Theorem jensenlem2 22517

Description: Lemma for jensen 22518. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
jensenlem.1	|- ( ph -> -. z e. B )
jensenlem.2	|- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
jensenlem.s	|- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
jensenlem.l	|- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
jensenlem.3	|- ( ph -> S e. RR+ )
jensenlem.4	|- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
jensenlem.5	|- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )

Assertion

Ref	Expression
jensenlem2	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y   z, a, B, b, t, x, y   t, L, x, y   S, a, b, t, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   D( z)   S( z)   T( z)   F( z)   L( z, a, b)   X( z)

Proof of Theorem jensenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 17968	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
2		cnrng 17966	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. Ring
3		rngabl 16800	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Abel )
4	2, 3	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. Abel )
5		jensen.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
6		jensenlem.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
7	6	unssad 3644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ A )
8		ssfi 7647	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
9	5, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Fin )
10		resubdrg 18166	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
11	10	simpli 458	. . . . . . . 8 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
12		subrgsubg 16997	. . . . . . . 8 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
13	11, 12	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
14		remulcl 9481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
16		jensen.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
17		0re 9500	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
18		pnfxr 11206	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
19		icossre 11490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
20	17, 18, 19	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
21		fss 5678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
22	16, 20, 21	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> RR )
23		jensen.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : A --> D )
24		jensen.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D C_ RR )
25		fss 5678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X : A --> D /\ D C_ RR ) -> X : A --> RR )
26	23, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : A --> RR )
27		inidm 3670	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i A ) = A
28	15, 22, 26, 5, 5, 27	off 6447	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
29		fssres 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T oF x. X ) : A --> RR /\ B C_ A ) -> ( ( T oF x. X ) |` B ) : B --> RR )
30	28, 7, 29	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) : B --> RR )
31		c0ex 9494	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. _V )
33	30, 9, 32	fdmfifsupp 7744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) finSupp 0 )
34	1, 4, 9, 13, 30, 33	gsumsubgcl 16530	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. RR )
35	34	recnd 9526	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. CC )
36		ax-resscn 9453	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
37	20, 36	sstri 3476	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
38	6	unssbd 3645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { z } C_ A )
39		vex 3081	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
40	39	snss 4110	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
41	38, 40	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> z e. A )
42	16, 41	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
43	37, 42	sseldi 3465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` z ) e. CC )
44	23, 41	ffvelrnd 5956	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ` z ) e. D )
45	24, 44	sseldd 3468	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ` z ) e. RR )
46	45	recnd 9526	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ` z ) e. CC )
47	43, 46	mulcld 9520	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) e. CC )
48		jensen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : D --> RR )
49		jensen.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
50		jensen.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
51		jensen.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
52		jensenlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. z e. B )
53		jensenlem.s	. . . . . . . 8 |- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
54		jensenlem.l	. . . . . . . 8 |- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
55	24, 48, 49, 5, 16, 23, 50, 51, 52, 6, 53, 54	jensenlem1 22516	. . . . . . 7 |- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )
56		jensenlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR+ )
57	56	rpred 11141	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
58		elrege0 11512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` z ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` z ) ) )
59	58	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( T ` z ) e. RR )
60	42, 59	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ` z ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 9527	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S + ( T ` z ) ) e. RR )
62	55, 61	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. RR )
63	62	recnd 9526	. . . . 5 |- ( ph -> L e. CC )
64		0red 9501	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
65	56	rpgt0d 11144	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < S )
66	58	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( T ` z ) )
67	42, 66	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T ` z ) )
68	57, 60	addge01d 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T ` z ) <-> S <_ ( S + ( T ` z ) ) ) )
69	67, 68	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ ( S + ( T ` z ) ) )
70	69, 55	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ L )
71	64, 57, 62, 65, 70	ltletrd 9645	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < L )
72	71	gt0ne0d 10018	. . . . 5 |- ( ph -> L =/= 0 )
73	35, 47, 63, 72	divdird 10259	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
74		cnfldbas 17950	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
75		cnfldadd 17951	. . . . . . 7 |- + = ( +g ` ℂfld )
76		rngcmn 16801	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
77	2, 76	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
78	7	sselda 3467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. A )
79	16	ffvelrnda 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
80	78, 79	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
81	37, 80	sseldi 3465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. CC )
82	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D C_ RR )
83	23	ffvelrnda 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X ` x ) e. D )
