Theorem jensenlem2 23992

Description: Lemma for jensen 23993. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
jensenlem.1	|- ( ph -> -. z e. B )
jensenlem.2	|- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
jensenlem.s	|- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
jensenlem.l	|- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
jensenlem.3	|- ( ph -> S e. RR+ )
jensenlem.4	|- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
jensenlem.5	|- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )

Assertion

Ref	Expression
jensenlem2	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y   z, a, B, b, t, x, y   t, L, x, y   S, a, b, t, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   D( z)   S( z)   T( z)   F( z)   L( z, a, b)   X( z)

Proof of Theorem jensenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 19069	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
2		cnring 19067	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. Ring
3		ringabl 17888	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Abel )
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. Abel )
5		jensen.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
6		jensenlem.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
7	6	unssad 3602	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ A )
8		ssfi 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
9	5, 7, 8	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Fin )
10		resubdrg 19253	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
11	10	simpli 465	. . . . . . . 8 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
12		subrgsubg 18092	. . . . . . . 8 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
14		remulcl 9642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
15	14	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
16		jensen.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
17		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
18		fss 5749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
19	16, 17, 18	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> RR )
20		jensen.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : A --> D )
21		jensen.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D C_ RR )
22	20, 21	fssd 5750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : A --> RR )
23		inidm 3632	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i A ) = A
24	15, 19, 22, 5, 5, 23	off 6565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
25	24, 7	fssresd 5762	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) : B --> RR )
26		c0ex 9655	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. _V )
28	25, 9, 27	fdmfifsupp 7911	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) finSupp 0 )
29	1, 4, 9, 13, 25, 28	gsumsubgcl 17631	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. RR )
30	29	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. CC )
31		ax-resscn 9614	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
32	17, 31	sstri 3427	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
33	6	unssbd 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { z } C_ A )
34		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
35	34	snss 4087	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
36	33, 35	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> z e. A )
37	16, 36	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38	32, 37	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` z ) e. CC )
39	20, 36	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ` z ) e. D )
40	21, 39	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ` z ) e. RR )
41	40	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ` z ) e. CC )
42	38, 41	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) e. CC )
43		jensen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : D --> RR )
44		jensen.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
45		jensen.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
46		jensen.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
47		jensenlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. z e. B )
48		jensenlem.s	. . . . . . . 8 |- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
49		jensenlem.l	. . . . . . . 8 |- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
50	21, 43, 44, 5, 16, 20, 45, 46, 47, 6, 48, 49	jensenlem1 23991	. . . . . . 7 |- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )
51		jensenlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR+ )
52	51	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
53		elrege0 11764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` z ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` z ) ) )
54	53	simplbi 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( T ` z ) e. RR )
55	37, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ` z ) e. RR )
56	52, 55	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S + ( T ` z ) ) e. RR )
57	50, 56	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. RR )
58	57	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> L e. CC )
59		0red 9662	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
60	51	rpgt0d 11367	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < S )
61	53	simprbi 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( T ` z ) )
62	37, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T ` z ) )
63	52, 55	addge01d 10222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T ` z ) <-> S <_ ( S + ( T ` z ) ) ) )
64	62, 63	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ ( S + ( T ` z ) ) )
65	64, 50	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ L )
66	59, 52, 57, 60, 65	ltletrd 9812	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < L )
67	66	gt0ne0d 10199	. . . . 5 |- ( ph -> L =/= 0 )
68	30, 42, 58, 67	divdird 10443	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
69		cnfldbas 19051	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
70		cnfldadd 19052	. . . . . . 7 |- + = ( +g ` ℂfld )
71		ringcmn 17889	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
72	2, 71	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
73	7	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. A )
74	16	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
75	73, 74	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
76	32, 75	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. CC )
77	21	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D C_ RR )
78	20	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X ` x ) e. D )
79	73, 78	syldan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. D )
80	77, 79	sseldd 3419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. RR )
81	80	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. CC )
82	76, 81	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) e. CC )
83		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( T ` x ) = ( T ` z ) )
84		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( X ` x ) = ( X ` z ) )
85	83, 84	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) = ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) )
86	69, 70, 72, 9, 82, 36, 47, 42, 85	gsumunsn 17670	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
87	16	feqmptd 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T = ( x e. A |-> ( T ` x ) ) )
88	20	feqmptd 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = ( x e. A |-> ( X ` x ) ) )
89	5, 74, 78, 87, 88	offval2 6567	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. X ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
90	89	reseq1d 5110	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
91	6	resmptd 5162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
92	90, 91	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
93	92	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
94	89	reseq1d 5110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) )
95	7	resmptd 5162	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
96	94, 95	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
97	96	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
99	86, 93, 98	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
100	99	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) )
101	52	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
102	51	rpne0d 11369	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= 0 )
103	30, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10434	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) )
104	58, 101, 58, 67	divsubdird 10444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( L / L ) - ( S / L ) ) )
105	50	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L - S ) = ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) )
106	101, 38	pncan2d 10007	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) = ( T ` z ) )
107	105, 106	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L - S ) = ( T ` z ) )
108	107	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( T ` z ) / L ) )
109	58, 67	dividd 10403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L / L ) = 1 )
110	109	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L / L ) - ( S / L ) ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
111	104, 108, 110	3eqtr3rd 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) = ( ( T ` z ) / L ) )
112	111	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
113	38, 41, 58, 67	div23d 10442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
114	112, 113	eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) )
115	103, 114	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
116	68, 100, 115	3eqtr4d 2515	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
