Theorem jensenlem2 23189

Description: Lemma for jensen 23190. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
jensenlem.1	|- ( ph -> -. z e. B )
jensenlem.2	|- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
jensenlem.s	|- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
jensenlem.l	|- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
jensenlem.3	|- ( ph -> S e. RR+ )
jensenlem.4	|- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
jensenlem.5	|- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )

Assertion

Ref	Expression
jensenlem2	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y   z, a, B, b, t, x, y   t, L, x, y   S, a, b, t, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   D( z)   S( z)   T( z)   F( z)   L( z, a, b)   X( z)

Proof of Theorem jensenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 18316	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
2		cnring 18314	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. Ring
3		ringabl 17102	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Abel )
4	2, 3	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. Abel )
5		jensen.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
6		jensenlem.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
7	6	unssad 3666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ A )
8		ssfi 7742	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
9	5, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Fin )
10		resubdrg 18517	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
11	10	simpli 458	. . . . . . . 8 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
12		subrgsubg 17309	. . . . . . . 8 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
13	11, 12	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
14		remulcl 9580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
16		jensen.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
17		rge0ssre 11637	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
18		fss 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
19	16, 17, 18	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> RR )
20		jensen.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : A --> D )
21		jensen.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D C_ RR )
22	20, 21	fssd 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : A --> RR )
23		inidm 3692	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i A ) = A
24	15, 19, 22, 5, 5, 23	off 6539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
25	24, 7	fssresd 5742	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) : B --> RR )
26		c0ex 9593	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. _V )
28	25, 9, 27	fdmfifsupp 7841	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) finSupp 0 )
29	1, 4, 9, 13, 25, 28	gsumsubgcl 16806	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. RR )
30	29	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. CC )
31		ax-resscn 9552	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
32	17, 31	sstri 3498	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
33	6	unssbd 3667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { z } C_ A )
34		vex 3098	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
35	34	snss 4139	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
36	33, 35	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> z e. A )
37	16, 36	ffvelrnd 6017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38	32, 37	sseldi 3487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` z ) e. CC )
39	20, 36	ffvelrnd 6017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ` z ) e. D )
40	21, 39	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ` z ) e. RR )
41	40	recnd 9625	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ` z ) e. CC )
42	38, 41	mulcld 9619	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) e. CC )
43		jensen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : D --> RR )
44		jensen.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
45		jensen.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
46		jensen.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
47		jensenlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. z e. B )
48		jensenlem.s	. . . . . . . 8 |- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
49		jensenlem.l	. . . . . . . 8 |- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
50	21, 43, 44, 5, 16, 20, 45, 46, 47, 6, 48, 49	jensenlem1 23188	. . . . . . 7 |- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )
51		jensenlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR+ )
52	51	rpred 11265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
53		elrege0 11636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` z ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` z ) ) )
54	53	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( T ` z ) e. RR )
55	37, 54	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ` z ) e. RR )
56	52, 55	readdcld 9626	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S + ( T ` z ) ) e. RR )
57	50, 56	eqeltrd 2531	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. RR )
58	57	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> L e. CC )
59		0red 9600	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
60	51	rpgt0d 11268	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < S )
61	53	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( T ` z ) )
62	37, 61	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T ` z ) )
63	52, 55	addge01d 10146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T ` z ) <-> S <_ ( S + ( T ` z ) ) ) )
64	62, 63	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ ( S + ( T ` z ) ) )
65	64, 50	breqtrrd 4463	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ L )
66	59, 52, 57, 60, 65	ltletrd 9745	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < L )
67	66	gt0ne0d 10123	. . . . 5 |- ( ph -> L =/= 0 )
68	30, 42, 58, 67	divdird 10364	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
69		cnfldbas 18298	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
70		cnfldadd 18299	. . . . . . 7 |- + = ( +g ` ℂfld )
71		ringcmn 17103	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
72	2, 71	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
73	7	sselda 3489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. A )
74	16	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
75	73, 74	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
76	32, 75	sseldi 3487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. CC )
77	21	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D C_ RR )
78	20	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X ` x ) e. D )
79	73, 78	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. D )
