Theorem jensen 22387

Description: Jensen's inequality, a finite extension of the definition of convexity (the last hypothesis). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
jensen	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( T oF x. X ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( T oF x. ( F o. X ) ) ) / (ℂfld gsumg T ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y

Proof of Theorem jensen

Dummy variables c k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jensen.7	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
2		jensen.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
3		ffn 5564	. . . . . . . . 9 |- ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn A )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T Fn A )
5		fnresdm 5525	. . . . . . . 8 |- ( T Fn A -> ( T |` A ) = T )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T |` A ) = T )
7	6	oveq2d 6112	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) = (ℂfld gsumg T ) )
8	1, 7	breqtrrd 4323	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
9		ssid 3380	. . . . 5 |- A C_ A
10	8, 9	jctil 537	. . . 4 |- ( ph -> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
11		jensen.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
12		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
13		reseq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = ( T |` (/) ) )
14		res0 5120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T |` (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( T |` a ) = (/) )
16	15	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
17		cnfld0 17845	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
18	17	gsum0 15515	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
19	16, 18	syl6eq 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = 0 )
20	19	breq2d 4309	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < 0 ) )
21	12, 20	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) ) )
22		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` (/) ) )
23	22	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) )
24	23, 19	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) )
25		reseq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) )
26	25	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) )
27	26, 19	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) )
28	27	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) ) )
29	28	rabbidv 2969	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
30	24, 29	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
31	21, 30	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) )
32	31	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) ) ) )
33		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( a C_ A <-> k C_ A ) )
34		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( T |` a ) = ( T |` k ) )
35	34	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
36	35	breq2d 4309	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
37	33, 36	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
38		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` k ) )
39	38	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) )
40	39, 35	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
41		reseq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = k -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) )
42	41	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = k -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) )
43	42, 35	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
44	43	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
45	44	rabbidv 2969	. . . . . . . . 9 |- ( a = k -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
46	40, 45	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( a = k -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) )
47	37, 46	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( a = k -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) ) )
49		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( a C_ A <-> ( k u. { c } ) C_ A ) )
50		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( T |` a ) = ( T |` ( k u. { c } ) ) )
51	50	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
52	51	breq2d 4309	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
53	49, 52	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
54		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) )
55	54	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
56	55, 51	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
57		reseq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) )
58	57	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( k u. { c } ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) )
59	58, 51	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) )
60	59	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
61	60	rabbidv 2969	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( k u. { c } ) -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
62	56, 61	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
63	53, 62	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) )
64	63	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( a = ( k u. { c } ) -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) ) ) )
65		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
66		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( T |` a ) = ( T |` A ) )
67	66	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) )
68	67	breq2d 4309	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) <-> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
69	65, 68	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
70		reseq2 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( T oF x. X ) |` a ) = ( ( T oF x. X ) |` A ) )
71	70	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) )
72	71, 67	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
73		reseq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) = ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) )
74	73	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) = (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) )
75	74, 67	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) )
76	75	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) <-> ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) ) )
77	76	rabbidv 2969	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } = { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } )
78	72, 77	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } <-> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) )
79	69, 78	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) <-> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) )
80	79	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( a C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` a ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` a ) ) ) } ) ) <-> ( ph -> ( ( A C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` A ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` A ) ) ) } ) ) ) )
81		0re 9391	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
82	81	ltnri 9488	. . . . . . . . 9 |- -. 0 < 0
83	82	pm2.21i 131	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 0 -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
84	83	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } )
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (/) C_ A /\ 0 < 0 ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` (/) ) ) / 0 ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` (/) ) ) / 0 ) } ) )
86		impexp 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) <-> ( k C_ A -> ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) )
87		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
88	87	unssad 3538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k C_ A )
89		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
90		jensen.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D C_ RR )
91	90	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> D C_ RR )
92		jensen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : D --> RR )
93	92	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> F : D --> RR )
94		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ph )
95		jensen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
96	94, 95	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
97	94, 11	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> A e. Fin )
98	94, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
99		jensen.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X : A --> D )
100	94, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> X : A --> D )
101	1	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
102		jensen.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
103	94, 102	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
104		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> -. c e. k )
105	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
106		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` k ) )
107		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) )
108		cnrng 17843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ℂfld e. Ring
109		rngcmn 16680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ℂfld e. CMnd )
111	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> A e. Fin )
112		ssfi 7538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ k C_ A ) -> k e. Fin )
113	111, 88, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> k e. Fin )
114		rege0subm 17874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld ) )
116	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
117		fssres 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ k C_ A ) -> ( T |` k ) : k --> ( 0 [,) +oo ) )
118	116, 88, 117	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) : k --> ( 0 [,) +oo ) )
119		c0ex 9385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> 0 e. _V )
121	118, 113, 120	fdmfifsupp 7635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( T |` k ) finSupp 0 )
122	17, 110, 113, 115, 118, 121	gsumsubmcl 16409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
123		elrege0 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR /\ 0 <_ (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
124	123	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
125	122, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
126	125	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR )
127		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
128	126, 127	elrpd 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) e. RR+ )
129		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } )
130		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
