Theorem iununiOLD 3332

Description: A relationship involving union and indexed union. Exercise 25 of [Enderton] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
iununiOLD	|- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iununiOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 251	. . . . . 6 |- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (-. B = (/) \/ A = (/)))
2		df-ne 2019	. . . . . . . . 9 |- (B =/= (/) <-> -. B = (/))
3		r19.45zv 2966	. . . . . . . . 9 |- (B =/= (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
4	2, 3	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- (-. B = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
5		n0i 2880	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> -. A = (/))
6	5	con2i 113	. . . . . . . . 9 |- (A = (/) -> -. y e. A)
7		biorf 807	. . . . . . . . . . 11 |- (-. y e. A -> (y e. x <-> (y e. A \/ y e. x)))
8	7	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
9		biorf 807	. . . . . . . . . 10 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
10	8, 9	bitr3d 589	. . . . . . . . 9 |- (-. y e. A -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
11	6, 10	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
12	4, 11	jaoi 368	. . . . . . 7 |- ((-. B = (/) \/ A = (/)) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
13	12	bicomd 580	. . . . . 6 |- ((-. B = (/) \/ A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
14	1, 13	sylbi 216	. . . . 5 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
15		elun 2741	. . . . . 6 |- (y e. (A u. x) <-> (y e. A \/ y e. x))
16	15	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x))
17	14, 16	syl6bbr 597	. . . 4 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x)))
18		elun 2741	. . . . 5 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ y e. U.B))
19		eluni2 3181	. . . . . 6 |- (y e. U.B <-> E.x e. B y e. x)
20	19	orbi2i 275	. . . . 5 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
21	18, 20	bitri 190	. . . 4 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
22		eliun 3259	. . . 4 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x))
23	17, 21, 22	3bitr4g 614	. . 3 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
24	23	eqrdv 1882	. 2 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))
25		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
26		eluni 3180	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. U.B <-> E.x(y e. x /\ x e. B))
27	26	orbi2i 275	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
28		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> A.x y e. A)
29	28	19.45 1442	. . . . . . . . . 10 |- (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
30	27, 18, 29	3bitr4i 200	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A u. U.B) <-> E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
31		df-rex 2110	. . . . . . . . . 10 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
32	22, 31	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
33	25, 30, 32	3bitr3g 613	. . . . . . . 8 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
34	33	biimpd 170	. . . . . . 7 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
35		19.39 1433	. . . . . . 7 |- ((E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))))
36		orc 291	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
37		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ y e. (A u. x)) -> x e. B)
38	36, 37	imim12i 21	. . . . . . . 8 |- (((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> (y e. A -> x e. B))
39	38	eximi 1387	. . . . . . 7 |- (E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x(y e. A -> x e. B))
40	34, 35, 39	3syl 24	. . . . . 6 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> E.x(y e. A -> x e. B))
41		19.37v 1683	. . . . . 6 |- (E.x(y e. A -> x e. B) <-> (y e. A -> E.x x e. B))
42	40, 41	sylib 215	. . . . 5 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. A -> E.x x e. B))
43	42	19.23adv 1584	. . . 4 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.y y e. A -> E.x x e. B))
44		neq0 2885	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.y y e. A)
45		neq0 2885	. . . 4 |- (-. B = (/) <-> E.x x e. B)
46	43, 44, 45	3imtr4g 612	. . 3 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
47	46	con4d 91	. 2 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (B = (/) -> A = (/)))
48	24, 47	impbii 174	1 |- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106   u. cun 2591  (/)c0 2875  U.cuni 3177  U_ciun 3255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-uni 3178  df-iun 3257

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