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Theorem iunrelexp0 36294
Description: Simplification of zeroth power of indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
iunrelexp0 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Distinct variable groups:   x, R   x, V   x, Z
Proof of Theorem iunrelexp0
StepHypRef Expression
1 df-pr 3971 . . . . . . 7 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
21ineq1i 3630 . . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z )
3 indir 3691 . . . . . 6 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z ) = ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) )
42, 3eqtr2i 2474 . . . . 5 |- ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) = ( { 0 , 1 } i^i Z )
54uneq1i 3584 . . . 4 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) = ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z )
6 inss2 3653 . . . . 5 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z
7 ssequn1 3604 . . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z <-> ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z )
86, 7mpbi 212 . . . 4 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z
95, 8eqtr2i 2474 . . 3 |- Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z )
10 iuneq1 4292 . . . 4 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> U_ x e. Z ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) )
1110oveq1d 6305 . . 3 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) )
129, 11ax-mp 5 . 2 |- ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 )
13 dmiun 5043 . . . . . . 7 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x )
14 iunxun 4363 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
15 iunxun 4363 . . . . . . . . . 10 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1615equncomi 3580 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1716uneq1i 3584 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
1817equncomi 3580 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
1913, 14, 183eqtri 2477 . . . . . 6 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
20 rniun 5246 . . . . . . 7 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x )
21 iunxun 4363 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
22 iunxun 4363 . . . . . . . 8 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) )
2322uneq1i 3584 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2420, 21, 233eqtri 2477 . . . . . 6 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2519, 24uneq12i 3586 . . . . 5 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
26 uncom 3578 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
2726uneq1i 3584 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
28 un4 3594 . . . . . 6 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
2927, 28eqtri 2473 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
30 uncom 3578 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
3130uneq1i 3584 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
32 un4 3594 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3331, 32eqtri 2473 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3433uneq1i 3584 . . . . 5 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
3525, 29, 343eqtri 2477 . . . 4 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
36 df-ne 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) <-> -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) )
37 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( Z i^i { 0 , 1 } )
381ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i { 0 , 1 } ) = ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) )
39 indi 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4037, 38, 393eqtri 2477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4140eqeq1i 2456 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
42 un00 3800 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
43 anor 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4441, 42, 433bitr2i 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4544notbii 298 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
46 notnot 293 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
47 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. Z )
4847notbii 298 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. -. 0 e. Z )
49 notnot 293 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. Z <-> -. -. 0 e. Z )
5048, 49bitr4i 256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> 0 e. Z )
51 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. Z )
5251notbii 298 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. -. 1 e. Z )
53 notnot 293 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. Z <-> -. -. 1 e. Z )
5452, 53bitr4i 256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> 1 e. Z )
5550, 54orbi12i 524 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5645, 46, 553bitr2i 277 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5736, 56sylbb 201 . . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
58 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 0 e. Z )
5958snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 0 } C_ Z )
60 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { 0 } C_ Z <-> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6159, 60sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6261iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) )
63 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
64 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 0 ) )
6564dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
6663, 65iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 )
6762, 66syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
68 relexp0g 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. V -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
6968ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
7069dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
71 dmresi 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
7270, 71syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
7367, 72eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
7461iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) )
7564rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7663, 75iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 )
7774, 76syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7869rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
79 rnresi 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8078, 79syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
8177, 80eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
8273, 81uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
83 unidm 3577 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8482, 83syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
8584uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) )
86 relexpdmg 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8786expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
8887ralrimiv 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8988ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
90 olc 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
9190ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
92 inss 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9493sseld 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
9594imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
9695ralimdv2 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
9789, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
98 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
9997, 98sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
100 relexprng 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
101100expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
102101ralrimiv 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
103102ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10494imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
105104ralimdv2 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
107 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
108106, 107sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10999, 108unssd 3610 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
110 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
111109, 110sylib 200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
11285, 111eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
113112ex 436 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
114 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 1 e. Z )
115114snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 1 } C_ Z )
116 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { 1 } C_ Z <-> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
117115, 116sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
118117iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) )
119 1ex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. _V
120 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 1 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 1 ) )
121120dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
122119, 121iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 )
123118, 122syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
124 relexp1g 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
125124ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 1 ) = R )
126125dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 1 ) = dom R )
127123, 126eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom R )
128117iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) )
129120rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
130119, 129iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 )
131128, 130syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
132125rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 1 ) = ran R )
133131, 132eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran R )
134127, 133uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
135134uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
13688ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
137 olc 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
138137ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
139 inss 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
141140sseld 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
142141imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
143142ralimdv2 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
144136, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
145 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
146144, 145sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
147102ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
148141imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
149148ralimdv2 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
150147, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
151 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
152150, 151sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
153146, 152unssd 3610 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
154 ssequn1 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
155153, 154sylib 200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
156135, 155eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
157156ex 436 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
158113, 157jaoi 381 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
15957, 158syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
1601593impib 1206 . . . . . . 7 |- ( ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) /\ Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
1611603com13 1213 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
162161uneq1d 3587 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) )
16388adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
164 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z C_ NN0 -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
165164adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
166165imim1d 78 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
167166ralimdv2 2795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
168163, 167mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
169 iunss 4319 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
170168, 169sylibr 216 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
171102adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
172165imim1d 78 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
173172ralimdv2 2795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
174171, 173mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
175 iunss 4319 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
176174, 175sylibr 216 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
177170, 176unssd 3610 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
1781773adant3 1028 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
179 ssequn2 3607 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
180178, 179sylib 200 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
181162, 180eqtrd 2485 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
18235, 181syl5eq 2497 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
183 nn0ex 10875 . . . . . . 7 |- NN0 e. _V
184183ssex 4547 . . . . . 6 |- ( Z C_ NN0 -> Z e. _V )
185 incom 3625 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i Z )
186 inex1g 4546 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 0 } ) e. _V )
187185, 186syl5eqelr 2534 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 0 } i^i Z ) e. _V )
188 incom 3625 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 1 } ) = ( { 1 } i^i Z )
189 inex1g 4546 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 1 } ) e. _V )
190188, 189syl5eqelr 2534 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 1 } i^i Z ) e. _V )
191 unexg 6592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) e. _V /\ ( { 1 } i^i Z ) e. _V ) -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
192187, 190, 191syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( Z e. _V -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
193 unexg 6592 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
194192, 193mpancom 675 . . . . . . 7 |- ( Z e. _V -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
195 ovex 6318 . . . . . . . 8 |- ( R ^r x ) e. _V
196195rgenw 2749 . . . . . . 7 |- A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V
197 iunexg 6769 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V /\ A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
198194, 196, 197sylancl 668 . . . . . 6 |- ( Z e. _V -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
199184, 198syl 17 . . . . 5 |- ( Z C_ NN0 -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
2001993ad2ant2 1030 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
201 simp1 1008 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> R e. V )
202 relexp0eq 36293 . . . 4 |- ( ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V /\ R e. V ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
203200, 201, 202syl2anc 667 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
204182, 203mpbid 214 . 2 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
20512, 204syl5eq 2497 1 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   U_ciun 4278   _I cid 4744   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   NN0cn0 10869   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-relexp 13084
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