Theorem iununi 3331

Description: A relationship involving union and indexed union. Exercise 25 of [Enderton] p. 33. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iununi	|- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iununi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- (B =/= (/) <-> -. B = (/))
2		r19.45zv 2966	. . . . . . . 8 |- (B =/= (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
3	1, 2	sylbir 218	. . . . . . 7 |- (-. B = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
4		n0i 2880	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> -. A = (/))
5	4	con2i 113	. . . . . . . 8 |- (A = (/) -> -. y e. A)
6		biorf 807	. . . . . . . . . 10 |- (-. y e. A -> (y e. x <-> (y e. A \/ y e. x)))
7	6	rexbidv 2124	. . . . . . . . 9 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
8		biorf 807	. . . . . . . . 9 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
9	7, 8	bitr3d 589	. . . . . . . 8 |- (-. y e. A -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
10	5, 9	syl 12	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
11	3, 10	ja 152	. . . . . 6 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
12	11	bicomd 580	. . . . 5 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
13		elun 2741	. . . . . 6 |- (y e. (A u. x) <-> (y e. A \/ y e. x))
14	13	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x))
15	12, 14	syl6bbr 597	. . . 4 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x)))
16		elun 2741	. . . . 5 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ y e. U.B))
17		eluni2 3181	. . . . . 6 |- (y e. U.B <-> E.x e. B y e. x)
18	17	orbi2i 275	. . . . 5 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
19	16, 18	bitri 190	. . . 4 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
20		eliun 3259	. . . 4 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x))
21	15, 19, 20	3bitr4g 614	. . 3 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
22	21	eqrdv 1882	. 2 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))
23		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
24		eluni 3180	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. U.B <-> E.x(y e. x /\ x e. B))
25	24	orbi2i 275	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
26		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> A.x y e. A)
27	26	19.45 1442	. . . . . . . . . 10 |- (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
28	25, 16, 27	3bitr4i 200	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A u. U.B) <-> E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
29		df-rex 2110	. . . . . . . . . 10 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
30	20, 29	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
31	23, 28, 30	3bitr3g 613	. . . . . . . 8 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
32	31	biimpd 170	. . . . . . 7 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
33		19.39 1433	. . . . . . 7 |- ((E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))))
34		orc 291	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
35		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ y e. (A u. x)) -> x e. B)
36	34, 35	imim12i 21	. . . . . . . 8 |- (((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> (y e. A -> x e. B))
37	36	eximi 1387	. . . . . . 7 |- (E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x(y e. A -> x e. B))
38	32, 33, 37	3syl 24	. . . . . 6 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> E.x(y e. A -> x e. B))
39		19.37v 1683	. . . . . 6 |- (E.x(y e. A -> x e. B) <-> (y e. A -> E.x x e. B))
40	38, 39	sylib 215	. . . . 5 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. A -> E.x x e. B))
41	40	19.23adv 1584	. . . 4 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.y y e. A -> E.x x e. B))
42		neq0 2885	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.y y e. A)
43		neq0 2885	. . . 4 |- (-. B = (/) <-> E.x x e. B)
44	41, 42, 43	3imtr4g 612	. . 3 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
45	44	con4d 91	. 2 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (B = (/) -> A = (/)))
46	22, 45	impbii 174	1 |- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106   u. cun 2591  (/)c0 2875  U.cuni 3177  U_ciun 3255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-uni 3178  df-iun 3257

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