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Theorem iunrelexpuztr 36282
Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 13124. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunrelexp.def  |-  C  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n ) )
Assertion
Ref Expression
iunrelexpuztr  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C `  R
)  o.  ( C `
 R ) ) 
C_  ( C `  R ) )
Distinct variable groups:    n, r, C, N    n, M    R, n, r    n, V
Allowed substitution hints:    M( r)    V( r)

Proof of Theorem iunrelexpuztr
Dummy variables  x  y  z  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6334 . . . . . . . . 9  |-  ( j  +  i )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
j  +  i )  e.  _V )
3 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  j  e.  N )
4 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  N  =  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
7 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  i  e.  N )
87, 4eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9 eluznn0 11236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
i  e.  NN0 )
106, 8, 9syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  i  e.  NN0 )
11 uzaddcl 11223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
j  +  i )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
125, 10, 11syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  ( j  +  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  n  =  ( j  +  i ) )
1412, 13, 43eltr4d 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  n  e.  N )
15 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
16 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
17 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
18 brcogw 5022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  y  e.  _V )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) )  ->  x ( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r  i ) ) z )
1918ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  (
( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z )  ->  x ( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r  i ) ) z ) )
2015, 16, 17, 19mp3an 1360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z )  ->  x
( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r 
i ) ) z )
21 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
22 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  N )
23 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  N  =  ( ZZ>= `  M ) )
2422, 23eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  ( ZZ>= `  M ) )
25 eluznn0 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
2621, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  NN0 )
27 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  N )
2827, 23eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2921, 28, 9syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  NN0 )
30 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e.  V )
31 relexpaddss 36281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r 
j )  o.  ( R ^r  i ) )  C_  ( R ^r  ( j  +  i ) ) )
3226, 29, 30, 31syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r 
i ) )  C_  ( R ^r 
( j  +  i ) ) )
33 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  n  =  ( j  +  i ) )
3433oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R ^r 
n )  =  ( R ^r  ( j  +  i ) ) )
3532, 34sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r 
i ) )  C_  ( R ^r 
n ) )
3635ssbrd 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( x ( ( R ^r  j )  o.  ( R ^r  i ) ) z  ->  x
( R ^r 
n ) z ) )
3720, 36syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( x ( R ^r  i ) y  /\  y
( R ^r 
j ) z )  ->  x ( R ^r  n ) z ) )
3837impr 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  x ( R ^r  n ) z )
3914, 38jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  /\  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )  ->  ( n  e.  N  /\  x
( R ^r 
n ) z ) )
4039ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>=
`  M )  /\  M  e.  NN0 )  /\  n  =  ( j  +  i ) )  ->  ( ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  ( x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) )  ->  ( n  e.  N  /\  x ( R ^r  n ) z ) ) )
412, 40spcimedv 3165 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  (
x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) )  ->  E. n ( n  e.  N  /\  x ( R ^r  n ) z ) ) )
4241exlimdvv 1773 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( E. i E. j ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  ( x
( R ^r 
i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) )  ->  E. n
( n  e.  N  /\  x ( R ^r  n ) z ) ) )
43 reeanv 2993 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  N  E. j  e.  N  (
x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z )  <->  ( E. i  e.  N  x
( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z ) )
44 r2ex 2948 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  N  E. j  e.  N  (
x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z )  <->  E. i E. j ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  (
x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )
4543, 44bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  <->  E. i E. j ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  (
x ( R ^r  i ) y  /\  y ( R ^r  j ) z ) ) )
46 df-rex 2777 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  N  x ( R ^r 
n ) z  <->  E. n
( n  e.  N  /\  x ( R ^r  n ) z ) )
4742, 45, 463imtr4g 273 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) )
4847alrimiv 1767 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. z
( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) )
4948alrimiv 1767 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) )
5049alrimiv 1767 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. x A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) )
51 cotr 5231 . . . . 5  |-  ( ( ( C `  R
)  o.  ( C `
 R ) ) 
C_  ( C `  R )  <->  A. x A. y A. z ( ( x ( C `
 R ) y  /\  y ( C `
 R ) z )  ->  x ( C `  R )
z ) )
52 mptiunrelexp.def . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n ) )
5352briunov2uz 36261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( x ( C `
 R ) y  <->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) y ) )
54 oveq2 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  i ) )
5554breqd 4434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  (
x ( R ^r  n ) y  <-> 
x ( R ^r  i ) y ) )
5655cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  N  x ( R ^r 
n ) y  <->  E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y )
5753, 56syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( x ( C `
 R ) y  <->  E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y ) )
5852briunov2uz 36261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( y ( C `
 R ) z  <->  E. n  e.  N  y ( R ^r  n ) z ) )
59 oveq2 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  j ) )
6059breqd 4434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
y ( R ^r  n ) z  <-> 
y ( R ^r  j ) z ) )
6160cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  N  y ( R ^r 
n ) z  <->  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )
6258, 61syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( y ( C `
 R ) z  <->  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z ) )
6357, 62anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( x ( C `  R ) y  /\  y ( C `  R ) z )  <->  ( E. i  e.  N  x
( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z ) ) )
6452briunov2uz 36261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( x ( C `
 R ) z  <->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) )
6563, 64imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( x ( C `  R
) y  /\  y
( C `  R
) z )  ->  x ( C `  R ) z )  <-> 
( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) ) )
6665albidv 1761 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( A. z ( ( x ( C `
 R ) y  /\  y ( C `
 R ) z )  ->  x ( C `  R )
z )  <->  A. z
( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) ) )
6766albidv 1761 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( A. y A. z ( ( x ( C `  R
) y  /\  y
( C `  R
) z )  ->  x ( C `  R ) z )  <->  A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) ) )
6867albidv 1761 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( A. x A. y A. z ( ( x ( C `  R ) y  /\  y ( C `  R ) z )  ->  x ( C `
 R ) z )  <->  A. x A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) ) )
6951, 68syl5bb 260 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C `
 R )  o.  ( C `  R
) )  C_  ( C `  R )  <->  A. x A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z ) ) )
7069biimprd 226 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( A. x A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r  i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r  j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z )  ->  (
( C `  R
)  o.  ( C `
 R ) ) 
C_  ( C `  R ) ) )
71703adant3 1025 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A. x A. y A. z ( ( E. i  e.  N  x ( R ^r 
i ) y  /\  E. j  e.  N  y ( R ^r 
j ) z )  ->  E. n  e.  N  x ( R ^r  n ) z )  ->  ( ( C `  R )  o.  ( C `  R
) )  C_  ( C `  R )
) )
7250, 71mpd 15 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C `  R
)  o.  ( C `
 R ) ) 
C_  ( C `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    + caddc 9550   NN0cn0 10877   ZZ>=cuz 11167   ^r crelexp 13084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-seq 12221  df-relexp 13085
This theorem is referenced by:  dftrcl3  36283  dfrtrcl3  36296
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