Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem1 Structured version   Unicode version

Theorem jm2.19lem1 30827
 Description: Lemma for jm2.19 30831. X and Y values are coprime. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem1 Xrm Yrm

Proof of Theorem jm2.19lem1
StepHypRef Expression
1 frmx 30745 . . . . . . 7 Xrm
21fovcl 6401 . . . . . 6 Xrm
32nn0cnd 10864 . . . . 5 Xrm
43sqcld 12286 . . . 4 Xrm
5 rmspecnonsq 30739 . . . . . . . 8 NN
65eldifad 3493 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
87nncnd 10562 . . . . 5
9 frmy 30746 . . . . . . . 8 Yrm
109fovcl 6401 . . . . . . 7 Yrm
1110zcnd 10977 . . . . . 6 Yrm
1211sqcld 12286 . . . . 5 Yrm
138, 12mulcld 9626 . . . 4 Yrm
144, 13negsubd 9946 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
153sqvald 12285 . . . 4 Xrm Xrm Xrm
1611sqvald 12285 . . . . . 6 Yrm Yrm Yrm
1716oveq2d 6310 . . . . 5 Yrm Yrm Yrm
188, 12mulneg1d 10019 . . . . 5 Yrm Yrm
19 nnnegz 10877 . . . . . . . 8
207, 19syl 16 . . . . . . 7
2120zcnd 10977 . . . . . 6
2221, 11, 11mul12d 9798 . . . . 5 Yrm Yrm Yrm Yrm
2317, 18, 223eqtr3d 2516 . . . 4 Yrm Yrm Yrm
2415, 23oveq12d 6312 . . 3 Xrm Yrm Xrm Xrm Yrm Yrm
25 rmxynorm 30750 . . 3 Xrm Yrm
2614, 24, 253eqtr3d 2516 . 2 Xrm Xrm Yrm Yrm
272nn0zd 10974 . . 3 Xrm
2820, 10zmulcld 10982 . . 3 Yrm
29 bezoutr1 30820 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm Xrm Xrm Yrm Yrm Xrm Yrm
3027, 10, 27, 28, 29syl22anc 1229 . 2 Xrm Xrm Yrm Yrm Xrm Yrm
3126, 30mpd 15 1 Xrm Yrm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5593  (class class class)co 6294  c1 9503   caddc 9505   cmul 9507   cmin 9815  cneg 9816  cn 10546  c2 10595  cn0 10805  cz 10874  cuz 11092  cexp 12144   cgcd 14015  ◻NNcsquarenn 30668   Xrm crmx 30732   Yrm crmy 30733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-numer 14139  df-denom 14140  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-squarenn 30673  df-pell1qr 30674  df-pell14qr 30675  df-pell1234qr 30676  df-pellfund 30677  df-rmx 30734  df-rmy 30735 This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  30828  jm2.20nn  30835
 Copyright terms: Public domain W3C validator