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Theorem ixpfi2 7712
Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that  B ( x ) and 
D ( x ) are both possibly dependent on  x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
ixpfi2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
ixpfi2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
Assertion
Ref Expression
ixpfi2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 inss2 3671 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  C
3 ssfi 7636 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  C )  -> 
( A  i^i  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  e.  Fin )
5 inss1 3670 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  A
6 ixpfi2.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
76ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 ssralv 3516 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) B  e.  Fin ) )
95, 7, 8mpsyl 63 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
10 ixpfi 7711 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
114, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
12 resixp 7400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B )
135, 12mpan 670 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  e.  X_ x  e.  A  B )
16 vex 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
1716elixp 7372 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
1815, 17sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B ) )
1918simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
20 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  e.  X_ x  e.  A  B )
21 vex 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
2221elixp 7372 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
2423simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
)
25 r19.26 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  <-> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
26 difss 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  C )  C_  A
27 ssralv 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) )
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
3029sseld 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  e. 
{ D } ) )
31 elsni 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  e.  { D }  ->  ( f `  x
)  =  D )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  =  D ) )
3329sseld 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  e. 
{ D } ) )
34 elsni 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  x )  e.  { D }  ->  ( g `  x
)  =  D )
3533, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  =  D ) )
3632, 35anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x )  =  D  /\  ( g `
 x )  =  D ) ) )
37 eqtr3 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  =  D  /\  ( g `  x
)  =  D )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
3836, 37syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
3938ralimdva 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C
) ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( g `
 x )  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4128, 40syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4225, 41syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4319, 24, 42mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
4443biantrud 507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) ) )
45 fvres 5805 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
46 fvres 5805 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
4745, 46eqeq12d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4847ralbiia 2830 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
49 inundif 3857 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5049raleqi 3019 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) )
51 ralunb 3637 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x )  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5250, 51bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5344, 48, 523bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
5418simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  Fn  A )
55 fnssres 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5654, 5, 55sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5723simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  Fn  A )
58 fnssres 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5957, 5, 58sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
60 eqfnfv 5898 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C )  /\  ( g  |`  ( A  i^i  C
) )  Fn  ( A  i^i  C ) )  ->  ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
)  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
) ) )
62 eqfnfv 5898 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
6354, 57, 62syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6453, 61, 633bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) )
6564ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
)  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) ) )
6614, 65dom2lem 7451 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
67 f1fi 7701 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
6811, 66, 67syl2anc 661 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    \ cdif 3425    u. cun 3426    i^i cin 3427    C_ wss 3428   {csn 3977    |-> cmpt 4450    |` cres 4942    Fn wfn 5513   -1-1->wf1 5515   ` cfv 5518   X_cixp 7365   Fincfn 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  17549  psrbaglefiOLD  17550  eulerpartlemb  26887
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