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Theorem ixpiin 7495
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiin  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem ixpiin
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28zv 3923 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
2 vex 3116 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
3 eliin 4331 . . . . . 6  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
52elixp 7476 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
65ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
74, 6bitri 249 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
82elixp 7476 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
9 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
10 eliin 4331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1211ralbii 2895 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
13 ralcom 3022 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1412, 13bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1514anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
168, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
171, 7, 163bitr4g 288 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
1817eqrdv 2464 . 2  |-  ( B  =/=  (/)  ->  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C )
1918eqcomd 2475 1  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   |^|_ciin 4326    Fn wfn 5583   ` cfv 5588   X_cixp 7469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-ixp 7470
This theorem is referenced by:  ixpint  7496  ptbasfi  19845
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