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Theorem ixpiunwdom 8124
 Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7570 this shows that and have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom *
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3034 . . . . . . . . . 10
21elixp 7547 . . . . . . . . 9
32simprbi 471 . . . . . . . 8
4 ssiun2 4312 . . . . . . . . . 10
54sseld 3417 . . . . . . . . 9
65ralimia 2794 . . . . . . . 8
73, 6syl 17 . . . . . . 7
8 nfv 1769 . . . . . . . 8
9 nfiu1 4299 . . . . . . . . 9
109nfel2 2628 . . . . . . . 8
11 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
1211eleq1d 2533 . . . . . . . 8
138, 10, 12cbvral 3001 . . . . . . 7
147, 13sylib 201 . . . . . 6
1514adantl 473 . . . . 5
1615ralrimiva 2809 . . . 4
17 eqid 2471 . . . . 5
1817fmpt2 6879 . . . 4
1916, 18sylib 201 . . 3
20 ixpssmap2g 7569 . . . . . 6
21203ad2ant2 1052 . . . . 5
22 ovex 6336 . . . . . 6
2322ssex 4540 . . . . 5
2421, 23syl 17 . . . 4
25 simp1 1030 . . . 4
26 xpexg 6612 . . . 4
2724, 25, 26syl2anc 673 . . 3
28 simp2 1031 . . 3
29 fex2 6767 . . 3
3019, 27, 28, 29syl3anc 1292 . 2
31 ffn 5739 . . . . 5
3219, 31syl 17 . . . 4
33 dffn4 5812 . . . 4
3432, 33sylib 201 . . 3
35 n0 3732 . . . . . . . . . 10
36 eliun 4274 . . . . . . . . . . . 12
37 nfixp1 7560 . . . . . . . . . . . . . 14
3837nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfrex 2848 . . . . . . . . . . . . 13
41 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4443equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 45eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4741, 46syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5655, 43eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5752, 54, 56cbvral 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5851, 57sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6259, 61syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6347, 62pm2.61d 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6948dmex 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7068, 69syl6eqelr 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 mptelixpg 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7364, 72mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 53, 43cbvixp 7557 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8042, 78, 79fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 86rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15
8876, 77, 82, 87syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp32 616 . . . . . . . . . . . . 13
9038, 40, 89rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . 12
9136, 90syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11
9291exlimiv 1784 . . . . . . . . . 10
9335, 92sylbi 200 . . . . . . . . 9
94933ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
9594alrimiv 1781 . . . . . . 7
96 ssab 3485 . . . . . . 7
9795, 96sylibr 217 . . . . . 6
9817rnmpt2 6425 . . . . . 6
9997, 98syl6sseqr 3465 . . . . 5
100 frn 5747 . . . . . 6
10119, 100syl 17 . . . . 5
10299, 101eqssd 3435 . . . 4
103 foeq3 5804 . . . 4
104102, 103syl 17 . . 3
10534, 104mpbird 240 . 2
106 fowdom 8104 . 2 *
10730, 105, 106syl2anc 673 1 *
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031  csb 3349   wss 3390  c0 3722  cif 3872  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  cixp 7540   * cwdom 8090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-ixp 7541  df-wdom 8092 This theorem is referenced by:  ptcmplem2  21146
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