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Theorem jm2.17a 30826
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 ) )
2 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
41, 3breq12d 4466 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ 0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
6 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b ) )
7 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
87oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
96, 8breq12d 4466 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
11 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) ) )
12 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1312oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4466 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N ) )
17 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1817oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
1916, 18breq12d 4466 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
21 1le1 10189 . . . . 5  |-  1  <_  1
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  1 )
23 2cn 10618 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
24 eluzelz 11103 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2524zcnd 10979 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
26 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
28 ax-1cn 9562 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
29 subcl 9831 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3027, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3130exp0d 12284 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
32 0p1e1 10659 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
34 rmy1 30794 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
3533, 34syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
3622, 31, 353brtr4d 4483 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  <_ 
( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
37 2re 10617 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
38 eluzelre 11104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
40 remulcl 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4137, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
42 1re 9607 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43 resubcl 9895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
4441, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
45 peano2nn0 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
4744, 46reexpcld 12307 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
48473adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
50 nn0z 10899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
5150adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
5251peano2zd 10981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
53 frmy 30778 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 6402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5649, 52, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 44remulcld 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  e.  RR )
58573adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5952peano2zd 10981 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
6053fovcl 6402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
6160zred 10978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
6249, 59, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
63623adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
64303ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
65 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
6664, 65expp1d 12291 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
67 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6844, 67reexpcld 12307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  e.  RR )
69 2nn 10705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
70 eluz2b2 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
7170simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN )
73 nnmulcl 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7469, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  NN )
75 nnm1nn0 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
76 nn0ge0 10833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ( 2  x.  A )  -  1 ) )
7774, 75, 763syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) )
7844, 77jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) )
7968, 56, 783jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
80793adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
81 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
82 lemul1a 10408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  <_  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
8466, 83eqbrtrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
85 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
87 pncan 9838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8886, 28, 87sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8988oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
9053fovcl 6402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
9190zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
9249, 51, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
9389, 92eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
94 remulcl 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9556, 42, 94sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9641, 56remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
97 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
9998lep1d 10489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  <_  ( b  +  1 ) )
100 lermy 30821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <_  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10149, 51, 52, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  <_  (
b  +  1 )  <-> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10299, 101mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
10356recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  CC )
104103mulid1d 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
105102, 89, 1043brtr4d 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )
10693, 95, 96, 105lesub2dd 10181 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10741recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
10828a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
109103, 107, 108subdid 10024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
110103, 107mulcomd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
111110oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
112109, 111eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
113 rmyluc2 30802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11449, 52, 113syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
115106, 112, 1143brtr4d 4483 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1161153adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
11748, 58, 63, 84, 116letrd 9750 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1181173exp 1195 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
119118a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1205, 10, 15, 20, 36, 119nn0ind 10969 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ N )  <_ 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
121120impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ^cexp 12146   Yrm crmy 30765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-squarenn 30705  df-pell1qr 30706  df-pell14qr 30707  df-pell1234qr 30708  df-pellfund 30709  df-rmx 30766  df-rmy 30767
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