Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunrelexpmin1 Structured version   Unicode version

Theorem iunrelexpmin1 36270
Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers is the minimum transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin1.def  |-  C  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n ) )
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin1  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  A. s ( ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( C `  R
)  C_  s )
)
Distinct variable groups:    n, r, C, N    N, s    R, n, r    R, s    n, V, r    V, s, n
Allowed substitution hint:    C( s)

Proof of Theorem iunrelexpmin1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin1.def . . . . 5  |-  C  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  C  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n ) ) )
3 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  /\  r  =  R )  ->  N  =  NN )
4 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  /\  r  =  R )  ->  r  =  R )
54oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  /\  r  =  R )  ->  ( r ^r  n )  =  ( R ^r  n ) )
63, 5iuneq12d 4325 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  N  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n ) )
7 elex 3089 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
87adantr 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  R  e.  _V )
9 nnex 10622 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
10 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( R ^r  n )  e.  _V
119, 10iunex 6787 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  e. 
_V
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n )  e.  _V )
132, 6, 8, 12fvmptd 5970 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  ( C `  R
)  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) )
14 relexp1g 13089 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
1514sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  (
( R ^r 
1 )  C_  s  <->  R 
C_  s ) )
1615anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (
( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
)  <->  ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) ) )
17 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( R ^r  x )  =  ( R ^r  1 ) )
1817sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( R ^r 
x )  C_  s  <->  ( R ^r  1 )  C_  s )
)
1918imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  x ) 
C_  s )  <->  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  1 ) 
C_  s ) ) )
20 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( R ^r  x )  =  ( R ^r  y ) )
2120sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( R ^r 
x )  C_  s  <->  ( R ^r  y )  C_  s )
)
2221imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  x ) 
C_  s )  <->  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  y ) 
C_  s ) ) )
23 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( R ^r  x )  =  ( R ^r  ( y  +  1 ) ) )
2423sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( R ^r 
x )  C_  s  <->  ( R ^r  ( y  +  1 ) )  C_  s )
)
2524imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  x ) 
C_  s )  <->  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  ( y  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
26 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  ( R ^r  x )  =  ( R ^r  n ) )
2726sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
( R ^r 
x )  C_  s  <->  ( R ^r  n )  C_  s )
)
2827imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  x ) 
C_  s )  <->  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s ) ) )
29 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  1 ) 
C_  s )
30 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
y  e.  NN )
31 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
1  e.  NN )
33 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  ->  R  e.  V )
34 relexpaddnn 13114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  R  e.  V )  ->  (
( R ^r 
y )  o.  ( R ^r  1 ) )  =  ( R ^r  ( y  +  1 ) ) )
3530, 32, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( ( R ^r  y )  o.  ( R ^r 
1 ) )  =  ( R ^r 
( y  +  1 ) ) )
36 simp2rr 1075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( s  o.  s
)  C_  s )
37 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( R ^r 
y )  C_  s
)
38 simp2rl 1074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( R ^r 
1 )  C_  s
)
3936, 37, 38trrelssd 13037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( ( R ^r  y )  o.  ( R ^r 
1 ) )  C_  s )
4035, 39eqsstr3d 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  /\  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( R ^r 
( y  +  1 ) )  C_  s
)
41403exp 1204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  (
( R ^r 
y )  C_  s  ->  ( R ^r 
( y  +  1 ) )  C_  s
) ) )
4241a2d 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  y ) 
C_  s )  -> 
( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )
)  ->  ( R ^r  ( y  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
4319, 22, 25, 28, 29, 42nnind 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  ( R ^r  n ) 
C_  s ) )
4443com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( R ^r  n )  C_  s )
)
4544ralrimiv 2834 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  A. n  e.  NN  ( R ^r  n )  C_  s )
46 iunss 4340 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) 
C_  s  <->  A. n  e.  NN  ( R ^r  n )  C_  s )
4745, 46sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
) )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  C_  s )
4847ex 435 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (
( ( R ^r  1 )  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
)  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  C_  s ) )
4916, 48sylbird 238 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
( R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n )  C_  s
) )
5049adantr 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  ( ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
)  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  C_  s ) )
51 sseq1 3485 . . . . 5  |-  ( ( C `  R )  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  -> 
( ( C `  R )  C_  s  <->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) 
C_  s ) )
5251imbi2d 317 . . . 4  |-  ( ( C `  R )  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  -> 
( ( ( R 
C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( C `  R
)  C_  s )  <->  ( ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n )  C_  s
) ) )
5350, 52syl5ibr 224 . . 3  |-  ( ( C `  R )  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  -> 
( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  (
( R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( C `  R
)  C_  s )
) )
5413, 53mpcom 37 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  ( ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s )  C_  s
)  ->  ( C `  R )  C_  s
) )
5554alrimiv 1767 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  N  =  NN )  ->  A. s ( ( R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( C `  R
)  C_  s )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   U_ciun 4299    |-> cmpt 4482    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9547    + caddc 9549   NNcn 10616   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12220  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  dftrcl3  36282
  Copyright terms: Public domain W3C validator