80	77, 79	sseldd 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. RR )
81	80	recnd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. CC )
82	76, 81	mulcld 9619	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) e. CC )
83		fveq2 5856	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( T ` x ) = ( T ` z ) )
84		fveq2 5856	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( X ` x ) = ( X ` z ) )
85	83, 84	oveq12d 6299	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) = ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) )
86	69, 70, 72, 9, 82, 36, 47, 42, 85	gsumunsn 16860	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
87	16	feqmptd 5911	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T = ( x e. A |-> ( T ` x ) ) )
88	20	feqmptd 5911	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = ( x e. A |-> ( X ` x ) ) )
89	5, 74, 78, 87, 88	offval2 6541	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. X ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
90	89	reseq1d 5262	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
91	6	resmptd 5315	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
92	90, 91	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
93	92	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
94	89	reseq1d 5262	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) )
95	7	resmptd 5315	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
96	94, 95	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
97	96	oveq2d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
99	86, 93, 98	3eqtr4d 2494	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
100	99	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) )
101	52	recnd 9625	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
102	51	rpne0d 11270	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= 0 )
103	30, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10355	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) )
104	58, 101, 58, 67	divsubdird 10365	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( L / L ) - ( S / L ) ) )
105	50	oveq1d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L - S ) = ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) )
106	101, 38	pncan2d 9938	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) = ( T ` z ) )
107	105, 106	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L - S ) = ( T ` z ) )
108	107	oveq1d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( T ` z ) / L ) )
109	58, 67	dividd 10324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L / L ) = 1 )
110	109	oveq1d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L / L ) - ( S / L ) ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
111	104, 108, 110	3eqtr3rd 2493	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) = ( ( T ` z ) / L ) )
112	111	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
113	38, 41, 58, 67	div23d 10363	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
114	112, 113	eqtr4d 2487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) )
115	103, 114	oveq12d 6299	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
116	68, 100, 115	3eqtr4d 2494	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
117		jensenlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
118	52, 57, 67	redivcld 10378	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) e. RR )
119	51	rpge0d 11269	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
120		divge0 10417	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> 0 <_ ( S / L ) )
121	52, 119, 57, 66, 120	syl22anc 1230	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( S / L ) )
122	58	mulid1d 9616	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L x. 1 ) = L )
123	65, 122	breqtrrd 4463	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( L x. 1 ) )
124		1red 9614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
125		ledivmul 10424	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 1 e. RR /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
126	52, 124, 57, 66, 125	syl112anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
127	123, 126	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) <_ 1 )
128		0re 9599	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
129		1re 9598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
130	128, 129	elicc2i 11599	. . . . . 6 |- ( ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( S / L ) e. RR /\ 0 <_ ( S / L ) /\ ( S / L ) <_ 1 ) )
131	118, 121, 127, 130	syl3anbrc 1181	. . . . 5 |- ( ph -> ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) )
132	117, 39, 131	3jca 1177	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
133	21, 44	cvxcl 23186	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
134	132, 133	mpdan 668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
135	116, 134	eqeltrd 2531	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D )
136	43, 134	ffvelrnd 6017	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
137	43, 117	ffvelrnd 6017	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
138	118, 137	remulcld 9627	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) e. RR )
139	43, 39	ffvelrnd 6017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. RR )
140	55, 139	remulcld 9627	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
141	140, 57, 67	redivcld 10378	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) e. RR )
142	138, 141	readdcld 9626	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) e. RR )
143		fco 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
144	43, 20, 143	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) : A --> RR )
145	15, 19, 144, 5, 5, 23	off 6539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR )
146	145, 7	fssresd 5742	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) : B --> RR )
147	146, 9, 27	fdmfifsupp 7841	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) finSupp 0 )
148	1, 4, 9, 13, 146, 147	gsumsubgcl 16806	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. RR )
149	148, 52, 102	redivcld 10378	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR )
150	118, 149	remulcld 9627	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
151		resubcl 9888	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( S / L ) e. RR ) -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
152	129, 118, 151	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
153	152, 139	remulcld 9627	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
154	150, 153	readdcld 9626	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
155		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. x ) = ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
