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Theorem ixpiunwdom 8051
Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7537 this shows that  U_ x  e.  A B and  X_ x  e.  A B have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables  f 
g  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
21elixp 7514 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
32simprbi 462 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
4 ssiun2 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
54sseld 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B )
)
65ralimia 2795 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  U_ x  e.  A  B
)
73, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B )
8 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B
9 nfiu1 4301 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  B
109nfel2 2582 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B
11 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1211eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B  <->  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B
) )
138, 10, 12cbvral 3030 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
147, 13sylib 196 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
1514adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B
)
1615ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  X_  x  e.  A  B A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
17 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )
1817fmpt2 6851 . . . 4  |-  ( A. f  e.  X_  x  e.  A  B A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B )
1916, 18sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) --> U_ x  e.  A  B )
20 ixpssmap2g 7536 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  W  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
21203ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
22 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e.  _V
2322ssex 4538 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
)  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
2421, 23syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
25 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A  e.  V )
26 xpexg 6584 . . . 4  |-  ( (
X_ x  e.  A  B  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  e.  _V )
2724, 25, 26syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  e.  _V )
28 simp2 998 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  W
)
29 fex2 6739 . . 3  |-  ( ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  /\  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
)  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e.  _V )
3019, 27, 28, 29syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e. 
_V )
31 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) )
3219, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
33 dffn4 5784 . . . 4  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) )
3432, 33sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) )
35 n0 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  A  B )
36 eliun 4276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
37 nfixp1 7527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x X_ x  e.  A  B
3837nfel2 2582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  g  e.  X_ x  e.  A  B
39 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. y  e.  A  z  =  ( f `  y )
4037, 39nfrex 2867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y )
41 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  z  e.  B )
42 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  =  z )
43 csbeq1a 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
4443equcoms 1819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
4544eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  x  ->  [_ k  /  x ]_ B  =  B )
4642, 45eleq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  ( if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B  <->  z  e.  B ) )
4741, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
48 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  g  e. 
_V
4948elixp 7514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
5049simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B )
5150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
)
52 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( g `  x
)  e.  B
53 nfcsb1v 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ B
5453nfel2 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( g `  k
)  e.  [_ k  /  x ]_ B
55 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  k  ->  (
g `  x )  =  ( g `  k ) )
5655, 43eleq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  (
( g `  x
)  e.  B  <->  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
5752, 54, 56cbvral 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  [_ k  /  x ]_ B )
5851, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
)
5958r19.21bi 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
60 iffalse 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  =  ( g `
 k ) )
6160eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  =  x  -> 
( if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e. 
[_ k  /  x ]_ B  <->  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
6347, 62pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
6463ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
65 ixpfn 7513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  g  Fn  A
)
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  g  Fn  A )
67 fndm 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  Fn  A  ->  dom  g  =  A )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  dom  g  =  A )
6948dmex 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  g  e.  _V
7068, 69syl6eqelr 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A  e.  _V )
71 mptelixpg 7544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B 
<-> 
A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B 
<-> 
A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
7364, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B )
74 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k B
7574, 53, 43cbvixp 7524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ x  e.  A  B  =  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B
7673, 75syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  e.  X_ x  e.  A  B
)
77 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  A )
78 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) )
79 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
8042, 78, 79fvmpt 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x )  =  z )
8180ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x )  =  z )
8281eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) ) `  x ) )
83 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y ) )
8483eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  ->  ( z  =  ( f `  y
)  <->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y ) ) )
85 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) )
8685eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) ) `  y
)  <->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) ) )
8784, 86rspc2ev 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ x  e.  A  B  /\  x  e.  A  /\  z  =  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) )
8876, 77, 82, 87syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) )
8988exp32 603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) ) )
9038, 40, 89rexlimd 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9136, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9291exlimiv 1743 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9335, 92sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
94933ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9594alrimiv 1740 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. z
( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
96 ssab 3509 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
{ z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y
) }  <->  A. z
( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  { z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) } )
9817rnmpt2 6393 . . . . . 6  |-  ran  (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  =  { z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) }
9997, 98syl6sseqr 3489 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) )
100 frn 5720 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  ->  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  C_  U_ x  e.  A  B )
10119, 100syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  C_  U_ x  e.  A  B
)
10299, 101eqssd 3459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) )
103 foeq3 5776 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> U_ x  e.  A  B 
<->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) ) )
104102, 103syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> U_ x  e.  A  B  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) ) )
10534, 104mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> U_ x  e.  A  B )
106 fowdom 8031 . 2  |-  ( ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  e.  _V  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> U_ x  e.  A  B
)  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
10730, 105, 106syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   [_csb 3373    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   U_ciun 4271   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -onto->wfo 5567   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    ^m cmap 7457   X_cixp 7507    ~<_* cwdom 8017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-ixp 7508  df-wdom 8019
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