MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxin Structured version   Unicode version

Theorem ixxin 11404
Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
ixxin.2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
ixxin.3  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
Assertion
Ref Expression
ixxin  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, C, y, z    x, D, y, z    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxin
StepHypRef Expression
1 inrab 3706 . . 3  |-  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  { z  e. 
RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) }
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxval 11395 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A O B )  =  { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) } )
42ixxval 11395 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( C O D )  =  { z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )
53, 4ineqan12d 3638 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  {
z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } ) )
6 ixxin.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
763expa 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
87adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
9 ixxin.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1093expb 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* ) )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1110ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1211adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
138, 12anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) ) )
14 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) ) )
1615rabbidva 3045 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
1716an4s 822 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
181, 5, 173eqtr4a 2516 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  {
z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
19 ifcl 3915 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
2019ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
21 ifcl 3915 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )
222ixxval 11395 . . . 4  |-  ( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR*  /\  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2320, 21, 22syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2423an4s 822 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2518, 24eqtr4d 2493 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   {crab 2796    i^i cin 3411   ifcif 3875   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178   RR*cxr 9504    <_ cle 9506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-xr 9509
This theorem is referenced by:  iooin  11421  itgspliticc  21416  cvmliftlem10  27303
  Copyright terms: Public domain W3C validator