84	78, 83	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. D )
85	82, 84	sseldd 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. RR )
86	85	recnd 9526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. CC )
87	81, 86	mulcld 9520	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) e. CC )
88		fveq2 5802	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( T ` x ) = ( T ` z ) )
89		fveq2 5802	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( X ` x ) = ( X ` z ) )
90	88, 89	oveq12d 6221	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) = ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) )
91	74, 75, 77, 9, 87, 41, 52, 47, 90	gsumunsn 16578	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
92	16	feqmptd 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T = ( x e. A |-> ( T ` x ) ) )
93	23	feqmptd 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = ( x e. A |-> ( X ` x ) ) )
94	5, 79, 83, 92, 93	offval2 6449	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. X ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
95	94	reseq1d 5220	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
96		resmpt 5267	. . . . . . . . 9 |- ( ( B u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
97	6, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
98	95, 97	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
99	98	oveq2d 6219	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
100	94	reseq1d 5220	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) )
101		resmpt 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
102	7, 101	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
104	103	oveq2d 6219	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
105	104	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
106	91, 99, 105	3eqtr4d 2505	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
107	106	oveq1d 6218	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) )
108	57	recnd 9526	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
109	56	rpne0d 11146	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= 0 )
110	35, 108, 63, 109, 72	dmdcand 10250	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) )
111	63, 108, 63, 72	divsubdird 10260	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( L / L ) - ( S / L ) ) )
112	55	oveq1d 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L - S ) = ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) )
113	108, 43	pncan2d 9835	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) = ( T ` z ) )
114	112, 113	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L - S ) = ( T ` z ) )
115	114	oveq1d 6218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( T ` z ) / L ) )
116	63, 72	dividd 10219	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L / L ) = 1 )
117	116	oveq1d 6218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L / L ) - ( S / L ) ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
118	111, 115, 117	3eqtr3rd 2504	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) = ( ( T ` z ) / L ) )
119	118	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
120	43, 46, 63, 72	div23d 10258	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
121	119, 120	eqtr4d 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) )
122	110, 121	oveq12d 6221	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
123	73, 107, 122	3eqtr4d 2505	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
124		jensenlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
125	57, 62, 72	redivcld 10273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) e. RR )
126	56	rpge0d 11145	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
127		divge0 10312	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> 0 <_ ( S / L ) )
128	57, 126, 62, 71, 127	syl22anc 1220	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( S / L ) )
129	63	mulid1d 9517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L x. 1 ) = L )
130	70, 129	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( L x. 1 ) )
131		1red 9515	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
132		ledivmul 10319	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 1 e. RR /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
133	57, 131, 62, 71, 132	syl112anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
134	130, 133	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) <_ 1 )
135		1re 9499	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
136	17, 135	elicc2i 11475	. . . . . 6 |- ( ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( S / L ) e. RR /\ 0 <_ ( S / L ) /\ ( S / L ) <_ 1 ) )
137	125, 128, 134, 136	syl3anbrc 1172	. . . . 5 |- ( ph -> ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) )
138	124, 44, 137	3jca 1168	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
139	24, 49	cvxcl 22514	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
140	138, 139	mpdan 668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
141	123, 140	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D )
142	48, 140	ffvelrnd 5956	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
143	48, 124	ffvelrnd 5956	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
144	125, 143	remulcld 9528	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) e. RR )
145	48, 44	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. RR )
146	60, 145	remulcld 9528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
147	146, 62, 72	redivcld 10273	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) e. RR )
148	144, 147	readdcld 9527	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) e. RR )
149		fco 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
150	48, 23, 149	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) : A --> RR )
151	15, 22, 150, 5, 5, 27	off 6447	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR )
152		fssres 5689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR /\ B C_ A ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) : B --> RR )
153	151, 7, 152	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) : B --> RR )
154	153, 9, 32	fdmfifsupp 7744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) finSupp 0 )
155	1, 4, 9, 13, 153, 154	gsumsubgcl 16530	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. RR )
156	155, 57, 109	redivcld 10273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR )
157	125, 156	remulcld 9528	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
158		resubcl 9787	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( S / L ) e. RR ) -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
159	135, 125, 158	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
160	159, 145	remulcld 9528	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
161	157, 160	readdcld 9527	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
162		oveq2 6211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. x ) = ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
163	162	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
164	163	fveq2d 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) )
165		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
