MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Unicode version

Theorem ixxssxr 11566
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
Assertion
Ref Expression
ixxssxr  |-  ( A O B )  C_  RR*
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 6299 . . 3  |-  ( A O B )  =  ( O `  <. A ,  B >. )
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxf 11564 . . . 4  |-  O :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR*
4 0elpw 4625 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P RR*
53, 4f0cli 6043 . . 3  |-  ( O `
 <. A ,  B >. )  e.  ~P RR*
61, 5eqeltri 2541 . 2  |-  ( A O B )  e. 
~P RR*
7 ovex 6324 . . 3  |-  ( A O B )  e. 
_V
87elpw 4021 . 2  |-  ( ( A O B )  e.  ~P RR*  <->  ( A O B )  C_  RR* )
96, 8mpbi 208 1  |-  ( A O B )  C_  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   RR*cxr 9644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-xr 9649
This theorem is referenced by:  iccssxr  11632  iocssxr  11633  icossxr  11634  ioossioobi  31760
  Copyright terms: Public domain W3C validator