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Theorem iunxdif3 28223
Description: An indexed union where some terms are the empty set. See iunxdif2 4339. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunxdif3.1  |-  F/_ x E
Assertion
Ref Expression
iunxdif3  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  \  E
) B  =  U_ x  e.  A  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    E( x)

Proof of Theorem iunxdif3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3664 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  E )  C_  E
21nfth 1686 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A  i^i  E
)  C_  E
3 nfcv 2602 . . . . . . 7  |-  F/_ y U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B
4 nfcv 2602 . . . . . . 7  |-  F/_ y U_ x  e.  E  B
5 nfcv 2602 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x A
6 iunxdif3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x E
75, 6nfin 3650 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( A  i^i  E
)
87, 6ssrexf 3503 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  E ) y  e.  B  ->  E. x  e.  E  y  e.  B ) )
9 eliun 4296 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  <->  E. x  e.  ( A  i^i  E
) y  e.  B
)
10 eliun 4296 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  E  B  <->  E. x  e.  E  y  e.  B )
118, 9, 103imtr4g 278 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  ->  y  e.  U_ x  e.  E  B ) )
122, 3, 4, 11ssrd 3448 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  U_ x  e.  E  B )
131, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  U_ x  e.  E  B
14 iuneq2 4308 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  E  B  =  U_ x  e.  E  (/) )
15 iun0 4347 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  E  (/)  =  (/)
1614, 15syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  E  B  =  (/) )
1713, 16syl5sseq 3491 . . . 4  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  (/) )
18 ss0 3776 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  C_  (/) 
->  U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  =  (/) )
1917, 18syl 17 . . 3  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  =  (/) )
2019uneq1d 3598 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B ) )
21 iunxun 4376 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )
22 inundif 3856 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A  \  E ) )  =  A
2322nfth 1686 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) )  =  A
245, 6nfdif 3565 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( A  \  E
)
257, 24nfun 3601 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) )
2622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  (
( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A )
27 eqidd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  B  =  B )
2823, 25, 5, 26, 27iuneq12df 4315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  U_ x  e.  A  B )
2922, 28ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  U_ x  e.  A  B
3021, 29eqtr3i 2485 . . 3  |-  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  U_ x  e.  A  B
3130a1i 11 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  U_ x  e.  A  B )
32 uncom 3589 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  (
U_ x  e.  ( A  \  E ) B  u.  (/) )
33 un0 3770 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  ( A  \  E ) B  u.  (/) )  =  U_ x  e.  ( A  \  E
) B
3432, 33eqtri 2483 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  U_ x  e.  ( A  \  E ) B
3534a1i 11 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  U_ x  e.  ( A  \  E
) B )
3620, 31, 353eqtr3rd 2504 1  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  \  E
) B  =  U_ x  e.  A  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1454    e. wcel 1897   F/_wnfc 2589   A.wral 2748   E.wrex 2749    \ cdif 3412    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   U_ciun 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-iun 4293
This theorem is referenced by:  aciunf1  28313
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