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Theorem jm2.15nn0 35563
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11168 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 eluzelz 11168 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
3 zsubcl 10979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
5 0z 10948 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
6 congid 35526 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 0  -  0 ) )
74, 5, 6sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
0  -  0 ) )
8 rmy0 35482 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
9 rmy0 35482 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  0 )  =  0 )
108, 9oveqan12d 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117, 10breqtrrd 4452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
12 1z 10967 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
13 congid 35526 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 1  -  1 ) )
144, 12, 13sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
1  -  1 ) )
15 rmy1 35483 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
16 rmy1 35483 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  1 )  =  1 )
1715, 16oveqan12d 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 4452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
19 pm3.43 870 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
2043ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
21 2z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
23 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
24 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
25243ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
26 frmy 35467 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2726fovcl 6415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2823, 25, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
291adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  ZZ )
30293ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3128, 30zmulcld 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
3222, 31zmulcld 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ )
33 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3426fovcl 6415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
3533, 25, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
362adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
37363ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
3835, 37zmulcld 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )
3922, 38zmulcld 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  e.  ZZ )
40 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
42413ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4326fovcl 6415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4423, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
4526fovcl 6415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4633, 42, 45syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
47 congid 35526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 2  -  2 ) )
4820, 21, 47sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 ) )
49 simp3r 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
50 iddvds 14294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
52 congmul 35522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( A  -  B ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
54 congmul 35522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) ) )
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )
56 simp3l 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
57 congsub 35525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
59 rmyluc 35490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6023, 25, 59syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
61 rmyluc 35490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6233, 25, 61syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6360, 62oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
6458, 63breqtrrd 4452 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643exp 1204 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6665a2d 29 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6719, 66syl5 33 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
68 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
69 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  0 ) )
7068, 69oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
7170breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) )
7271imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) ) )
73 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
74 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  1 ) )
7573, 74oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
7675breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) )
7776imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) ) )
78 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
79 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )
8078, 79oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
8180breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
8281imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) ) )
83 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
84 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  b ) )
8583, 84oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
8685breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )
8786imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
88 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
89 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )
9088, 89oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
9190breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
9291imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
93 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
94 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  N ) )
9593, 94oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
9695breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9796imbi2d 317 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) ) )
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 35498 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9998impcom 431 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm 
N )  -  ( B Yrm 
N ) ) )
100993impa 1200 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159    || cdvds 14283   Yrm crmy 35454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-numer 14655  df-denom 14656  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-squarenn 35394  df-pell1qr 35395  df-pell14qr 35396  df-pell1234qr 35397  df-pellfund 35398  df-rmx 35455  df-rmy 35456
This theorem is referenced by:  jm2.27a  35565  jm2.27c  35567
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