MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi Structured version   Unicode version

Theorem ixpfi 7868
Description: A Cartesian product of finitely many finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ixpfi
StepHypRef Expression
1 iunfi 7859 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
2 simpl 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
3 mapfi 7867 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e. 
Fin )
41, 2, 3syl2anc 665 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e. 
Fin )
5 ixpssmap2g 7550 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
61, 5syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
7 ssfi 7789 . 2  |-  ( ( ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A
) )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
84, 6, 7syl2anc 665 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1867   A.wral 2773    C_ wss 3433   U_ciun 4293  (class class class)co 6296    ^m cmap 7471   X_cixp 7521   Fincfn 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572
This theorem is referenced by:  ixpfi2  7869  prdstotbnd  31874
  Copyright terms: Public domain W3C validator