Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ixpfi2 7890
 Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that and are both possibly dependent on .) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1
ixpfi2.2
ixpfi2.3
Assertion
Ref Expression
ixpfi2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4
2 inss2 3644 . . . 4
3 ssfi 7810 . . . 4
41, 2, 3sylancl 675 . . 3
5 inss1 3643 . . . 4
6 ixpfi2.2 . . . . 5
76ralrimiva 2809 . . . 4
8 ssralv 3479 . . . 4
95, 7, 8mpsyl 64 . . 3
10 ixpfi 7889 . . 3
114, 9, 10syl2anc 673 . 2
12 resixp 7575 . . . . 5
135, 12mpan 684 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 simprl 772 . . . . . . . . . 10
16 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
1716elixp 7547 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylib 201 . . . . . . . . 9
1918simprd 470 . . . . . . . 8
20 simprr 774 . . . . . . . . . 10
21 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
2221elixp 7547 . . . . . . . . . 10
2320, 22sylib 201 . . . . . . . . 9
2423simprd 470 . . . . . . . 8
25 r19.26 2904 . . . . . . . . 9
26 difss 3549 . . . . . . . . . . 11
27 ssralv 3479 . . . . . . . . . . 11
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3329sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3632, 35anim12d 572 . . . . . . . . . . . . 13
37 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl6 33 . . . . . . . . . . . 12
3938ralimdva 2805 . . . . . . . . . . 11
4039adantr 472 . . . . . . . . . 10
4128, 40syl5 32 . . . . . . . . 9
4225, 41syl5bir 226 . . . . . . . 8
4319, 24, 42mp2and 693 . . . . . . 7
4443biantrud 515 . . . . . 6
45 fvres 5893 . . . . . . . 8
46 fvres 5893 . . . . . . . 8
4745, 46eqeq12d 2486 . . . . . . 7
4847ralbiia 2822 . . . . . 6
49 inundif 3836 . . . . . . . 8
5049raleqi 2977 . . . . . . 7
51 ralunb 3606 . . . . . . 7
5250, 51bitr3i 259 . . . . . 6
5344, 48, 523bitr4g 296 . . . . 5
5418simpld 466 . . . . . . 7
55 fnssres 5699 . . . . . . 7
5654, 5, 55sylancl 675 . . . . . 6
5723simpld 466 . . . . . . 7
58 fnssres 5699 . . . . . . 7
5957, 5, 58sylancl 675 . . . . . 6
60 eqfnfv 5991 . . . . . 6
6156, 59, 60syl2anc 673 . . . . 5
62 eqfnfv 5991 . . . . . 6
6354, 57, 62syl2anc 673 . . . . 5
6453, 61, 633bitr4d 293 . . . 4
6564ex 441 . . 3
6614, 65dom2lem 7627 . 2
67 f1fi 7879 . 2
6811, 66, 67syl2anc 673 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  csn 3959   cmpt 4454   cres 4841   wfn 5584  wf1 5586  cfv 5589  cixp 7540  cfn 7587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591 This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18673  eulerpartlemb  29274
 Copyright terms: Public domain W3C validator