MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Unicode version

Theorem ixpexg 7494
Description: The existence of an infinite Cartesian product.  x is normally a free-variable parameter in 
B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 7493 . . . 4  |-  U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )
2 iunexg 6761 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3 xpexg 6587 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
42, 3syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
5 ssexg 4593 . . . 4  |-  ( ( U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B
)  /\  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e.  _V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 uniexb 6595 . . 3  |-  ( X_ x  e.  A  B  e.  _V  <->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
86, 7sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
9 ixpprc 7491 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
10 0ex 4577 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
119, 10syl6eqel 2563 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  V )  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  _V )
138, 12pm2.61ian 788 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   U_ciun 4325    X. cxp 4997   X_cixp 7470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ixp 7471
This theorem is referenced by:  konigthlem  8944  prdsbasex  14709  isfunc  15094  isnat  15177  natffn  15179  dmdprd  16844  dprdval  16849  dprdvalOLD  16851  elpt  19900  ptbasin2  19906  ptbasfi  19909  ptrest  29901  upixp  30050
  Copyright terms: Public domain W3C validator