MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpconst Structured version   Unicode version

Theorem ixpconst 7359
Description: Infinite Cartesian product of a constant  B. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpconst.1  |-  A  e. 
_V
ixpconst.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ixpconst  |-  X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ixpconst
StepHypRef Expression
1 ixpconst.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 ixpconst.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 ixpconstg 7358 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A ) )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054  (class class class)co 6176    ^m cmap 7300   X_cixp 7349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-map 7302  df-ixp 7350
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  8834  prdsval  14481  wunfunc  14897  wunnat  14954
  Copyright terms: Public domain W3C validator