MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ixxssxr 11654
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
Assertion
Ref Expression
ixxssxr  |-  ( A O B )  C_  RR*
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 6298 . . 3  |-  ( A O B )  =  ( O `  <. A ,  B >. )
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxf 11652 . . . 4  |-  O :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR*
4 0elpw 4575 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P RR*
53, 4f0cli 6038 . . 3  |-  ( O `
 <. A ,  B >. )  e.  ~P RR*
61, 5eqeltri 2527 . 2  |-  ( A O B )  e. 
~P RR*
7 ovex 6323 . . 3  |-  ( A O B )  e. 
_V
87elpw 3959 . 2  |-  ( ( A O B )  e.  ~P RR*  <->  ( A O B )  C_  RR* )
96, 8mpbi 212 1  |-  ( A O B )  C_  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {crab 2743    C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   <.cop 3976   class class class wbr 4405    X. cxp 4835   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   RR*cxr 9679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-xr 9684
This theorem is referenced by:  iccssxr  11724  iocssxr  11725  icossxr  11726  ioossioobi  37628
  Copyright terms: Public domain W3C validator