Theorem iunxun 4327

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3589	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 4247	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 4247	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 523	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 255	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 4247	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3549	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 280	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2425	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 369   = wceq 1437   e. wcel 1872   E.wrex 2715   u. cun 3377   U_ciun 4242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-un 3384  df-iun 4244

This theorem is referenced by:  iunsuc  5467  funiunfv  6112  iunfi  7815  kmlem11  8541  ackbij1lem9  8609  fsum2dlem  13774  fsumiun  13824  fprod2dlem  13977  prmreclem4  14806  fiuncmp  20361  ovolfiniun  22396  finiunmbl  22439  volfiniun  22442  voliunlem1  22445  uniioombllem4  22486  iunxdif3  28121  iuninc  28122  ofpreima2  28215  indval2  28788  esum2dlem  28865  sigaclfu2  28895  fiunelros  28948  measvuni  28988  cvmliftlem10  29969  mrsubvrs  30112  mblfinlem2  31885  dfrcl4  36181  iunrelexp0  36207  comptiunov2i  36211  corclrcl  36212  trclfvdecomr  36233  dfrtrcl4  36243  corcltrcl  36244  cotrclrcl  36247  fiiuncl  37322  iunp1  37323  sge0iunmptlemfi  38106  iunxprg  38812