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Theorem iunxdif3 28171
Description: An indexed union where some terms are the empty set. See iunxdif2 4345 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunxdif3.1  |-  F/_ x E
Assertion
Ref Expression
iunxdif3  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  \  E
) B  =  U_ x  e.  A  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    E( x)

Proof of Theorem iunxdif3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3684 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  E )  C_  E
21nfth 1673 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A  i^i  E
)  C_  E
3 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ y U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B
4 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ y U_ x  e.  E  B
5 nfcv 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x A
6 iunxdif3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x E
75, 6nfin 3670 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( A  i^i  E
)
87, 6ssrexf 3525 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  E ) y  e.  B  ->  E. x  e.  E  y  e.  B ) )
9 eliun 4302 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  <->  E. x  e.  ( A  i^i  E
) y  e.  B
)
10 eliun 4302 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  E  B  <->  E. x  e.  E  y  e.  B )
118, 9, 103imtr4g 274 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  ->  y  e.  U_ x  e.  E  B ) )
122, 3, 4, 11ssrd 3470 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  E ) 
C_  E  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  U_ x  e.  E  B )
131, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  U_ x  e.  E  B
14 iuneq2 4314 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  E  B  =  U_ x  e.  E  (/) )
15 iun0 4353 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  E  (/)  =  (/)
1614, 15syl6eq 2480 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  E  B  =  (/) )
1713, 16syl5sseq 3513 . . . 4  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  C_  (/) )
18 ss0 3794 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  C_  (/) 
->  U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  =  (/) )
1917, 18syl 17 . . 3  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  i^i  E
) B  =  (/) )
2019uneq1d 3620 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B ) )
21 iunxun 4382 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )
22 inundif 3874 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A  \  E ) )  =  A
2322nfth 1673 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) )  =  A
245, 6nfdif 3587 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( A  \  E
)
257, 24nfun 3623 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) )
2622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  (
( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A )
27 eqidd 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  B  =  B )
2823, 25, 5, 26, 27iuneq12df 4321 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) )  =  A  ->  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  U_ x  e.  A  B )
2922, 28ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) ) B  =  U_ x  e.  A  B
3021, 29eqtr3i 2454 . . 3  |-  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  U_ x  e.  A  B
3130a1i 11 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  ( A  i^i  E ) B  u.  U_ x  e.  ( A 
\  E ) B )  =  U_ x  e.  A  B )
32 uncom 3611 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  (
U_ x  e.  ( A  \  E ) B  u.  (/) )
33 un0 3788 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  ( A  \  E ) B  u.  (/) )  =  U_ x  e.  ( A  \  E
) B
3432, 33eqtri 2452 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  U_ x  e.  ( A  \  E ) B
3534a1i 11 . 2  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  ( A  \  E ) B )  =  U_ x  e.  ( A  \  E
) B )
3620, 31, 353eqtr3rd 2473 1  |-  ( A. x  e.  E  B  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( A  \  E
) B  =  U_ x  e.  A  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1438    e. wcel 1869   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   E.wrex 2777    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   U_ciun 4297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-iun 4299
This theorem is referenced by:  aciunf1  28261
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