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Theorem jm2.19 29489
Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )

Proof of Theorem jm2.19
StepHypRef Expression
1 rmyeq0 29443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
213adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
3 0dvds 13670 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
433ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5 frmy 29402 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
763adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
8 0dvds 13670 . . . . . 6  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( 0  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  ( A Yrm  N
)  <->  ( A Yrm  N )  =  0 ) )
102, 4, 93bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( 0  ||  N  <->  0 
||  ( A Yrm  N ) ) )
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
1312breq1d 4409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  0 
||  N ) )
1412oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  0 ) )
15 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 rmy0 29417 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  0 )  =  0 )
1814, 17eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  0 )
1918breq1d 4409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
2011, 13, 193bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N ) ) )
215fovcl 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
22213adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
23 dvds0 13665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( A Yrm  M )  ||  0 )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  0
)
25163ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2624, 25breqtrrd 4425 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  0 ) )
27 oveq2 6207 . . . . . . 7  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  0 ) )
2827breq2d 4411 . . . . . 6  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  0 ) ) )
2926, 28syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
3029adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
31 zre 10760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
32313ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
34 zcn 10761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  CC )
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  =/=  0 )
3836, 37absrpcld 13051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
39 modlt 11834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
4033, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
41 simpll1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
42 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
43 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  ZZ )
44 nnabscl 12930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
4543, 37, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN )
4642, 45zmodcld 11844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0 )
47 nn0abscl 12918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
48473ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN0 )
50 ltrmynn0 29438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0  /\  ( abs `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5141, 46, 49, 50syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5240, 51mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
5346nn0zd 10855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )
54 rmyabs 29448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5541, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5633, 38modcld 11830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
57 modge0 11833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5833, 38, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5956, 58absidd 13026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )
6059oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
6155, 60eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
62 rmyabs 29448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6341, 43, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6452, 61, 633brtr4d 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  < 
( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
655fovcl 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  ZZ )
6641, 53, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ )
67 nn0abscl 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  NN0 )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e. 
NN0 )
6968nn0red 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  RR )
7022ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
71 nn0abscl 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
7469, 73ltnled 9631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  <  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
7564, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
76 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)
77 rmyeq0 29443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7841, 53, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7978necon3bid 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 ) )
8076, 79mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )
81 dvdsleabs2 29480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <_ 
( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8270, 66, 80, 81syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8375, 82mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
8483ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =/=  0  ->  -.  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
8584necon4ad 2671 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
8630, 85impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
87 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  ZZ )
88 simpl3 993 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
89 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  =/=  0 )
90 dvdsabsmod0 29482 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
92 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
94 zre 10760 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
95943ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
9695adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
97 modabsdifz 29481 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9893, 96, 89, 97syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9998znegcld 10859 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
100 jm2.19lem4 29488 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) ) ) )
10192, 87, 88, 99, 100syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
10232recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
10435adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  CC )
105104, 89absrpcld 13051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
10693, 105modcld 11830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
107106recnd 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  CC )
108103, 107subcld 9829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  CC )
109108, 104, 89divcld 10217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  CC )
110109, 104mulneg1d 9907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M
)  x.  M ) )
111110oveq2d 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  +  -u (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
112109, 104mulcld 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  e.  CC )
113103, 112negsubd 9835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) )
114108, 104, 89divcan1d 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
115114oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
116103, 107nncand 9834 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
117115, 116eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
118111, 113, 1173eqtrrd 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
119118oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) )
120119breq2d 4411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
121101, 120bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
12286, 91, 1213bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
12320, 122pm2.61dane 2769 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101    mod cmo 11824   abscabs 12840    || cdivides 13652   Yrm crmy 29389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-acn 8222  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-numer 13930  df-denom 13931  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-squarenn 29329  df-pell1qr 29330  df-pell14qr 29331  df-pell1234qr 29332  df-pellfund 29333  df-rmx 29390  df-rmy 29391
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  29493
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