MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Unicode version

Theorem ixxssxr 11317
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
Assertion
Ref Expression
ixxssxr  |-  ( A O B )  C_  RR*
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 6099 . . 3  |-  ( A O B )  =  ( O `  <. A ,  B >. )
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxf 11315 . . . 4  |-  O :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR*
4 0elpw 4466 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P RR*
53, 4f0cli 5859 . . 3  |-  ( O `
 <. A ,  B >. )  e.  ~P RR*
61, 5eqeltri 2513 . 2  |-  ( A O B )  e. 
~P RR*
7 ovex 6121 . . 3  |-  ( A O B )  e. 
_V
87elpw 3871 . 2  |-  ( ( A O B )  e.  ~P RR*  <->  ( A O B )  C_  RR* )
96, 8mpbi 208 1  |-  ( A O B )  C_  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   <.cop 3888   class class class wbr 4297    X. cxp 4843   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   RR*cxr 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-xr 9427
This theorem is referenced by:  iccssxr  11383  iocssxr  11384  icossxr  11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator