Theorem iunmbl2 21697

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7537	. . 3 |- ( A ~<_ NN <-> ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) )
2		nnenom 12048	. . . . . 6 |- NN ~~ om
3		sdomentr 7643	. . . . . 6 |- ( ( A ~< NN /\ NN ~~ om ) -> A ~< om )
4	2, 3	mpan2 671	. . . . 5 |- ( A ~< NN -> A ~< om )
5		isfinite 8060	. . . . . 6 |- ( A e. Fin <-> A ~< om )
6		finiunmbl 21684	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
7	6	ex 434	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
8	5, 7	sylbir 213	. . . . 5 |- ( A ~< om -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
9	4, 8	syl 16	. . . 4 |- ( A ~< NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
10		bren 7517	. . . . 5 |- ( A ~~ NN <-> E. f f : A -1-1-onto-> NN )
11		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n f : A -1-1-onto-> NN
12		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n NN
13		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
14	13	nfcri 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
15	12, 14	nfrex 2922	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
16		f1of 5809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> f : A --> NN )
17	16	ffvelrnda 6014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. NN )
18	17	3adant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( f ` n ) e. NN )
19		simp3 993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
20		f1ocnvfv1 6163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
21	20	3adant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
22	21	eqcomd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> n = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
23		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` ( f ` n ) ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
25	19, 24	eleqtrd 2552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
26		fveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` n ) -> ( `' f ` k ) = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
27	26	csbeq1d 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
28	27	eleq2d 2532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) )
29	28	rspcev 3209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` n ) e. NN /\ x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
30	18, 25, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
31	30	3exp 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( n e. A -> ( x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) ) )
32	11, 15, 31	rexlimd 2942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
33		f1ocnvdm 6169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( `' f ` k ) e. A )
34		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` k ) -> B = [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
35	34	eleq2d 2532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' f ` k ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
36	14, 35	rspce 3204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) -> E. n e. A x e. B )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f ` k ) e. A -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
38	33, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
39	38	rexlimdva 2950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
40	32, 39	impbid 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
41		eliun 4325	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
42		eliun 4325	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
43	40, 41, 42	3bitr4g 288	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( x e. U_ n e. A B <-> x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
44	43	eqrdv 2459	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
45	44	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
46		rspcsbela 3848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
47	33, 46	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
48	47	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. NN ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
49	48	ralrimiva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
50		iunmbl 21693	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
52	45, 51	eqeltrd 2550	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	ex 434	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
54	53	exlimiv 1693	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
55	10, 54	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
56	9, 55	jaoi 379	. . 3 |- ( ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
57	1, 56	sylbi 195	. 2 |- ( A ~<_ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
58	57	imp 429	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   [_csb 3430   U_ciun 4320   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   omcom 6673   ~~ cen 7505   ~<_ cdom 7506   ~< csdm 7507   Fincfn 7508   NNcn 10527   volcvol 21605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-xmet 18178  df-met 18179  df-ovol 21606  df-vol 21607

This theorem is referenced by:  opnmblALT  21742  mbfimaopnlem  21792  mbfaddlem  21797  mbfsup  21801  dmvlsiga  27757