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Theorem ivthlem2 21594
Description: Lemma for ivth 21596. Show that the supremum of  S cannot be less than  U. If it was, continuity of  F implies that there are points just above the supremum that are also less than  U, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
3 ivth.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
4 ivth.11 . . . . . . . 8  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
5 ivth.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
6 ssrab2 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
75, 6eqsstri 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ( A [,] B )
8 ivth.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ivth.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
127, 11syl5ss 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
13 ivth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
14 ivth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
15 ivth.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
16 ivth.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
178, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5ivthlem1 21593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1817simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
19 ne0i 3786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2117simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
22 breq2 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2322ralbidv 2898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2423rspcev 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 21, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
2612, 20, 253jca 1171 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
27 suprcl 10494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
294, 28syl5eqel 2554 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
30 suprub 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3126, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3231, 4syl6breqr 4482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
33 suprleub 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3426, 9, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3521, 34mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
364, 35syl5eqbr 4475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
37 elicc2 11580 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
388, 9, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
3929, 32, 36, 38mpbir3and 1174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
403, 39sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4140adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  C  e.  D )
4215ralrimiva 2873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
43 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4443eleq1d 2531 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4544rspcv 3205 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4639, 42, 45sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
47 difrp 11244 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4846, 13, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4948biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )
50 cncfi 21128 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
512, 41, 49, 50syl3anc 1223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
52 ssralv 3559 . . . . . . 7  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
533, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
5453ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
559ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
5629ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
57 rphalfcl 11235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 11247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR )
6056, 59readdcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  e.  RR )
61 ifcl 3976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  RR )
6255, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR )
638ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
6432ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  C )
6516simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
668rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
679rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
688, 9, 14ltled 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
69 ubicc2 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
71 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7271eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7372rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7470, 42, 73sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
75 lttr 9652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  C )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7646, 13, 74, 75syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7765, 76mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
)
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B
) )
8046ltnrd 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
81 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
8281breq2d 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
8382notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
8480, 83syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
8584necon2ad 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
8685, 36jctild 543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
8729, 9ltlend 9720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
8886, 87sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
9079, 89mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  B )
9156, 58ltaddrpd 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )
92 breq2 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  B  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
93 breq2 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  +  ( z  /  2 ) )  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <-> 
C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
9492, 93ifboth 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  <  B  /\  C  <  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  ->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) )
9590, 91, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9656, 62, 95ltled 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9763, 56, 62, 64, 96letrd 9729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
98 min1 11380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_  B )
9955, 60, 98syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B )
100 elicc2 11580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
1018, 9, 100syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
10362, 97, 99, 102mpbir3and 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
10456, 62, 96abssubge0d 13214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )
105 rpre 11217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
10756, 106readdcld 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  z )  e.  RR )
108 min2 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )
10955, 60, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) )
110 rphalflt 11237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  <  z )
11259, 106, 56, 111ltadd2dd 9731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <  ( C  +  z ) )
11362, 60, 107, 109, 112lelttrd 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <  ( C  +  z ) )
11462, 56, 106ltsubadd2d 10141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C )  <  z  <->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  <  ( C  +  z ) ) )
115113, 114mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C )  <  z )
116104, 115eqbrtrd 4462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  <  z )
117 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( y  -  C
)  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )
118117fveq2d 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
y  -  C ) )  =  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) ) )
119118breq1d 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  <->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z ) )
120 breq2 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  y  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
121119, 120anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y )  <-> 
( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )  <  z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) ) )
122121rspcev 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y ) )
123103, 116, 95, 122syl12anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )
124 r19.29 2992 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) ) )
125 pm3.45 831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) ) )
126125imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) )
127 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  <  y )
128 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
129 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ph )
130129, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
131 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
132131eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
133132rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
134128, 130, 133sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
135129, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  RR )
136129, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  RR )
137136, 135resubcld 9978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR )
138134, 135, 137absdifltd 13216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `
 C ) ) ) ) ) )
139 ltle 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  y )  <  U  ->  ( F `  y
)  <_  U )
)
140134, 136, 139syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  U  ->  ( F `  y )  <_  U ) )
141135recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
142136recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  CC )
143141, 142pncan3d 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  C
)  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  =  U )
144143breq2d 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <->  ( F `  y )  <  U
) )
145131breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
146145, 5elrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
147146baib 898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
148147ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
149140, 144, 1483imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  y  e.  S ) )
150 suprub 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
151150, 4syl6breqr 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  C )
152151ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  ( y  e.  S  ->  y  <_  C ) )
153129, 26, 1523syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  C )
)
154129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155154, 128sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  RR )
156129, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  e.  RR )
157155, 156lenltd 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  <_  C  <->  -.  C  <  y ) )
158153, 157sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  ->  -.  C  <  y ) )
159149, 158syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
160159adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( ( ( F `
 C )  -  ( U  -  ( F `  C )
) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
161138, 160sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  C  <  y ) )
162127, 161mt2d 117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )
163162pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
164163expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( C  <  y  ->  ( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
) )
165164com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  -> 
( C  <  y  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) ) )
166165impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
167126, 166syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
168167rexlimdva 2950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
169124, 168syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
170123, 169mpan2d 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17154, 170syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
172171rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17351, 172mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  -.  ( F `  C )  <  U )
174173pm2.01da 442 1  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ifcif 3934   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   CCcc 9481   RRcr 9482    + caddc 9486   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796    / cdiv 10197   2c2 10576   RR+crp 11211   [,]cicc 11523   abscabs 13019   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-icc 11527  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  ivthlem3  21595
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