MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Unicode version

Theorem ixi 10139
Description:  _i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 9764 . 2  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2 ax-i2m1 9510 . . 3  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
3 0cn 9538 . . . 4  |-  0  e.  CC
4 ax-1cn 9500 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 9501 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
65, 5mulcli 9551 . . . 4  |-  ( _i  x.  _i )  e.  CC
73, 4, 6subadd2i 9864 . . 3  |-  ( ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )  <->  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0 )
82, 7mpbir 209 . 2  |-  ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )
91, 8eqtr2i 2432 1  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405  (class class class)co 6234   0cc0 9442   1c1 9443   _ici 9444    + caddc 9445    x. cmul 9447    - cmin 9761   -ucneg 9762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763  df-neg 9764
This theorem is referenced by:  recextlem1  10140  inelr  10486  cju  10492  irec  12222  i2  12223  crre  13003  remim  13006  remullem  13017  sqrtneglem  13156  absi  13175  sinhval  13990  coshval  13991  cosadd  14001  absefib  14034  efieq1re  14035  demoivreALT  14037  itgmulc2  22424  tanarg  23190  atandm2  23425  efiasin  23436  asinsinlem  23439  asinsin  23440  asin1  23442  efiatan  23460  atanlogsublem  23463  efiatan2  23465  2efiatan  23466  tanatan  23467  atantan  23471  atans2  23479  dvatan  23483  log2cnv  23492  nvpi  25863  ipasslem10  26048  polid2i  26368  lnophmlem2  27229  iexpire  29830  itgmulc2nc  31437  dvasin  31455
  Copyright terms: Public domain W3C validator