117		jensenlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
118	52, 57, 67	redivcld 10457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) e. RR )
119	51	rpge0d 11368	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
120		divge0 10496	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> 0 <_ ( S / L ) )
121	52, 119, 57, 66, 120	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( S / L ) )
122	58	mulid1d 9678	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L x. 1 ) = L )
123	65, 122	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( L x. 1 ) )
124		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
125		ledivmul 10503	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 1 e. RR /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
126	52, 124, 57, 66, 125	syl112anc 1296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
127	123, 126	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) <_ 1 )
128		0re 9661	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
129		1re 9660	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
130	128, 129	elicc2i 11725	. . . . . 6 |- ( ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( S / L ) e. RR /\ 0 <_ ( S / L ) /\ ( S / L ) <_ 1 ) )
131	118, 121, 127, 130	syl3anbrc 1214	. . . . 5 |- ( ph -> ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) )
132	117, 39, 131	3jca 1210	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
133	21, 44	cvxcl 23989	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
134	132, 133	mpdan 681	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
135	116, 134	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D )
136	43, 134	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
137	43, 117	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
138	118, 137	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) e. RR )
139	43, 39	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. RR )
140	55, 139	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
141	140, 57, 67	redivcld 10457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) e. RR )
142	138, 141	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) e. RR )
143		fco 5751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
144	43, 20, 143	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) : A --> RR )
145	15, 19, 144, 5, 5, 23	off 6565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR )
146	145, 7	fssresd 5762	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) : B --> RR )
147	146, 9, 27	fdmfifsupp 7911	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) finSupp 0 )
148	1, 4, 9, 13, 146, 147	gsumsubgcl 17631	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. RR )
149	148, 52, 102	redivcld 10457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR )
150	118, 149	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
151		resubcl 9958	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( S / L ) e. RR ) -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
152	129, 118, 151	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
153	152, 139	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
154	150, 153	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
155		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. x ) = ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
156	155	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
157	156	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) )
158		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
159	158	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. ( F ` x ) ) = ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
160	159	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
161	157, 160	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
162	161	imbi2d 323	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) ) )
163		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) )
164	163	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) )
165	164	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
166		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
167	166	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
168	167	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
169	165, 168	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
170	169	imbi2d 323	. . . . . . . 8 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
171		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
172		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( S / L ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
173	172	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) )
174	171, 173	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
175	174	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
176		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) = ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
177	172	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
178	176, 177	oveq12d 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
179	175, 178	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <-> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
180	179	imbi2d 323	. . . . . . . 8 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
181	46	expcom 442	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
182	162, 170, 180, 181	vtocl3ga 3103	. . . . . . 7 |- ( ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
183	117, 39, 131, 182	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
184	183	pm2.43i 48	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
185	111	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
186	139	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. CC )
187	38, 186, 58, 67	div23d 10442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
188	185, 187	eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) )
189	188	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
190	184, 189	breqtrd 4420	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
191	187, 185	eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
192	191	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
193		jensenlem.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )
194	52, 57, 60, 66	divgt0d 10564	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( S / L ) )
195		lemul2 10480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR /\ ( ( S / L ) e. RR /\ 0 < ( S / L ) ) ) -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
196	137, 149, 118, 194, 195	syl112anc 1296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
197	193, 196	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) )
198	138, 150, 153, 197	leadd1dd 10248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
199	192, 198	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
200	136, 142, 154, 190, 199	letrd 9809	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
201	116	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
202	148	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. CC )
203	140	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. CC )
204	202, 203, 58, 67	divdird 10443	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
205	17, 74	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. RR )
206	43	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X ` x ) e. D ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
207	78, 206	syldan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
208	205, 207	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. RR )
209	208	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
210	73, 209	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
211	84	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( F ` ( X ` x ) ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
212	83, 211	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) = ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
213	69, 70, 72, 9, 210, 36, 47, 203, 212	gsumunsn 17670	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
214	43	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( y e. D |-> ( F ` y ) ) )
215		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` x ) ) )
216	78, 88, 214, 215	fmptco 6072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X ` x ) ) ) )
217	5, 74, 207, 87, 216	offval2 6567	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
218	217	reseq1d 5110	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
219	6	resmptd 5162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
220	218, 219	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
222	217	reseq1d 5110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) )
223	7	resmptd 5162	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
226	225	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
227	213, 221, 226	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
228	227	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) )
229	202, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10434	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) )
230	229, 188	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
231	204, 228, 230	3eqtr4d 2515	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
232	200, 201, 231	3brtr4d 4426	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) )
233	135, 232	jca 541	1 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   |` cres 4841   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   gsum_g cgsu 15417  SubGrpcsubg 16889  CMndccmn 17508   Abelcabl 17509   Ringcrg 17858   DivRingcdr 18053  SubRingcsubrg 18082  ℂ_fldccnfld 19047  RRfldcrefld 19249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-cnfld 19048  df-refld 19250

This theorem is referenced by:  jensen  23993