Theorem jensen 23914

Description: Jensen's inequality, a finite extension of the definition of convexity (the last hypothesis). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
jensen	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y

Proof of Theorem jensen

Dummy variables c k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jensen.7	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
2		jensen.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3		ffn 5728	. . . . . . . . 9 |- ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T Fn A )
5		fnresdm 5685	. . . . . . . 8 |- ( T Fn A -> ( T |` A ) = T )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T |` A ) = T )
7	6	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) = (ℂfld gsumg T ) )
8	1, 7	breqtrrd 4429	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
9		ssid 3451	. . . . 5 |- A C_ A
10	8, 9	jctil 540	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
11		jensen.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
12		sseq1 3453	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
13		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = ( T |` (/) ) )
14		res0 5109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T |` (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = (/) )
16	15	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
17		cnfld0 18992	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
18	17	gsum0 16521	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
19	16, 18	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = 0 )
20	19	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < 0 ) )
21	12, 20	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) ) )
22		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` (/) ) )
23	22	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) )
24	23, 19	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) )
25		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) )
26	25	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) )
27	26, 19	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) )
28	27	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) ) )
29	28	rabbidv 3036	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
30	24, 29	eleq12d 2523	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
31	21, 30	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) )
32	31	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) ) )
33		sseq1 3453	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a C_ A <-> k C_ A ) )
34		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( T |` a ) = ( T |` k ) )
35	34	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
36	35	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
37	33, 36	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
38		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` k ) )
39	38	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) )
40	39, 35	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
41		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = k -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) )
42	41	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) )
43	42, 35	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
44	43	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
45	44	rabbidv 3036	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
46	40, 45	eleq12d 2523	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) )
47	37, 46	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
48	47	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( a = k -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) ) )
49		sseq1 3453	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( a C_ A <-> ( k u. { c } ) C_ A ) )
50		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( T |` a ) = ( T |` ( k u. { c } ) ) )
51	50	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
52	51	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
53	49, 52	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
54		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) )
55	54	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
56	55, 51	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
57		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) )
58	57	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
59	58, 51	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
60	59	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
61	60	rabbidv 3036	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
62	56, 61	eleq12d 2523	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
63	53, 62	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) )
64	63	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
65		sseq1 3453	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
66		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( T |` a ) = ( T |` A ) )
67	66	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
68	67	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
69	65, 68	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
70		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` A ) )
71	70	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) )
72	71, 67	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
73		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) )
74	73	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) )
75	74, 67	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
76	75	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
77	76	rabbidv 3036	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } )
78	72, 77	eleq12d 2523	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) )
79	69, 78	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) )
80	79	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) ) )
81		0re 9643	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
82	81	ltnri 9743	. . . . . . . . 9 |- -. 0 < 0
83	82	pm2.21i 135	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 0 -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
84	83	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
86		impexp 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) <-> ( k C_ A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
87		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
88	87	unssad 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k C_ A )
89		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
90		jensen.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D C_ RR )
91	90	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> D C_ RR )
92		jensen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : D --> RR )
93	92	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> F : D --> RR )
94		simplll 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ph )
95		jensen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
96	94, 95	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
97	94, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> A e. Fin )
98	94, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
99		jensen.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X : A --> D )
100	94, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> X : A --> D )
101	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
102		jensen.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
103	94, 102	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
104		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> -. c e. k )
105	87	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
106		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) )
107		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) )
108		cnring 18990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ℂfld e. Ring
109		ringcmn 17811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
110	108, 109	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ℂfld e. CMnd )
111	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> A e. Fin )
112		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ k C_ A ) -> k e. Fin )
113	111, 88, 112	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k e. Fin )
114		rege0subm 19024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld ) )
116	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
117	116, 88	fssresd 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) : k --> ( 0 [,) +oo ) )
118		c0ex 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. _V
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> 0 e. _V )
120	117, 113, 119	fdmfifsupp 7893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) finSupp 0 )
121	17, 110, 113, 115, 117, 120	gsumsubmcl 17552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122		elrege0 11738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR /\ 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
123	122	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
124	121, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
