MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Unicode version

Theorem ixpexg 7491
Description: The existence of an infinite Cartesian product.  x is normally a free-variable parameter in 
B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 7490 . . . 4  |-  U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )
2 iunexg 6757 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3 xpexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
42, 3syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
5 ssexg 4579 . . . 4  |-  ( ( U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B
)  /\  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e.  _V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 uniexb 6591 . . 3  |-  ( X_ x  e.  A  B  e.  _V  <->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
86, 7sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
9 ixpprc 7488 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
10 0ex 4563 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
119, 10syl6eqel 2537 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  V )  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  _V )
138, 12pm2.61ian 788 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   (/)c0 3767   U.cuni 4230   U_ciun 4311    X. cxp 4983   X_cixp 7467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ixp 7468
This theorem is referenced by:  konigthlem  8941  prdsbasex  14720  isfunc  15102  isnat  15185  natffn  15187  dmdprd  16898  dprdval  16903  dprdvalOLD  16905  elpt  19939  ptbasin2  19945  ptbasfi  19948  ptrest  30016  upixp  30188
  Copyright terms: Public domain W3C validator