Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunopeqop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iunopeqop 39005
Description: Equivalence for an ordered pair equal to an indexed union of singletons of ordered pairs. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iunopeqop.b  |-  B  e. 
_V
iunopeqop.c  |-  C  e. 
_V
iunopeqop.d  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunopeqop  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) )
Distinct variable groups:    x, A, z    x, C    x, D
Allowed substitution hints:    B( x, z)    C( z)    D( z)

Proof of Theorem iunopeqop
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0snor2el 38996 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  x  =/=  y  \/  E. z  A  =  { z } ) )
2 nfiu1 4308 . . . . . 6  |-  F/_ x U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }
32nfeq1 2605 . . . . 5  |-  F/ x U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.
4 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ x E. z  A  =  { z }
53, 4nfim 2003 . . . 4  |-  F/ x
( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } )
6 ssiun2 4321 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  { <. x ,  B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
7 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
8 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
97, 8nfop 4182 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >.
109nfsn 4029 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }
1110, 2nfss 3425 . . . . . . . 8  |-  F/ x { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }
12 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
13 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1412, 13opeq12d 4174 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  B >.  =  <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. )
1514sneqd 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { <. x ,  B >. }  =  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )
1615sseq1d 3459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( { <. x ,  B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  <->  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } ) )
177, 11, 16, 6vtoclgaf 3112 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
186, 17anim12i 570 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( { <. x ,  B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  /\  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } 
C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } ) )
19 unss 3608 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. x ,  B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  /\  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } 
C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )  <->  ( { <. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
20 sseq2 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( {
<. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  <-> 
( { <. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  C_  <. C ,  D >. ) )
21 df-pr 3971 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. x ,  B >. ,  <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  =  ( { <. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )
2221eqcomi 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  =  { <. x ,  B >. ,  <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }
2322sseq1i 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } ) 
C_  <. C ,  D >.  <->  { <. x ,  B >. ,  <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  C_  <. C ,  D >. )
24 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
25 iunopeqop.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
26 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2725csbex 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ y  /  x ]_ B  e. 
_V
28 iunopeqop.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
_V
29 iunopeqop.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
3024, 25, 26, 27, 28, 29propssopi 39000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. x ,  B >. , 
<. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } 
C_  <. C ,  D >.  ->  x  =  y )
31 eqneqall 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  E. z  A  =  { z } ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. x ,  B >. , 
<. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } 
C_  <. C ,  D >.  ->  ( x  =/=  y  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  E. z  A  =  { z } ) ) )
3323, 32sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } ) 
C_  <. C ,  D >.  ->  ( x  =/=  y  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  E. z  A  =  { z } ) ) )
3420, 33syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( {
<. x ,  B >. }  u.  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  ->  ( x  =/=  y  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  E. z  A  =  { z } ) ) ) )
3534com14 91 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( { <. x ,  B >. }  u.  {
<. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. } )  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  ->  (
x  =/=  y  -> 
( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) ) ) )
3619, 35syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( { <. x ,  B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  /\  { <. y ,  [_ y  /  x ]_ B >. }  C_  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )  -> 
( x  =/=  y  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) ) ) )
3718, 36mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) ) )
3837rexlimdva 2879 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  A  x  =/=  y  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) ) )
395, 38rexlimi 2869 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  x  =/=  y  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) )
40 ax-1 6 . . 3  |-  ( E. z  A  =  {
z }  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) )
4139, 40jaoi 381 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  x  =/=  y  \/  E. z  A  =  {
z } )  -> 
( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) )
421, 41syl 17 1  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. }  =  <. C ,  D >.  ->  E. z  A  =  { z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [_csb 3363    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974   U_ciun 4278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-iun 4280
This theorem is referenced by:  funopsn  39018
  Copyright terms: Public domain W3C validator