Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Unicode version

Theorem iwrdsplit 27982
Description: Lemma for sseqp1 27990. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
iwrdsplit.f  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> S )
iwrdsplit.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) concat  <" ( F `
 N ) "> ) )

Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2 iwrdsplit.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> S )
3 iwrdsplit.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 1nn0 10810 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
63, 5nn0addcld 10855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
71, 2, 6subiwrd 27980 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S )
8 1re 9594 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
9 nn0addge2 10842 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( N  +  1 ) )
108, 3, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
111, 2, 6subiwrdlen 27981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
1210, 11breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <_  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
13 wrdlenge1n0 12540 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  e. Word  S  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  1  <_  (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  (/)  <->  1  <_  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
1512, 14mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
16 swrdccatwrd 12655 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S  /\  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) concat  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
177, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) concat  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
1811oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
193nn0cnd 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
20 1cnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2119, 20pncand 9930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2218, 21eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  N )
2322opeq2d 4220 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >.  =  <. 0 ,  N >. )
2423oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) >. )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. ) )
25 nn0fz0 11772 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
263, 25sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
27 elfz0add 11773 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
2827imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0 ... N ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
293, 5, 26, 28syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
3011oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
3129, 30eleqtrrd 2558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
32 swrd0val 12610 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) ) )
337, 31, 32syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) ) )
34 fzossfzop1 11860 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
35 resabs1 5301 . . . . 5  |-  ( ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
363, 34, 353syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
3724, 33, 363eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
38 lsw 12549 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  e. Word  S  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) ) )
397, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) ) )
4022fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) `  N ) )
41 fzonn0p1 11859 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
42 fvres 5879 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) `  N
)  =  ( F `
 N ) )
433, 41, 423syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
4439, 40, 433eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  N ) )
4544s1eqd 12575 . . 3  |-  ( ph  ->  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ">  =  <" ( F `  N ) "> )
4637, 45oveq12d 6301 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) concat  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) concat  <" ( F `  N ) "> ) )
4717, 46eqtr3d 2510 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) concat  <" ( F `
 N ) "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |` cres 5001   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    <_ cle 9628    - cmin 9804   NN0cn0 10794   ...cfz 11671  ..^cfzo 11791   #chash 12372  Word cword 12499   lastS clsw 12500   concat cconcat 12501   <"cs1 12502   substr csubstr 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-hash 12373  df-word 12507  df-lsw 12508  df-concat 12509  df-s1 12510  df-substr 12511
This theorem is referenced by:  sseqp1  27990
  Copyright terms: Public domain W3C validator