156	155	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
157	156	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) )
158		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
159	158	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. ( F ` x ) ) = ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
160	159	oveq1d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
161	157, 160	breq12d 4450	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
162	161	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) ) )
163		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) )
164	163	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) )
165	164	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
166		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
167	166	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
168	167	oveq2d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
169	165, 168	breq12d 4450	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
170	169	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
171		oveq1 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
172		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( S / L ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
173	172	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) )
174	171, 173	oveq12d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
175	174	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
176		oveq1 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) = ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
177	172	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
178	176, 177	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
179	175, 178	breq12d 4450	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <-> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
180	179	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
181	46	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
182	162, 170, 180, 181	vtocl3ga 3163	. . . . . . 7 |- ( ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
183	117, 39, 131, 182	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
184	183	pm2.43i 47	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
185	111	oveq1d 6296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
186	139	recnd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. CC )
187	38, 186, 58, 67	div23d 10363	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
188	185, 187	eqtr4d 2487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) )
189	188	oveq2d 6297	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
190	184, 189	breqtrd 4461	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
191	187, 185	eqtr4d 2487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
192	191	oveq2d 6297	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
193		jensenlem.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )
194	52, 57, 60, 66	divgt0d 10487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( S / L ) )
195		lemul2 10401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR /\ ( ( S / L ) e. RR /\ 0 < ( S / L ) ) ) -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
196	137, 149, 118, 194, 195	syl112anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
197	193, 196	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) )
198	138, 150, 153, 197	leadd1dd 10172	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
199	192, 198	eqbrtrd 4457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
200	136, 142, 154, 190, 199	letrd 9742	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
201	116	fveq2d 5860	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
202	148	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. CC )
203	140	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. CC )
204	202, 203, 58, 67	divdird 10364	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
205	17, 74	sseldi 3487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. RR )
206	43	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X ` x ) e. D ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
207	78, 206	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
208	205, 207	remulcld 9627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. RR )
209	208	recnd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
210	73, 209	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
211	84	fveq2d 5860	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( F ` ( X ` x ) ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
212	83, 211	oveq12d 6299	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) = ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
213	69, 70, 72, 9, 210, 36, 47, 203, 212	gsumunsn 16860	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
214	43	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( y e. D |-> ( F ` y ) ) )
215		fveq2 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` x ) ) )
216	78, 88, 214, 215	fmptco 6049	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X ` x ) ) ) )
217	5, 74, 207, 87, 216	offval2 6541	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
218	217	reseq1d 5262	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
219	6	resmptd 5315	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
220	218, 219	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
222	217	reseq1d 5262	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) )
223	7	resmptd 5315	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
226	225	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
227	213, 221, 226	3eqtr4d 2494	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
228	227	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) )
229	202, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10355	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) )
230	229, 188	oveq12d 6299	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
231	204, 228, 230	3eqtr4d 2494	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
232	200, 201, 231	3brtr4d 4467	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) )
233	135, 232	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   u. cun 3459   C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   |` cres 4991   o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   oFcof 6523   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   +oocpnf 9628   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   / cdiv 10212   RR+crp 11229   [,)cico 11540   [,]cicc 11541   gsum_g cgsu 14715  SubGrpcsubg 16069  CMndccmn 16672   Abelcabl 16673   Ringcrg 17072   DivRingcdr 17270  SubRingcsubrg 17299  ℂ_fldccnfld 18294  RRfldcrefld 18513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-subrg 17301  df-cnfld 18295  df-refld 18514

This theorem is referenced by:  jensen  23190