Theorem ixpfi2 7601

Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that B ( x ) and D ( x ) are both possibly dependent on x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpfi2.1	|- ( ph -> C e. Fin )
ixpfi2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
ixpfi2.3	|- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )

Assertion

Ref	Expression
ixpfi2	|- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)

Proof of Theorem ixpfi2

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfi2.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. Fin )
2		inss2 3566	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ C
3		ssfi 7525	. . . 4 |- ( ( C e. Fin /\ ( A i^i C ) C_ C ) -> ( A i^i C ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. Fin )
5		inss1 3565	. . . 4 |- ( A i^i C ) C_ A
6		ixpfi2.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
7	6	ralrimiva 2794	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
8		ssralv 3411	. . . 4 |- ( ( A i^i C ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) )
9	5, 7, 8	mpsyl 63	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
10		ixpfi 7600	. . 3 |- ( ( ( A i^i C ) e. Fin /\ A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
11	4, 9, 10	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
12		resixp 7290	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i C ) C_ A /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
13	5, 12	mpan 670	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B ) )
15		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f e. X_ x e. A B )
16		vex 2970	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
17	16	elixp 7262	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
18	15, 17	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
19	18	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
20		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g e. X_ x e. A B )
21		vex 2970	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
22	21	elixp 7262	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
23	20, 22	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
24	23	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
25		r19.26 2844	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
26		difss 3478	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ C ) C_ A
27		ssralv 3411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ C ) C_ A -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) )
29		ixpfi2.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
30	29	sseld 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. { D } ) )
31		elsni 3897	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) e. { D } -> ( f ` x ) = D )
32	30, 31	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) = D ) )
33	29	sseld 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) e. { D } ) )
34		elsni 3897	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` x ) e. { D } -> ( g ` x ) = D )
35	33, 34	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) = D ) )
36	32, 35	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) ) )
37		eqtr3 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
38	36, 37	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
39	38	ralimdva 2789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
41	28, 40	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
42	25, 41	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
43	19, 24, 42	mp2and 679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
44	43	biantrud 507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) ) )
45		fvres 5699	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
46		fvres 5699	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
47	45, 46	eqeq12d 2452	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
48	47	ralbiia 2742	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
49		inundif 3752	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
50	49	raleqi 2916	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) )
51		ralunb 3532	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
52	50, 51	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
53	44, 48, 52	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
54	18	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f Fn A )
55		fnssres 5519	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
56	54, 5, 55	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
57	23	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g Fn A )
58		fnssres 5519	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
59	57, 5, 58	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
60		eqfnfv 5792	. . . . . 6 |- ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) /\ ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
62		eqfnfv 5792	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ g Fn A ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
63	54, 57, 62	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
64	53, 61, 63	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) )
65	64	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) ) )
66	14, 65	dom2lem 7341	. 2 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B )
67		f1fi 7590	. 2 |- ( ( X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin /\ ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B ) -> X_ x e. A B e. Fin )
68	11, 66, 67	syl2anc 661	1 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   {csn 3872   e. cmpt 4345   |` cres 4837   Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   X_cixp 7255   Fincfn 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306

This theorem is referenced by:  psrbaglefi  17418  psrbaglefiOLD  17419  eulerpartlemb  26703