MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi Structured version   Unicode version

Theorem ixpfi 7818
Description: A Cartesian product of finitely many finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ixpfi
StepHypRef Expression
1 iunfi 7809 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
3 mapfi 7817 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e. 
Fin )
41, 2, 3syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e. 
Fin )
5 ixpssmap2g 7499 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
7 ssfi 7741 . 2  |-  ( ( ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
) )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
84, 6, 7syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   U_ciun 4325  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   X_cixp 7470   Fincfn 7517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521
This theorem is referenced by:  ixpfi2  7819  prdstotbnd  30120
  Copyright terms: Public domain W3C validator