166	165	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. ( F ` x ) ) = ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
167	166	oveq1d 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
168	164, 167	breq12d 4416	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
169	168	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) ) )
170		oveq2 6211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) )
171	170	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) )
172	171	fveq2d 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
173		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
174	173	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
175	174	oveq2d 6219	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
176	172, 175	breq12d 4416	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
177	176	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
178		oveq1 6210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
179		oveq2 6211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( S / L ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
180	179	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) )
181	178, 180	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
182	181	fveq2d 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
183		oveq1 6210	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) = ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
184	179	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
185	183, 184	oveq12d 6221	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
186	182, 185	breq12d 4416	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <-> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
187	186	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
188	51	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
189	169, 177, 187, 188	vtocl3ga 3146	. . . . . . 7 |- ( ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
190	124, 44, 137, 189	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
191	190	pm2.43i 47	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
192	118	oveq1d 6218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
193	145	recnd 9526	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. CC )
194	43, 193, 63, 72	div23d 10258	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
195	192, 194	eqtr4d 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) )
196	195	oveq2d 6219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
197	191, 196	breqtrd 4427	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
198	194, 192	eqtr4d 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
199	198	oveq2d 6219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
200		jensenlem.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )
201	57, 62, 65, 71	divgt0d 10382	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( S / L ) )
202		lemul2 10296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR /\ ( ( S / L ) e. RR /\ 0 < ( S / L ) ) ) -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
203	143, 156, 125, 201, 202	syl112anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
204	200, 203	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) )
205	144, 157, 160, 204	leadd1dd 10067	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
206	199, 205	eqbrtrd 4423	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
207	142, 148, 161, 197, 206	letrd 9642	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
208	123	fveq2d 5806	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
209	155	recnd 9526	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. CC )
210	146	recnd 9526	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. CC )
211	209, 210, 63, 72	divdird 10259	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
212	20, 79	sseldi 3465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. RR )
213	48	ffvelrnda 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X ` x ) e. D ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
214	83, 213	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
215	212, 214	remulcld 9528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. RR )
216	215	recnd 9526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
217	78, 216	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
218	89	fveq2d 5806	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( F ` ( X ` x ) ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
219	88, 218	oveq12d 6221	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) = ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
220	74, 75, 77, 9, 217, 41, 52, 210, 219	gsumunsn 16578	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
221	48	feqmptd 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( y e. D |-> ( F ` y ) ) )
222		fveq2 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` x ) ) )
223	83, 93, 221, 222	fmptco 5988	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X ` x ) ) ) )
224	5, 79, 214, 92, 223	offval2 6449	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
225	224	reseq1d 5220	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
226		resmpt 5267	. . . . . . . . 9 |- ( ( B u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
227	6, 226	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
228	225, 227	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
229	228	oveq2d 6219	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
230	224	reseq1d 5220	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) )
231		resmpt 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
232	7, 231	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
233	230, 232	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
234	233	oveq2d 6219	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
235	234	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
236	220, 229, 235	3eqtr4d 2505	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
237	236	oveq1d 6218	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) )
238	209, 108, 63, 109, 72	dmdcand 10250	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) )
239	238, 195	oveq12d 6221	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
240	211, 237, 239	3eqtr4d 2505	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
241	207, 208, 240	3brtr4d 4433	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) )
242	141, 241	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   u. cun 3437   C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   |` cres 4953   o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   oFcof 6431   Fincfn 7423   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   + caddc 9399   x. cmul 9401   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531   < clt 9532   <_ cle 9533   - cmin 9709   / cdiv 10107   RR+crp 11105   [,)cico 11416   [,]cicc 11417   gsum_g cgsu 14501  SubGrpcsubg 15797  CMndccmn 16401   Abelcabel 16402   Ringcrg 16771   DivRingcdr 16958  SubRingcsubrg 16987  ℂ_fldccnfld 17946  RRfldcrefld 18162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-drng 16960  df-subrg 16989  df-cnfld 17947  df-refld 18163

This theorem is referenced by:  jensen  22518