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Theorem ixpfi2 7876
Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that B ( x ) and D ( x ) are both possibly dependent on x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1 |- ( ph -> C e. Fin )
ixpfi2.2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
ixpfi2.3 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
Assertion
Ref Expression
ixpfi2 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x
Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)
Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4 |- ( ph -> C e. Fin )
2 inss2 3684 . . . 4 |- ( A i^i C ) C_ C
3 ssfi 7796 . . . 4 |- ( ( C e. Fin /\ ( A i^i C ) C_ C ) -> ( A i^i C ) e. Fin )
41, 2, 3sylancl 667 . . 3 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. Fin )
5 inss1 3683 . . . 4 |- ( A i^i C ) C_ A
6 ixpfi2.2 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
76ralrimiva 2840 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
8 ssralv 3526 . . . 4 |- ( ( A i^i C ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) )
95, 7, 8mpsyl 66 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
10 ixpfi 7875 . . 3 |- ( ( ( A i^i C ) e. Fin /\ A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
114, 9, 10syl2anc 666 . 2 |- ( ph -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
12 resixp 7563 . . . . 5 |- ( ( ( A i^i C ) C_ A /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
135, 12mpan 675 . . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
1413a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B ) )
15 simprl 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f e. X_ x e. A B )
16 vex 3085 . . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
1716elixp 7535 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
1815, 17sylib 200 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
1918simprd 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
20 simprr 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g e. X_ x e. A B )
21 vex 3085 . . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
2221elixp 7535 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
2320, 22sylib 200 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
2423simprd 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
25 r19.26 2956 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
26 difss 3593 . . . . . . . . . . 11 |- ( A \ C ) C_ A
27 ssralv 3526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ C ) C_ A -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) )
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
3029sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. { D } ) )
31 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) e. { D } -> ( f ` x ) = D )
3230, 31syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) = D ) )
3329sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) e. { D } ) )
34 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` x ) e. { D } -> ( g ` x ) = D )
3533, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) = D ) )
3632, 35anim12d 566 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) ) )
37 eqtr3 2451 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
3836, 37syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
3938ralimdva 2834 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4128, 40syl5 34 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4225, 41syl5bir 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4319, 24, 42mp2and 684 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
4443biantrud 510 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) ) )
45 fvres 5893 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
46 fvres 5893 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
4745, 46eqeq12d 2445 . . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4847ralbiia 2856 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
49 inundif 3874 . . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
5049raleqi 3030 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) )
51 ralunb 3648 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5250, 51bitr3i 255 . . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5344, 48, 523bitr4g 292 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5418simpld 461 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f Fn A )
55 fnssres 5705 . . . . . . 7 |- ( ( f Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5654, 5, 55sylancl 667 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5723simpld 461 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g Fn A )
58 fnssres 5705 . . . . . . 7 |- ( ( g Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5957, 5, 58sylancl 667 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
60 eqfnfv 5989 . . . . . 6 |- ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) /\ ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
62 eqfnfv 5989 . . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ g Fn A ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
6354, 57, 62syl2anc 666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
6453, 61, 633bitr4d 289 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) )
6564ex 436 . . 3 |- ( ph -> ( ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) ) )
6614, 65dom2lem 7614 . 2 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B )
67 f1fi 7865 . 2 |- ( ( X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin /\ ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B ) -> X_ x e. A B e. Fin )
6811, 66, 67syl2anc 666 1 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   {csn 3997   |-> cmpt 4480   |` cres 4853   Fn wfn 5594   -1-1->wf1 5596   ` cfv 5599   X_cixp 7528   Fincfn 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18589  eulerpartlemb  29203
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