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Theorem jm2.17b 35731
Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17b  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )

Proof of Theorem jm2.17b
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6309 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
21oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
3 oveq2 6310 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 4433 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
0 ) ) )
54imbi2d 317 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ 0 ) ) ) )
6 oveq1 6309 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
76oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
8 oveq2 6310 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) )
97, 8breq12d 4433 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
109imbi2d 317 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ b
) ) ) )
11 oveq1 6309 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1211oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
13 oveq2 6310 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4433 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 317 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq1 6309 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1716oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
18 oveq2 6310 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 4433 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
2019imbi2d 317 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
21 1le1 10241 . . . 4  |-  1  <_  1
22 0p1e1 10722 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2322oveq2i 6313 . . . . . 6  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
24 rmy1 35698 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
2523, 24syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
26 2re 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
27 eluzelre 11170 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
28 remulcl 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2926, 27, 28sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
3029recnd 9670 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3130exp0d 12410 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A ) ^ 0 )  =  1 )
3225, 31breq12d 4433 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ 0 )  <->  1  <_  1 ) )
3321, 32mpbiri 236 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ 0 ) )
34 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
35 nn0z 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
3736peano2zd 11044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
38 rmyluc2 35706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
3934, 37, 38syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
40 rmxypos 35717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
4140simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
4241ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( A Yrm  b ) )
43 nn0re 10879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
4544recnd 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
46 ax-1cn 9598 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
47 pncan 9882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
4845, 46, 47sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
4948oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
5042, 49breqtrrd 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )
5127adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
5226, 51, 28sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
53 frmy 35682 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 6412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5634, 37, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5752, 56remulcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
5853fovcl 6412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
5958zred 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
6034, 36, 59syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
6149, 60eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
6257, 61subge02d 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 0  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
6350, 62mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
6439, 63eqbrtrd 4441 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
66 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6752, 66reexpcld 12433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ b
)  e.  RR )
68 2nn 10768 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
69 eluz2nn 11198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
70 nnmulcl 10633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7168, 69, 70sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
7271nngt0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
7372adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <  ( 2  x.  A ) )
74 lemul2 10459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ b )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) ) )
7556, 67, 52, 73, 74syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) ) )
7675biimp3a 1364 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
7752recnd 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
7877, 66expp1d 12417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
) ^ b )  x.  ( 2  x.  A ) ) )
7967recnd 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ b
)  e.  CC )
8079, 77mulcomd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A ) ^
b )  x.  (
2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
8178, 80eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
82813adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( 2  x.  A
) ^ b ) ) )
8376, 82breqtrrd 4447 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )
8437peano2zd 11044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
8553fovcl 6412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
8685zred 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
8734, 84, 86syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
88 peano2nn0 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
8988adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
9052, 89reexpcld 12433 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
91 letr 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) ) )
9287, 57, 90, 91syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) )
93923adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ ( b  +  1 ) ) ) )
9465, 83, 93mp2and 683 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )
95943exp 1204 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) ) )
9695a2d 29 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) ) ) )
975, 10, 15, 20, 33, 96nn0ind 11031 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ N ) ) )
9897impcom 431 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ^cexp 12272   Xrm crmx 35668   Yrm crmy 35669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-numer 14672  df-denom 14673  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-squarenn 35606  df-pell1qr 35607  df-pell14qr 35608  df-pell1234qr 35609  df-pellfund 35610  df-rmx 35670  df-rmy 35671
This theorem is referenced by:  jm2.17c  35732
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