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Theorem ixpiunwdom 8016
Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7499 this shows that  U_ x  e.  A B and  X_ x  e.  A B have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables  f 
g  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
21elixp 7476 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
32simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
4 ssiun2 4368 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
54sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B )
)
65ralimia 2855 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  U_ x  e.  A  B
)
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B )
8 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B
9 nfiu1 4355 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  B
109nfel2 2647 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B
11 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1211eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ x  e.  A  B  <->  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B
) )
138, 10, 12cbvral 3084 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
147, 13sylib 196 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B
)
1615ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  X_  x  e.  A  B A. y  e.  A  ( f `  y
)  e.  U_ x  e.  A  B )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )
1817fmpt2 6851 . . . 4  |-  ( A. f  e.  X_  x  e.  A  B A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  U_ x  e.  A  B  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B )
1916, 18sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) --> U_ x  e.  A  B )
20 ixpssmap2g 7498 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  W  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
21203ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
22 ovex 6308 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e.  _V
2322ssex 4591 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
)  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
2421, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
25 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A  e.  V )
26 xpexg 6710 . . . 4  |-  ( (
X_ x  e.  A  B  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  e.  _V )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  e.  _V )
28 simp2 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  W
)
29 fex2 6739 . . 3  |-  ( ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  /\  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
)  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e.  _V )
3019, 27, 28, 29syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e. 
_V )
31 ffn 5730 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) )
3219, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
33 dffn4 5800 . . . 4  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  Fn  ( X_ x  e.  A  B  X.  A )  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) )
3432, 33sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) )
35 n0 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  A  B )
36 eliun 4330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
37 nfixp1 7489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x X_ x  e.  A  B
3837nfel2 2647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  g  e.  X_ x  e.  A  B
39 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. y  e.  A  z  =  ( f `  y )
4037, 39nfrex 2927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y )
41 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  z  e.  B )
42 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  =  z )
43 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
4443equcoms 1744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
4544eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  x  ->  [_ k  /  x ]_ B  =  B )
4642, 45eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  ( if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B  <->  z  e.  B ) )
4741, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
48 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  g  e. 
_V
4948elixp 7476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
5049simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
)
52 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( g `  x
)  e.  B
53 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ B
5453nfel2 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( g `  k
)  e.  [_ k  /  x ]_ B
55 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  k  ->  (
g `  x )  =  ( g `  k ) )
5655, 43eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  (
( g `  x
)  e.  B  <->  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
5752, 54, 56cbvral 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  [_ k  /  x ]_ B )
5851, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
)
5958r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
60 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  =  ( g `
 k ) )
6160eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  =  x  -> 
( if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e. 
[_ k  /  x ]_ B  <->  ( g `  k )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  k  =  x  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) )  e.  [_ k  /  x ]_ B
) )
6347, 62pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
6463ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B )
65 ixpfn 7475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  g  Fn  A
)
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  g  Fn  A )
67 fndm 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  Fn  A  ->  dom  g  =  A )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  dom  g  =  A )
6948dmex 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  g  e.  _V
7068, 69syl6eqelr 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  A  e.  _V )
71 mptelixpg 7506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B 
<-> 
A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B 
<-> 
A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) )  e.  [_ k  /  x ]_ B ) )
7364, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  e.  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B )
74 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k B
7574, 53, 43cbvixp 7486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ x  e.  A  B  =  X_ k  e.  A  [_ k  /  x ]_ B
7673, 75syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  e.  X_ x  e.  A  B
)
77 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  A )
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) )
79 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
8042, 78, 79fvmpt 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x )  =  z )
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x )  =  z )
8281eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `
 k ) ) ) `  x ) )
83 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y ) )
8483eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) )  ->  ( z  =  ( f `  y
)  <->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y ) ) )
85 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  y )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) )
8685eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k ) ) ) `  y
)  <->  z  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) ) )
8784, 86rspc2ev 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) )  e.  X_ x  e.  A  B  /\  x  e.  A  /\  z  =  (
( k  e.  A  |->  if ( k  =  x ,  z ,  ( g `  k
) ) ) `  x ) )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) )
8876, 77, 82, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  X_ x  e.  A  B  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) )
8988exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) ) )
9038, 40, 89rexlimd 2947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9136, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9291exlimiv 1698 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9335, 92sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
94933ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9594alrimiv 1695 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. z
( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
96 ssab 3570 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
{ z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y
) }  <->  A. z
( z  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  { z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) } )
9817rnmpt2 6395 . . . . . 6  |-  ran  (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  =  { z  |  E. f  e.  X_  x  e.  A  B E. y  e.  A  z  =  ( f `  y ) }
9997, 98syl6sseqr 3551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) )
100 frn 5736 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) --> U_ x  e.  A  B  ->  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  C_  U_ x  e.  A  B )
10119, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  C_  U_ x  e.  A  B
)
10299, 101eqssd 3521 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) )
103 foeq3 5792 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> U_ x  e.  A  B 
<->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) ) )
104102, 103syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( (
f  e.  X_ x  e.  A  B , 
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> U_ x  e.  A  B  <->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> ran  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) ) )
10534, 104mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) -onto-> U_ x  e.  A  B )
106 fowdom 7996 . 2  |-  ( ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  e.  _V  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B ,  y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : (
X_ x  e.  A  B  X.  A ) -onto-> U_ x  e.  A  B
)  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
10730, 105, 106syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  W  /\  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_*  ( X_ x  e.  A  B  X.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5582   -->wf 5583   -onto->wfo 5585   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    |-> cmpt2 6285    ^m cmap 7420   X_cixp 7469    ~<_* cwdom 7982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-ixp 7470  df-wdom 7984
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