MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpssmapg Structured version   Unicode version

Theorem ixpssmapg 7501
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpssmapg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3775 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  -.  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
2 ixpprc 7492 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
31, 2nsyl2 127 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A  e.  _V )
4 id 22 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
5 iunexg 6761 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 ixpssmap2g 7500 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
) )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  X_ x  e.  A  B )
108, 9sseldd 3490 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
1110ex 434 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A ) ) )
1211ssrdv 3495 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U_ciun 4315  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   X_cixp 7471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-ixp 7472
This theorem is referenced by:  ixpssmap  7505  gruixp  9190
  Copyright terms: Public domain W3C validator