MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem jensenlem1 23991
Description: Lemma for jensen 23993. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19051 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 19052 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 cnring 19067 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 ringcmn 17889 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
6 jensen.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 jensenlem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
87unssad 3602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9 ssfi 7810 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
11 rge0ssre 11766 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
12 ax-resscn 9614 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1311, 12sstri 3427 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
148sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
15 jensen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
1615ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1714, 16syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1813, 17sseldi 3416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
197unssbd 3603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
20 vex 3034 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
2120snss 4087 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
2219, 21sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
23 jensenlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
2415, 22ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2513, 24sseldi 3416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
26 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
271, 2, 5, 10, 18, 22, 23, 25, 26gsumunsn 17670 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `
 x ) ) )  +  ( T `
 z ) ) )
2815, 7feqresmpt 5933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )
2928oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) ) )
3015, 8feqresmpt 5933 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( T `  x ) ) )
3130oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) ) )
3231oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) )  +  ( T `  z
) ) )
3327, 29, 323eqtr4d 2515 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) ) )
34 jensenlem.l . 2  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
35 jensenlem.s . . 3  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
3635oveq1i 6318 . 2  |-  ( S  +  ( T `  z ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )
3733, 34, 363eqtr4g 2530 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   [,)cico 11662   [,]cicc 11663    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508   Ringcrg 17858  ℂfldccnfld 19047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-cnfld 19048
This theorem is referenced by:  jensenlem2  23992
  Copyright terms: Public domain W3C validator