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Theorem iunocv 18519
Description: The orthocomplement of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
iunocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
iunocv  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, W
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)   
._|_ ( x)

Proof of Theorem iunocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunss 4366 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  <->  A. x  e.  A  B  C_  V )
2 eliun 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
4 r19.23v 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
53, 4bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
65albii 1620 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 df-ral 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y
( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8 df-ral 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
98ralbii 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
10 ralcom4 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
126, 7, 113bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
131, 12anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
14 r19.26 2989 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
1513, 14bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
16 eliin 4331 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )
) )
17 iunocv.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
19 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
21 inocv.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2217, 18, 19, 20, 21elocv 18506 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
23 3anan12 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2524baib 901 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2625ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2716, 26bitr2d 254 . . . . 5  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2815, 27syl5bb 257 . . . 4  |-  ( z  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2928pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  z  e. 
|^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )
) )
3017, 18, 19, 20, 21elocv 18506 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
31 3anan12 986 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
3230, 31bitri 249 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
33 elin 3687 . . 3  |-  ( z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
3429, 32, 333bitr4i 277 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) ) )
3534eqriv 2463 1  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493  Scalarcsca 14561   .icip 14563   0gc0g 14698   ocvcocv 18498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-ocv 18501
This theorem is referenced by: (None)
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