Theorem ixpfi2 7807

Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that B ( x ) and D ( x ) are both possibly dependent on x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpfi2.1	|- ( ph -> C e. Fin )
ixpfi2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
ixpfi2.3	|- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )

Assertion

Ref	Expression
ixpfi2	|- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)

Proof of Theorem ixpfi2

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfi2.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. Fin )
2		inss2 3712	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ C
3		ssfi 7730	. . . 4 |- ( ( C e. Fin /\ ( A i^i C ) C_ C ) -> ( A i^i C ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. Fin )
5		inss1 3711	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ A
6		ixpfi2.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
7	6	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
8		ssralv 3557	. . . 4 |- ( ( A i^i C ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) )
9	5, 7, 8	mpsyl 63	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
10		ixpfi 7806	. . 3 |- ( ( ( A i^i C ) e. Fin /\ A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
11	4, 9, 10	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
12		resixp 7494	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i C ) C_ A /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
13	5, 12	mpan 670	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B ) )
15		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f e. X_ x e. A B )
16		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
17	16	elixp 7466	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
18	15, 17	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
19	18	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
20		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g e. X_ x e. A B )
21		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
22	21	elixp 7466	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
23	20, 22	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
24	23	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
25		r19.26 2982	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
26		difss 3624	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ C ) C_ A
27		ssralv 3557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ C ) C_ A -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) )
29		ixpfi2.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
30	29	sseld 3496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. { D } ) )
31		elsni 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) e. { D } -> ( f ` x ) = D )
32	30, 31	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) = D ) )
33	29	sseld 3496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) e. { D } ) )
34		elsni 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` x ) e. { D } -> ( g ` x ) = D )
35	33, 34	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) = D ) )
36	32, 35	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) ) )
37		eqtr3 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
38	36, 37	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
39	38	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
41	28, 40	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
42	25, 41	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
43	19, 24, 42	mp2and 679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
44	43	biantrud 507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) ) )
45		fvres 5871	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
46		fvres 5871	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
47	45, 46	eqeq12d 2482	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
48	47	ralbiia 2887	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
49		inundif 3898	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
50	49	raleqi 3055	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) )
51		ralunb 3678	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
52	50, 51	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
53	44, 48, 52	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
54	18	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f Fn A )
55		fnssres 5685	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
56	54, 5, 55	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
57	23	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g Fn A )
58		fnssres 5685	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
59	57, 5, 58	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
60		eqfnfv 5966	. . . . . 6 |- ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) /\ ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
62		eqfnfv 5966	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ g Fn A ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
63	54, 57, 62	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
64	53, 61, 63	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) )
65	64	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) ) )
66	14, 65	dom2lem 7545	. 2 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B )
67		f1fi 7796	. 2 |- ( ( X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin /\ ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B ) -> X_ x e. A B e. Fin )
68	11, 66, 67	syl2anc 661	1 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   \ cdif 3466   u. cun 3467   i^i cin 3468   C_ wss 3469   {csn 4020   |-> cmpt 4498   |` cres 4994   Fn wfn 5574   -1-1->wf1 5576   ` cfv 5579   X_cixp 7459   Fincfn 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510

This theorem is referenced by:  psrbaglefi  17787  psrbaglefiOLD  17788  eulerpartlemb  27797