =  ( I  x.  M ) )
2019oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( I  x.  M ) ) )
2120oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) )
2221breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
2322bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) ) )
25 zcn 10651 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
2726mul02d 9567 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  x.  M
)  =  0 )
2827oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( N  +  ( 0  x.  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
29 zcn 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3029ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
3130addid1d 9569 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
3228, 31eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  =  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) )
3332oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) )
3433breq2d 4304 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) )
35 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) )
36 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
37 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
38 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
4140, 37zmulcld 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  M )  e.  ZZ )
4238, 41zaddcld 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( N  +  ( b  x.  M ) )  e.  ZZ )
43 jm2.19lem2 29339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( b  x.  M ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) ) ) )
4436, 37, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) ) ) )
4538zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  CC )
4641zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  M )  e.  CC )
4737zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
4845, 46, 47addassd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M )  =  ( N  +  ( ( b  x.  M )  +  M
) ) )
49 nn0cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
51 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
5350, 52, 47adddird 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  M )  =  ( ( b  x.  M )  +  ( 1  x.  M
) ) )
5447mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  M )  =  M )
5554oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  x.  M
)  +  ( 1  x.  M ) )  =  ( ( b  x.  M )  +  M ) )
5653, 55eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  x.  M
)  +  M )  =  ( ( b  +  1 )  x.  M ) )
5756oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( N  +  ( (
b  x.  M )  +  M ) )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) )
5848, 57eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) )
5958oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M
) )  +  M
) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) )
6059breq2d 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
6144, 60bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
62613adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) )
6335, 62bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) )
64633exp 1186 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) ) ) )
6564a2d 26 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) ) ) )
666, 12, 18, 24, 34, 65nn0ind 10738 . . 3  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
6766com12 31 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
68673impia 1184 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861    || cdivides 13535   Yrm crmy 29242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-numer 13813  df-denom 13814  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-squarenn 29182  df-pell1qr 29183  df-pell14qr 29184  df-pell1234qr 29185  df-pellfund 29186  df-rmx 29243  df-rmy 29244
This theorem is referenced by:  jm2.19lem4  29341
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