131	130	breq1d 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
132	131	elrab 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
133	129, 132	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) )
134	133	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. D )
135	133	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) )
136	91, 93, 96, 97, 98, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 128, 134, 135	jensenlem2 22386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
137		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
138	137	breq1d 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) -> ( ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) <-> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
139	138	elrab 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } <-> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) )
140	136, 139	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } )
141	140	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
142	89, 141	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( 0 < (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` k ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) } ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) e. { w e. D | ( F ` w ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) } ) )
143		cnfldbas 17827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC = ( Base ` ℂfld )
144		rngmnd 16659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
145	108, 144	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ℂfld e. Mnd )
146		ssfi 7538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. Fin /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
147	111, 87, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
148	147	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) e. Fin )
149		ssun2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { c } C_ ( k u. { c } )
150		ssnid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- c e. { c }
151	149, 150	sselii 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- c e. ( k u. { c } )
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. ( k u. { c } ) )
153		remulcl 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
154	153	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
155		elrege0 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
156	155	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
157	156	ssriv 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
158		fss 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
159	2, 157, 158	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> T : A --> RR )
160		fss 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( X : A --> D /\ D C_ RR ) -> X : A --> RR )
161	99, 90, 160	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> X : A --> RR )
162		inidm 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A i^i A ) = A
163	154, 159, 161, 11, 11, 162	off 6339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
164		ax-resscn 9344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- RR C_ CC
165		fss 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( T oF x. X ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
166	163, 164, 165	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
167	166	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T oF x. X ) : A --> CC )
168	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( k u. { c } ) C_ A )
169		fssres 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T oF x. X ) : A --> CC /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
170	167, 168, 169	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
171	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
172	111	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A e. Fin )
173		fex 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ A e. Fin ) -> T e. _V )
174	171, 172, 173	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T e. _V )
175	99	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> D )
176		fex 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X : A --> D /\ A e. Fin ) -> X e. _V )
177	175, 172, 176	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X e. _V )
178		offres 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T e. _V /\ X e. _V ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
179	174, 177, 178	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) )
180	179	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) = ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) )
181	157, 164	sstri 3370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
182		fss 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> T : A --> CC )
183	171, 181, 182	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T : A --> CC )
184		fssres 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( T : A --> CC /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( T |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
185	183, 168, 184	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
186		eldifi 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. ( k u. { c } ) )
187	186	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> x e. ( k u. { c } ) )
188		fvres 5709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
189	187, 188	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
190		difun2 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) = ( k \ { c } )
191		difss 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k \ { c } ) C_ k
192	190, 191	eqsstri 3391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k u. { c } ) \ { c } ) C_ k
193	192	sseli 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) -> x e. k )
194		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) )
195	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k C_ A )
196	171, 195	feqresmpt 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T |` k ) = ( x e. k |-> ( T ` x ) ) )
197	196	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) )
198	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> k e. Fin )
199	195	sselda 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> x e. A )
200	171	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
201	199, 200	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
202	181, 201	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. CC )
203	198, 202	gsumfsum 17884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( x e. k |-> ( T ` x ) ) ) = sum_ x e. k ( T ` x ) )
204	194, 197, 203	3eqtrrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 )
205		elrege0 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
206	201, 205	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( ( T ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` x ) ) )
207	206	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) e. RR )
208	206	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> 0 <_ ( T ` x ) )
209	198, 207, 208	fsum00 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( sum_ x e. k ( T ` x ) = 0 <-> A. x e. k ( T ` x ) = 0 ) )
210	204, 209	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> A. x e. k ( T ` x ) = 0 )
211	210	r19.21bi 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. k ) -> ( T ` x ) = 0 )
212	193, 211	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( T ` x ) = 0 )
213	189, 212	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. ( ( k u. { c } ) \ { c } ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` x ) = 0 )
214	185, 213	suppss 6724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
215		mul02 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. CC -> ( 0 x. x ) = 0 )
216	215	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
217	90	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ RR )
218	217, 164	syl6ss 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> D C_ CC )
219		fss 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X : A --> D /\ D C_ CC ) -> X : A --> CC )
220	175, 218, 219	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X : A --> CC )
221		fssres 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( X : A --> CC /\ ( k u. { c } ) C_ A ) -> ( X |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
222	220, 168, 221	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X |` ( k u. { c } ) ) : ( k u. { c } ) --> CC )
223	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 e. _V )
224	214, 216, 185, 222, 148, 223	suppssof1 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T |` ( k u. { c } ) ) oF x. ( X |` ( k u. { c } ) ) ) supp 0 ) C_ { c } )
225	180, 224	eqsstrd 3395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) supp 0 ) C_ { c } )
226	143, 17, 145, 148, 152, 170, 225	gsumpt 16459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
227		fvres 5709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
228	152, 227	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( ( T oF x. X ) ` c ) )
229	171, 3	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> T Fn A )
230		ffn 5564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X : A --> D -> X Fn A )
231	175, 230	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> X Fn A )
232	168, 152	sseldd 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> c e. A )
233		fnfvof 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T Fn A /\ X Fn A ) /\ ( A e. Fin /\ c e. A ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
234	229, 231, 172, 232, 233	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T oF x. X ) ` c ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
235	226, 228, 234	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) )
236	143, 17, 145, 148, 152, 185, 214	gsumpt 16459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) )
237		fvres 5709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. ( k u. { c } ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
238	152, 237	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( ( T |` ( k u. { c } ) ) ` c ) = ( T ` c ) )
239	236, 238	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) = ( T ` c ) )
240	235, 239	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( k u. { c } ) ) ) / (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) = ( ( ( T ` c ) x. ( X ` c ) ) / ( T ` c ) ) )
241	220, 232	ffvelrnd 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( X ` c ) e. CC )
242	183, 232	ffvelrnd 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> ( T ` c ) e. CC )
243		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T |` k ) ) ) -> 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) )
244	243, 239	breqtrd 4321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. k ) /\ ( ( k u. { c } ) C_ A /\ 0 < (ℂfld gsumg ( T |` ( k u. { c } ) ) ) ) ) /\ 0 = (ℂfld gsumg ( T