Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Unicode version

Theorem jm2.17c 31062
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 eluzelre 11116 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
4 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
51, 3, 4sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
6 nnz 10907 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87peano2zd 10993 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 31012 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6406 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
1110zred 10990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
128, 11syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135, 12remulcld 9641 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
14 nncn 10564 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
16 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 pncan 9845 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
1918oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
209fovcl 6406 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2120zred 10990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
226, 21sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
2413, 23resubcld 10008 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnnn0 10823 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
275, 26reexpcld 12329 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  RR )
285, 27remulcld 9641 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
29 rmy0 31027 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
31 nngt0 10585 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3231adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
33 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 0zd 10897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
35 ltrmy 31052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3732, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
3830, 37eqbrtrrd 4478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
3938, 19breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4023, 13ltsubposd 10159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4139, 40mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
42 jm2.17b 31061 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
4325, 42sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
44 2nn 10714 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
45 eluz2nn 11144 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
46 nnmulcl 10579 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4744, 45, 46sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
4847nngt0d 10600 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( 2  x.  A
) )
50 lemul2 10416 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) ) )
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  <->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
5243, 51mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 9759 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
54 rmyluc2 31036 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
558, 54syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
565recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
5756, 26expp1d 12313 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^ N )  x.  ( 2  x.  A
) ) )
5827recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  CC )
5958, 56mulcomd 9634 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6057, 59eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6153, 55, 603brtr4d 4486 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12168   Yrm crmy 30999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-numer 14279  df-denom 14280  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-squarenn 30939  df-pell1qr 30940  df-pell14qr 30941  df-pell1234qr 30942  df-pellfund 30943  df-rmx 31000  df-rmy 31001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator