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Theorem jm2.15nn0 26964
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10452 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 eluzelz 10452 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
3 zsubcl 10275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
5 0z 10249 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
6 congid 26926 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 0  -  0 ) )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
0  -  0 ) )
8 rmy0 26882 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
9 rmy0 26882 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  0 )  =  0 )
108, 9oveqan12d 6059 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117, 10breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
12 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
13 congid 26926 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 1  -  1 ) )
144, 12, 13sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
1  -  1 ) )
15 rmy1 26883 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
16 rmy1 26883 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  1 )  =  1 )
1715, 16oveqan12d 6059 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
19 pm3.43 833 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
2043ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
21 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
23 simp2l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
24 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
25243ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
26 frmy 26867 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2726fovcl 6134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2823, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
291adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  ZZ )
30293ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3128, 30zmulcld 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
3222, 31zmulcld 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ )
33 simp2r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3426fovcl 6134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
3533, 25, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
362adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
37363ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
3835, 37zmulcld 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )
3922, 38zmulcld 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  e.  ZZ )
40 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4124, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
42413ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4326fovcl 6134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4423, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
4526fovcl 6134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4633, 42, 45syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
47 congid 26926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 2  -  2 ) )
4820, 21, 47sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 ) )
49 simp3r 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
50 iddvds 12818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
5120, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
52 congmul 26922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( A  -  B ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
54 congmul 26922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) ) )
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )
56 simp3l 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
57 congsub 26925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
59 rmyluc 26890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6023, 25, 59syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
61 rmyluc 26890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6233, 25, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6360, 62oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
6458, 63breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643exp 1152 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6719, 66syl5 30 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
68 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
69 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  0 ) )
7068, 69oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
7170breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) )
7271imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) ) )
73 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
74 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  1 ) )
7573, 74oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
7675breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) )
7776imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) ) )
78 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
79 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )
8078, 79oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
8180breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
8281imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) ) )
83 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
84 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  b ) )
8583, 84oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
8685breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )
8786imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
88 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
89 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )
9088, 89oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
9190breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
9291imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
93 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
94 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  N ) )
9593, 94oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
9695breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9796imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) ) )
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 26898 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9998impcom 420 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm 
N )  -  ( B Yrm 
N ) ) )
100993impa 1148 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    || cdivides 12807   Yrm crmy 26854
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795  df-pell14qr 26796  df-pell1234qr 26797  df-pellfund 26798  df-rmx 26855  df-rmy 26856
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