MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpssmapg Structured version   Unicode version

Theorem ixpssmapg 7393
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpssmapg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpssmapg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3740 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  -.  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
2 ixpprc 7384 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
31, 2nsyl2 127 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A  e.  _V )
4 id 22 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
5 iunexg 6653 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 ixpssmap2g 7392 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
) )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  X_ x  e.  A  B )
108, 9sseldd 3455 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  V  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
f  e.  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
1110ex 434 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  f  e.  (
U_ x  e.  A  B  ^m  A ) ) )
1211ssrdv 3460 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   (/)c0 3735   U_ciun 4269  (class class class)co 6190    ^m cmap 7314   X_cixp 7363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-ixp 7364
This theorem is referenced by:  ixpssmap  7397  gruixp  9077
  Copyright terms: Public domain W3C validator