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Theorem iunocv 19175
Description: The orthocomplement of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
iunocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
iunocv  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, W
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)   
._|_ ( x)

Proof of Theorem iunocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunss 4343 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  <->  A. x  e.  A  B  C_  V )
2 eliun 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32imbi1i 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
4 r19.23v 2912 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
53, 4bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
65albii 1687 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 df-ral 2787 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y
( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8 df-ral 2787 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
98ralbii 2863 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
10 ralcom4 3106 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
119, 10bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
126, 7, 113bitr4i 280 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
131, 12anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
14 r19.26 2962 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
1513, 14bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
16 eliin 4308 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )
) )
17 iunocv.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
19 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
20 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
21 inocv.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2217, 18, 19, 20, 21elocv 19162 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
23 3anan12 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2422, 23bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2524baib 911 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2625ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2716, 26bitr2d 257 . . . . 5  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2815, 27syl5bb 260 . . . 4  |-  ( z  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2928pm5.32i 641 . . 3  |-  ( ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  z  e. 
|^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )
) )
3017, 18, 19, 20, 21elocv 19162 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
31 3anan12 995 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
3230, 31bitri 252 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
33 elin 3655 . . 3  |-  ( z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
3429, 32, 333bitr4i 280 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) ) )
3534eqriv 2425 1  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   U_ciun 4302   |^|_ciin 4303   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .icip 15157   0gc0g 15297   ocvcocv 19154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-ocv 19157
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