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Theorem ixpfi2 7890
Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that  B ( x ) and 
D ( x ) are both possibly dependent on  x.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
ixpfi2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
ixpfi2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
Assertion
Ref Expression
ixpfi2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 inss2 3644 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  C
3 ssfi 7810 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  C )  -> 
( A  i^i  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  e.  Fin )
5 inss1 3643 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  A
6 ixpfi2.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
76ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 ssralv 3479 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) B  e.  Fin ) )
95, 7, 8mpsyl 64 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
10 ixpfi 7889 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
114, 9, 10syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
12 resixp 7575 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B )
135, 12mpan 684 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B ) )
15 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  e.  X_ x  e.  A  B )
16 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
1716elixp 7547 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
1815, 17sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B ) )
1918simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
20 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  e.  X_ x  e.  A  B )
21 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
2221elixp 7547 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
2320, 22sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
2423simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
)
25 r19.26 2904 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  <-> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
26 difss 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  C )  C_  A
27 ssralv 3479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) )
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
3029sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  e. 
{ D } ) )
31 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  e.  { D }  ->  ( f `  x
)  =  D )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  =  D ) )
3329sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  e. 
{ D } ) )
34 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  x )  e.  { D }  ->  ( g `  x
)  =  D )
3533, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  =  D ) )
3632, 35anim12d 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x )  =  D  /\  ( g `
 x )  =  D ) ) )
37 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  =  D  /\  ( g `  x
)  =  D )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
3836, 37syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
3938ralimdva 2805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C
) ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( g `
 x )  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
4039adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4128, 40syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4225, 41syl5bir 226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4319, 24, 42mp2and 693 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
4443biantrud 515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) ) )
45 fvres 5893 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
46 fvres 5893 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
4745, 46eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4847ralbiia 2822 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
49 inundif 3836 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5049raleqi 2977 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) )
51 ralunb 3606 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x )  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5250, 51bitr3i 259 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5344, 48, 523bitr4g 296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
5418simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  Fn  A )
55 fnssres 5699 . . . . . . 7  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5654, 5, 55sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5723simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  Fn  A )
58 fnssres 5699 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5957, 5, 58sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
60 eqfnfv 5991 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C )  /\  ( g  |`  ( A  i^i  C
) )  Fn  ( A  i^i  C ) )  ->  ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
)  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
) ) )
62 eqfnfv 5991 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
6354, 57, 62syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6453, 61, 633bitr4d 293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) )
6564ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
)  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) ) )
6614, 65dom2lem 7627 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
67 f1fi 7879 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
6811, 66, 67syl2anc 673 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959    |-> cmpt 4454    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589   X_cixp 7540   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18673  eulerpartlemb  29274
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