125	124	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
126		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
127	125, 126	elrpd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR+ )
128		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
129		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
130	129	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
131	130	elrab 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
132	128, 131	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
133	132	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D )
134	132	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
135	91, 93, 96, 97, 98, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 127, 133, 134	jensenlem2 23913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
136		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
137	136	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
138	137	elrab 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
139	135, 138	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
140	139	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
141	89, 140	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
142		cnfldbas 18974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC = ( Base ` ℂfld )
143		ringmnd 17789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
144	108, 143	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ℂfld e. Mnd )
145		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
146	111, 87, 145	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
147	146	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
148		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { c } C_ ( k u. { c } )
149		ssnid 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- c e. { c }
150	148, 149	sselii 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- c e. ( k u. { c } )
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. ( k u. { c } ) )
152		remulcl 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
153	152	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
154		rge0ssre 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
155		fss 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
156	2, 154, 155	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> T : A --> RR )
157	99, 90	fssd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> X : A --> RR )
158		inidm 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A i^i A ) = A
159	153, 156, 157, 11, 11, 158	off 6546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
160		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- RR C_ CC
161		fss 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( T oF x. X ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
162	159, 160, 161	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
163	162	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
164	87	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
165	163, 164	fssresd 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
166	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
167	111	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A e. Fin )
168		fex 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ A e. Fin ) -> T e. _V )
169	166, 167, 168	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T e. _V )
170	99	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> D )
171		fex 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X : A --> D /\ A e. Fin ) -> X e. _V )
172	170, 167, 171	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X e. _V )
173		offres 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T e. _V /\ X e. _V ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
174	169, 172, 173	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
175	174	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) = ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) )
176	154, 160	sstri 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
177		fss 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> T : A --> CC )
178	166, 176, 177	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> CC )
179	178, 164	fssresd 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
180		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. ( k u. { c } ) )
181	180	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> x e. ( k u. { c } ) )
182		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
184		difun2 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) = ( k \ { c } )
185		difss 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k \ { c } ) C_ k
186	184, 185	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) C_ k
187	186	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. k )
188		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
189	88	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k C_ A )
190	166, 189	feqresmpt 5919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` k ) = ( x e. k |-> ( T ` x ) ) )
191	190	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) )
192	113	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k e. Fin )
193	189	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> x e. A )
194	166	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
195	193, 194	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
196	176, 195	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. CC )
197	192, 196	gsumfsum 19034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) = sum_ x e. k ( T ` x ) )
198	188, 191, 197	3eqtrrd 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 )
199		elrege0 11738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
200	195, 199	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
201	200	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. RR )
202	200	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> 0 <_ ( T ` x ) )
203	192, 201, 202	fsum00 13858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 <-> A. x e. k ( T ` x ) = 0 ) )
204	198, 203	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A. x e. k ( T ` x ) = 0 )
205	204	r19.21bi 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) = 0 )
206	187, 205	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( T ` x ) = 0 )
207	183, 206	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = 0 )
208	179, 207	suppss 6945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
209		mul02 9811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. CC -> ( 0 x. x ) = 0 )
210	209	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
211	90	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ RR )
212	211, 160	syl6ss 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ CC )
213	170, 212	fssd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> CC )
214	213, 164	fssresd 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
215	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 e. _V )
216	208, 210, 179, 214, 147, 215	suppssof1 6948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) C_ { c } )
217	175, 216	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
218	142, 17, 144, 147, 151, 165, 217	gsumpt 17594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
219		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
220	151, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
221	166, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T Fn A )
222		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X : A --> D -> X Fn A )
223	170, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X Fn A )
224	164, 151	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. A )
225		fnfvof 6545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T Fn A /\ X Fn A ) /\ ( A e. Fin /\ c e. A ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
226	221, 223, 167, 224, 225	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
227	218, 220, 226	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
228	142, 17, 144, 147, 151, 179, 208	gsumpt 17594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
229		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
230	151, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
231	228, 230	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( T ` c ) )
232	227, 231	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) / ( T ` c ) ) )
233	213, 224	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X ` c ) e. CC )
234	178, 224	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T ` c ) e. CC )
235		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
236	235, 231	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < ( T ` c ) )
237	236	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T ` c ) =/= 0 )
238	233, 234, 237	divcan3d 10388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) / ( T ` c ) ) = ( X ` c ) )
239	232, 238	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( X ` c ) )
240	170, 224	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\