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Theorem ivthlem2 21730
Description: Lemma for ivth 21732. Show that the supremum of  S cannot be less than  U. If it was, continuity of  F implies that there are points just above the supremum that are also less than  U, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
3 ivth.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
4 ivth.11 . . . . . . . 8  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
5 ivth.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
6 ssrab2 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
75, 6eqsstri 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ( A [,] B )
8 ivth.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ivth.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 11610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
127, 11syl5ss 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
13 ivth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
14 ivth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
15 ivth.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
16 ivth.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
178, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5ivthlem1 21729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1817simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
19 ne0i 3773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2117simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
22 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2322ralbidv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2423rspcev 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 21, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
2612, 20, 253jca 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
27 suprcl 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
294, 28syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
30 suprub 10505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3126, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3231, 4syl6breqr 4473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
33 suprleub 10508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3426, 9, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3521, 34mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
364, 35syl5eqbr 4466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
37 elicc2 11593 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
388, 9, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
3929, 32, 36, 38mpbir3and 1178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
403, 39sseldd 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4140adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  C  e.  D )
4215ralrimiva 2855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
43 fveq2 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4443eleq1d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4544rspcv 3190 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4639, 42, 45sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
47 difrp 11257 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4846, 13, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4948biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )
50 cncfi 21264 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
512, 41, 49, 50syl3anc 1227 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
52 ssralv 3546 . . . . . . 7  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
533, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
5453ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
559ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
5629ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
57 rphalfcl 11248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 11260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR )
6056, 59readdcld 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  e.  RR )
6155, 60ifcld 3965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR )
628ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
6332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  C )
6416simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
658rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
669rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
678, 9, 14ltled 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
68 ubicc2 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
6965, 66, 67, 68syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
70 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7170eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7271rspcv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7369, 42, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
74 lttr 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  C )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7546, 13, 73, 74syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7664, 75mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) ) )
7776imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
)
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B
) )
7946ltnrd 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
80 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
8180breq2d 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
8281notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
8379, 82syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
8483necon2ad 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
8584, 36jctild 543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
8629, 9ltlend 9728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
8785, 86sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
8887ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
8978, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  B )
9056, 58ltaddrpd 11289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )
91 breq2 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  B  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
92 breq2 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  +  ( z  /  2 ) )  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <-> 
C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
9391, 92ifboth 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  <  B  /\  C  <  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  ->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) )
9489, 90, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9556, 61, 94ltled 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9662, 56, 61, 63, 95letrd 9737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
97 min1 11393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_  B )
9855, 60, 97syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B )
99 elicc2 11593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
1008, 9, 99syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
10261, 96, 98, 101mpbir3and 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
10356, 61, 95abssubge0d 13237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )
104 rpre 11230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
10656, 105readdcld 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  z )  e.  RR )
107 min2 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )
10855, 60, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) )
109 rphalflt 11250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  <  z )
11159, 105, 56, 110ltadd2dd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <  ( C  +  z ) )
11261, 60, 106, 108, 111lelttrd 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <  ( C  +  z ) )
11361, 56, 105ltsubadd2d 10151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C )  <  z  <->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  <  ( C  +  z ) ) )
114112, 113mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C )  <  z )
115103, 114eqbrtrd 4453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  <  z )
116 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( y  -  C
)  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )
117116fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
y  -  C ) )  =  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) ) )
118117breq1d 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  <->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z ) )
119 breq2 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  y  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
120118, 119anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y )  <-> 
( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )  <  z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) ) )
121120rspcev 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y ) )
122102, 115, 94, 121syl12anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )
123 r19.29 2976 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) ) )
124 pm3.45 832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) ) )
125124imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) )
126 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  <  y )
127 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
128 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ph )
129128, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
130 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
131130eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
132131rspcv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
133127, 129, 132sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
134128, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  RR )
135128, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  RR )
136135, 134resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR )
137133, 134, 136absdifltd 13239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `
 C ) ) ) ) ) )
138 ltle 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  y )  <  U  ->  ( F `  y
)  <_  U )
)
139133, 135, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  U  ->  ( F `  y )  <_  U ) )
140134recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
141135recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  CC )
142140, 141pncan3d 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  C
)  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  =  U )
143142breq2d 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <->  ( F `  y )  <  U
) )
144130breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
145144, 5elrab2 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
146145baib 901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
147146ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
148139, 143, 1473imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  y  e.  S ) )
149 suprub 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
150149, 4syl6breqr 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  C )
151150ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  ( y  e.  S  ->  y  <_  C ) )
152128, 26, 1513syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  C )
)
153128, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
154153, 127sseldd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  RR )
155128, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  e.  RR )
156154, 155lenltd 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  <_  C  <->  -.  C  <  y ) )
157152, 156sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  ->  -.  C  <  y ) )
158148, 157syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
159158adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( ( ( F `
 C )  -  ( U  -  ( F `  C )
) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
160137, 159sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  C  <  y ) )
161126, 160mt2d 117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )
162161pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
163162expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( C  <  y  ->  ( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
) )
164163com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  -> 
( C  <  y  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) ) )
165164impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
166125, 165syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
167166rexlimdva 2933 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
168123, 167syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
169122, 168mpan2d 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17054, 169syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
171170rexlimdva 2933 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17251, 171mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  -.  ( F `  C )  <  U )
173172pm2.01da 442 1  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ifcif 3922   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   CCcc 9488   RRcr 9489    + caddc 9493   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11224   [,]cicc 11536   abscabs 13041   -cn->ccncf 21246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-icc 11540  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-cncf 21248
This theorem is referenced by:  ivthlem3  21731
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