Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Unicode version

Theorem iwrdsplit 29046
Description: Lemma for sseqp1 29054. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
iwrdsplit.f  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> S )
iwrdsplit.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ++  <" ( F `
 N ) "> ) )

Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2 iwrdsplit.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> S )
3 iwrdsplit.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 1nn0 10885 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
63, 5nn0addcld 10929 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
71, 2, 6subiwrd 29044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S )
8 1re 9641 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
9 nn0addge2 10917 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( N  +  1 ) )
108, 3, 9sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
111, 2, 6subiwrdlen 29045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
1210, 11breqtrrd 4452 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <_  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
13 wrdlenge1n0 12689 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  e. Word  S  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  1  <_  (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
147, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  (/)  <->  1  <_  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
1512, 14mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
16 swrdccatwrd 12809 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S  /\  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) ++  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
177, 15, 16syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) ++  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
1811oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
193nn0cnd 10927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
20 1cnd 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2119, 20pncand 9986 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2218, 21eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  N )
2322opeq2d 4197 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >.  =  <. 0 ,  N >. )
2423oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) >. )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. ) )
25 nn0fz0 11888 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
263, 25sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
27 elfz0add 11889 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
2827imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0 ... N ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
293, 5, 26, 28syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
3011oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
3129, 30eleqtrrd 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
32 swrd0val 12762 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) ) )
337, 31, 32syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) ) )
34 fzossfzop1 11988 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
35 resabs1 5153 . . . . 5  |-  ( ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
363, 34, 353syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )  |`  ( 0..^ N ) )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
3724, 33, 363eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
38 lsw 12698 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  e. Word  S  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) ) )
397, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) ) )
4022fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 ( ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) `  N ) )
41 fzonn0p1 11987 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
42 fvres 5895 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) `  N
)  =  ( F `
 N ) )
433, 41, 423syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
4439, 40, 433eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  N ) )
4544s1eqd 12727 . . 3  |-  ( ph  ->  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ">  =  <" ( F `  N ) "> )
4637, 45oveq12d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) substr  <. 0 ,  ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 ) >. ) ++  <" ( lastS  `  ( F  |`  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) "> )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ++  <" ( F `  N ) "> ) )
4717, 46eqtr3d 2472 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ++  <" ( F `
 N ) "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    <_ cle 9675    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ...cfz 11782  ..^cfzo 11913   #chash 12512  Word cword 12643   lastS clsw 12644   ++ cconcat 12645   <"cs1 12646   substr csubstr 12647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655
This theorem is referenced by:  sseqp1  29054
  Copyright terms: Public domain W3C validator