Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem2 Structured version   Unicode version

Theorem jm2.19lem2 29336
Description: Lemma for jm2.19 29339. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.19lem2
StepHypRef Expression
1 frmy 29252 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
21fovcl 6193 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
323adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
41fovcl 6193 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
543adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
6 frmx 29251 . . . . . . 7  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
76fovcl 6193 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
873adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
98nn0zd 10743 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  ZZ )
10 gcdcom 13702 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  M )  gcd  ( A Xrm  M ) )  =  ( ( A Xrm  M )  gcd  ( A Yrm  M ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  gcd  ( A Xrm  M ) )  =  ( ( A Xrm  M )  gcd  ( A Yrm  M ) ) )
12 jm2.19lem1 29335 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  gcd  ( A Yrm  M ) )  =  1 )
13123adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  gcd  ( A Yrm  M ) )  =  1 )
1411, 13eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  gcd  ( A Xrm  M ) )  =  1 )
15 coprmdvdsb 29327 . . . 4  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  M )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  M )  gcd  ( A Xrm  M ) )  =  1 ) )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
163, 5, 9, 14, 15syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( ( A Xrm 
M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
178nn0cnd 10636 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  CC )
185zcnd 10746 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
1917, 18mulcomd 9405 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) )
2019breq2d 4302 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) ) )
2116, 20bitrd 253 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( ( A Yrm 
N )  x.  ( A Xrm 
M ) ) ) )
225, 9zmulcld 10751 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  e.  ZZ )
236fovcl 6193 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
24233adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0zd 10743 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
2625, 3zmulcld 10751 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
27 dvdsmul2 13553 . . . 4  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M ) 
||  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )
2825, 3, 27syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )
29 dvdsadd2b 13573 . . 3  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  ||  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) ) ) )
303, 22, 26, 28, 29syl112anc 1222 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) ) ) )
31 rmyadd 29269 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  M
) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
32313com23 1193 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  M
) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
3318, 17mulcld 9404 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  e.  CC )
3424nn0cnd 10636 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
353zcnd 10746 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
3634, 35mulcld 9404 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
3733, 36addcomd 9569 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) ) )
3832, 37eqtr2d 2474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm 
M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  M ) ) )
3938breq2d 4302 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  M ) ) ) )
4021, 30, 393bitrd 279 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285   2c2 10369   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859    || cdivides 13533    gcd cgcd 13688   Xrm crmx 29238   Yrm crmy 29239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ioc 11303  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-fac 12050  df-bc 12077  df-hash 12102  df-shft 12554  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-limsup 12947  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-ef 13351  df-sin 13353  df-cos 13354  df-pi 13356  df-dvds 13534  df-gcd 13689  df-numer 13811  df-denom 13812  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-lp 18738  df-perf 18739  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cncf 20452  df-limc 21339  df-dv 21340  df-log 22006  df-squarenn 29179  df-pell1qr 29180  df-pell14qr 29181  df-pell1234qr 29182  df-pellfund 29183  df-rmx 29240  df-rmy 29241
This theorem is referenced by:  jm2.19lem3  29337
  Copyright terms: Public domain W3C validator