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Theorem iunrelexp0 36365
Description: Simplification of zeroth power of indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
iunrelexp0 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Distinct variable groups:   x, R   x, V   x, Z
Proof of Theorem iunrelexp0
StepHypRef Expression
1 df-pr 3962 . . . . . . 7 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
21ineq1i 3621 . . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z )
3 indir 3682 . . . . . 6 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z ) = ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) )
42, 3eqtr2i 2494 . . . . 5 |- ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) = ( { 0 , 1 } i^i Z )
54uneq1i 3575 . . . 4 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) = ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z )
6 inss2 3644 . . . . 5 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z
7 ssequn1 3595 . . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z <-> ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z )
86, 7mpbi 213 . . . 4 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z
95, 8eqtr2i 2494 . . 3 |- Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z )
10 iuneq1 4283 . . . 4 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> U_ x e. Z ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) )
1110oveq1d 6323 . . 3 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) )
129, 11ax-mp 5 . 2 |- ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 )
13 dmiun 5049 . . . . . . 7 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x )
14 iunxun 4354 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
15 iunxun 4354 . . . . . . . . . 10 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1615equncomi 3571 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1716uneq1i 3575 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
1817equncomi 3571 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
1913, 14, 183eqtri 2497 . . . . . 6 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
20 rniun 5252 . . . . . . 7 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x )
21 iunxun 4354 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
22 iunxun 4354 . . . . . . . 8 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) )
2322uneq1i 3575 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2420, 21, 233eqtri 2497 . . . . . 6 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2519, 24uneq12i 3577 . . . . 5 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
26 uncom 3569 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
2726uneq1i 3575 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
28 un4 3585 . . . . . 6 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
2927, 28eqtri 2493 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
30 uncom 3569 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
3130uneq1i 3575 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
32 un4 3585 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3331, 32eqtri 2493 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3433uneq1i 3575 . . . . 5 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
3525, 29, 343eqtri 2497 . . . 4 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
36 df-ne 2643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) <-> -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) )
37 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( Z i^i { 0 , 1 } )
381ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i { 0 , 1 } ) = ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) )
39 indi 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4037, 38, 393eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4140eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
42 un00 3804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
43 anor 497 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4441, 42, 433bitr2i 281 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4544notbii 303 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
46 notnot 297 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
47 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. Z )
4847notbii 303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. -. 0 e. Z )
49 notnot 297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. Z <-> -. -. 0 e. Z )
5048, 49bitr4i 260 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> 0 e. Z )
51 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. Z )
5251notbii 303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. -. 1 e. Z )
53 notnot 297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. Z <-> -. -. 1 e. Z )
5452, 53bitr4i 260 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> 1 e. Z )
5550, 54orbi12i 530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5645, 46, 553bitr2i 281 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5736, 56sylbb 202 . . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
58 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 0 e. Z )
5958snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 0 } C_ Z )
60 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { 0 } C_ Z <-> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6159, 60sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6261iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) )
63 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
64 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 0 ) )
6564dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
6663, 65iunxsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 )
6762, 66syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
68 relexp0g 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. V -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
6968ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
7069dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
71 dmresi 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
7270, 71syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
7367, 72eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
7461iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) )
7564rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7663, 75iunxsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 )
7774, 76syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7869rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
79 rnresi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8078, 79syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
8177, 80eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
8273, 81uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
83 unidm 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8482, 83syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
8584uneq1d 3578 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) )
86 relexpdmg 13182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8786expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
8887ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8988ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
90 olc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
9190ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
92 inss 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9493sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
9594imim1d 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
9695ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
9789, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
98 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
9997, 98sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
100 relexprng 13186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
101100expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
102101ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
103102ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10494imim1d 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
105104ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
107 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
108106, 107sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10999, 108unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
110 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
111109, 110sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
11285, 111eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
113112ex 441 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
114 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 1 e. Z )
115114snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 1 } C_ Z )
116 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { 1 } C_ Z <-> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
117115, 116sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
118117iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) )
119 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. _V
120 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 1 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 1 ) )
121120dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
122119, 121iunxsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 )
123118, 122syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
124 relexp1g 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
125124ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 1 ) = R )
126125dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 1 ) = dom R )
127123, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom R )
128117iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) )
129120rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
130119, 129iunxsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 )
131128, 130syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
132125rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 1 ) = ran R )
133131, 132eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran R )
134127, 133uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
135134uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
13688ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
137 olc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
138137ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
139 inss 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
141140sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
142141imim1d 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
143142ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
144136, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
145 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
146144, 145sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
147102ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
148141imim1d 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
149148ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
150147, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
151 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
152150, 151sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
153146, 152unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
154 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
155153, 154sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
156135, 155eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
157156ex 441 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
158113, 157jaoi 386 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
15957, 158syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
1601593impib 1229 . . . . . . 7 |- ( ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) /\ Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
1611603com13 1236 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
162161uneq1d 3578 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) )
16388adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
164 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z C_ NN0 -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
165164adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
166165imim1d 77 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
167166ralimdv2 2804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
168163, 167mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
169 iunss 4310 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
170168, 169sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
171102adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
172165imim1d 77 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
173172ralimdv2 2804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
174171, 173mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
175 iunss 4310 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
176174, 175sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
177170, 176unssd 3601 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
1781773adant3 1050 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
179 ssequn2 3598 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
180178, 179sylib 201 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
181162, 180eqtrd 2505 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
18235, 181syl5eq 2517 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
183 nn0ex 10899 . . . . . . 7 |- NN0 e. _V
184183ssex 4540 . . . . . 6 |- ( Z C_ NN0 -> Z e. _V )
185 incom 3616 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i Z )
186 inex1g 4539 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 0 } ) e. _V )
187185, 186syl5eqelr 2554 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 0 } i^i Z ) e. _V )
188 incom 3616 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 1 } ) = ( { 1 } i^i Z )
189 inex1g 4539 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 1 } ) e. _V )
190188, 189syl5eqelr 2554 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 1 } i^i Z ) e. _V )
191 unexg 6611 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) e. _V /\ ( { 1 } i^i Z ) e. _V ) -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
192187, 190, 191syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( Z e. _V -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
193 unexg 6611 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
194192, 193mpancom 682 . . . . . . 7 |- ( Z e. _V -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
195 ovex 6336 . . . . . . . 8 |- ( R ^r x ) e. _V
196195rgenw 2768 . . . . . . 7 |- A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V
197 iunexg 6788 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V /\ A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
198194, 196, 197sylancl 675 . . . . . 6 |- ( Z e. _V -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
199184, 198syl 17 . . . . 5 |- ( Z C_ NN0 -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
2001993ad2ant2 1052 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
201 simp1 1030 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> R e. V )
202 relexp0eq 36364 . . . 4 |- ( ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V /\ R e. V ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
203200, 201, 202syl2anc 673 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
204182, 203mpbid 215 . 2 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
20512, 204syl5eq 2517 1 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269   _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   NN0cn0 10893   ^r crelexp 13160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161
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