Theorem iunpw 3858

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33.

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- (E.x e. A x = U.A <-> ~PU.A = U_x e. A ~Px)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 2639	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (y C_ x <-> y C_ U.A))
2	1	biimprcd 173	. . . . . . 7 |- (y C_ U.A -> (x = U.A -> y C_ x))
3	2	reximdv 2202	. . . . . 6 |- (y C_ U.A -> (E.x e. A x = U.A -> E.x e. A y C_ x))
4	3	com12 14	. . . . 5 |- (E.x e. A x = U.A -> (y C_ U.A -> E.x e. A y C_ x))
5		ssiun 3293	. . . . . 6 |- (E.x e. A y C_ x -> y C_ U_x e. A x)
6		uniiun 3306	. . . . . 6 |- U.A = U_x e. A x
7	5, 6	syl6ssr 2664	. . . . 5 |- (E.x e. A y C_ x -> y C_ U.A)
8	4, 7	impbid1 575	. . . 4 |- (E.x e. A x = U.A -> (y C_ U.A <-> E.x e. A y C_ x))
9		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	elpw 3037	. . . 4 |- (y e. ~PU.A <-> y C_ U.A)
11		eliun 3259	. . . . 5 |- (y e. U_x e. A ~Px <-> E.x e. A y e. ~Px)
12		df-pw 3035	. . . . . . 7 |- ~Px = {y | y C_ x}
13	12	abeq2i 2001	. . . . . 6 |- (y e. ~Px <-> y C_ x)
14	13	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. ~Px <-> E.x e. A y C_ x)
15	11, 14	bitri 190	. . . 4 |- (y e. U_x e. A ~Px <-> E.x e. A y C_ x)
16	8, 10, 15	3bitr4g 614	. . 3 |- (E.x e. A x = U.A -> (y e. ~PU.A <-> y e. U_x e. A ~Px))
17	16	eqrdv 1882	. 2 |- (E.x e. A x = U.A -> ~PU.A = U_x e. A ~Px)
18		ssid 2634	. . . . 5 |- U.A C_ U.A
19		eleq2 1958	. . . . . 6 |- (~PU.A = U_x e. A ~Px -> (U.A e. ~PU.A <-> U.A e. U_x e. A ~Px))
20		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
21	20	uniex 3794	. . . . . . 7 |- U.A e. _V
22	21	elpw 3037	. . . . . 6 |- (U.A e. ~PU.A <-> U.A C_ U.A)
23	19, 22	syl5bbr 593	. . . . 5 |- (~PU.A = U_x e. A ~Px -> (U.A C_ U.A <-> U.A e. U_x e. A ~Px))
24	18, 23	mpbii 210	. . . 4 |- (~PU.A = U_x e. A ~Px -> U.A e. U_x e. A ~Px)
25		eliun 3259	. . . 4 |- (U.A e. U_x e. A ~Px <-> E.x e. A U.A e. ~Px)
26	24, 25	sylib 215	. . 3 |- (~PU.A = U_x e. A ~Px -> E.x e. A U.A e. ~Px)
27		elssuni 3206	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x C_ U.A)
28		elpwi 3039	. . . . . . 7 |- (U.A e. ~Px -> U.A C_ x)
29	27, 28	anim12i 360	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ U.A e. ~Px) -> (x C_ U.A /\ U.A C_ x))
30		eqss 2631	. . . . . 6 |- (x = U.A <-> (x C_ U.A /\ U.A C_ x))
31	29, 30	sylibr 217	. . . . 5 |- ((x e. A /\ U.A e. ~Px) -> x = U.A)
32	31	ex 402	. . . 4 |- (x e. A -> (U.A e. ~Px -> x = U.A))
33	32	reximia 2196	. . 3 |- (E.x e. A U.A e. ~Px -> E.x e. A x = U.A)
34	26, 33	syl 12	. 2 |- (~PU.A = U_x e. A ~Px -> E.x e. A x = U.A)
35	17, 34	impbii 174	1 |- (E.x e. A x = U.A <-> ~PU.A = U_x e. A ~Px)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  U_ciun 3255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-iun 3257

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