Theorem ixpfi2 7772

Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that B ( x ) and D ( x ) are both possibly dependent on x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpfi2.1	|- ( ph -> C e. Fin )
ixpfi2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
ixpfi2.3	|- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )

Assertion

Ref	Expression
ixpfi2	|- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)

Proof of Theorem ixpfi2

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfi2.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. Fin )
2		inss2 3659	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ C
3		ssfi 7695	. . . 4 |- ( ( C e. Fin /\ ( A i^i C ) C_ C ) -> ( A i^i C ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 660	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. Fin )
5		inss1 3658	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ A
6		ixpfi2.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
7	6	ralrimiva 2817	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
8		ssralv 3502	. . . 4 |- ( ( A i^i C ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) )
9	5, 7, 8	mpsyl 62	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
10		ixpfi 7771	. . 3 |- ( ( ( A i^i C ) e. Fin /\ A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
11	4, 9, 10	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
12		resixp 7462	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i C ) C_ A /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
13	5, 12	mpan 668	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B ) )
15		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f e. X_ x e. A B )
16		vex 3061	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
17	16	elixp 7434	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
18	15, 17	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
19	18	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
20		simprr 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g e. X_ x e. A B )
21		vex 3061	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
22	21	elixp 7434	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
23	20, 22	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
24	23	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
25		r19.26 2933	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
26		difss 3569	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ C ) C_ A
27		ssralv 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ C ) C_ A -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) )
29		ixpfi2.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
30	29	sseld 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. { D } ) )
31		elsni 3996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) e. { D } -> ( f ` x ) = D )
32	30, 31	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) = D ) )
33	29	sseld 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) e. { D } ) )
34		elsni 3996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` x ) e. { D } -> ( g ` x ) = D )
35	33, 34	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) = D ) )
36	32, 35	anim12d 561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) ) )
37		eqtr3 2430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
38	36, 37	syl6 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
39	38	ralimdva 2811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
40	39	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
41	28, 40	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
42	25, 41	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
43	19, 24, 42	mp2and 677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
44	43	biantrud 505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) ) )
45		fvres 5819	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
46		fvres 5819	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
47	45, 46	eqeq12d 2424	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
48	47	ralbiia 2833	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
49		inundif 3849	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
50	49	raleqi 3007	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) )
51		ralunb 3623	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
52	50, 51	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
53	44, 48, 52	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
54	18	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f Fn A )
55		fnssres 5631	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
56	54, 5, 55	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
57	23	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g Fn A )
58		fnssres 5631	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
59	57, 5, 58	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
60		eqfnfv 5915	. . . . . 6 |- ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) /\ ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
62		eqfnfv 5915	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ g Fn A ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
63	54, 57, 62	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
64	53, 61, 63	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) )
65	64	ex 432	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) ) )
66	14, 65	dom2lem 7513	. 2 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B )
67		f1fi 7761	. 2 |- ( ( X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin /\ ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B ) -> X_ x e. A B e. Fin )
68	11, 66, 67	syl2anc 659	1 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   \ cdif 3410   u. cun 3411   i^i cin 3412   C_ wss 3413   {csn 3971   |-> cmpt 4452   |` cres 4944   Fn wfn 5520   -1-1->wf1 5522   ` cfv 5525   X_cixp 7427   Fincfn 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478

This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18235  psrbaglefiOLD  18236  eulerpartlemb  28693