Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpsnbasval Structured version   Unicode version

Theorem ixpsnbasval 17726
 Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
ixpsnbasval ringLMod
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ixpsnbasval
StepHypRef Expression
1 ixpsnval 7484 . . 3 ringLMod ringLMod
21adantl 466 . 2 ringLMod ringLMod
3 csbfv2g 5909 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod
4 csbfv2g 5909 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod
5 csbvarg 3853 . . . . . . . . . . . 12
65fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod
74, 6eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
87fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod
93, 8eqtrd 2508 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod
109adantl 466 . . . . . . 7 ringLMod ringLMod
11 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 ringLMod
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ringLMod
1312anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod
1413ancomd 451 . . . . . . . . . . 11 ringLMod
15 xpsng 6073 . . . . . . . . . . 11 ringLMod ringLMod ringLMod
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
1716fveq1d 5874 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod
18 fvsng 6106 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod ringLMod
1914, 18syl 16 . . . . . . . . 9 ringLMod ringLMod
2017, 19eqtrd 2508 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod
2120fveq2d 5876 . . . . . . 7 ringLMod ringLMod
2210, 21eqtrd 2508 . . . . . 6 ringLMod ringLMod
23 rlmbas 17712 . . . . . 6 ringLMod
2422, 23syl6eqr 2526 . . . . 5 ringLMod
2524eleq2d 2537 . . . 4 ringLMod
2625anbi2d 703 . . 3 ringLMod
2726abbidv 2603 . 2 ringLMod
282, 27eqtrd 2508 1 ringLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  cvv 3118  csb 3440  csn 4033  cop 4039   cxp 5003   wfn 5589  cfv 5594  cixp 7481  cbs 14507  ringLModcrglmod 17686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-sra 17689  df-rgmod 17690 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator