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Theorem iunmbl2 22052
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7464 . . 3  |-  ( A  ~<_  NN  <->  ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN ) )
2 nnenom 11993 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
3 sdomentr 7570 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  NN  /\  NN  ~~ 
om )  ->  A  ~<  om )
42, 3mpan2 669 . . . . 5  |-  ( A 
~<  NN  ->  A  ~<  om )
5 isfinite 7983 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
6 finiunmbl 22039 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
76ex 432 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
85, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
10 bren 7444 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> NN )
11 nfv 1715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  f : A -1-1-onto-> NN
12 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n NN
13 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1413nfcri 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1512, 14nfrex 2845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
16 f1of 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  f : A
--> NN )
1716ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
18173adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
19 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
20 f1ocnvfv1 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
21203adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
2221eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  n  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
23 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 ( f `  n ) )  ->  B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  B  =  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
2519, 24eleqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
26 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( `' f `  k
)  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
2726csbeq1d 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2827eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B 
<->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B ) )
2928rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  NN  /\  x  e.  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
3018, 25, 29syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
31303exp 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3211, 15, 31rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) )
33 f1ocnvdm 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' f `  k )  e.  A
)
34 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  ->  B  =  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
3534eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
3614, 35rspce 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
3736ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f `  k
)  e.  A  -> 
( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3833, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3938rexlimdva 2874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B ) )
4032, 39impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
41 eliun 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
42 eliun 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B )
4340, 41, 423bitr4g 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( x  e.  U_ n  e.  A  B 
<->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
4443eqrdv 2379 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
4544adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
46 rspcsbela 3773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4733, 46sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4847an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
50 iunmbl 22048 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5245, 51eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352ex 432 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5453exlimiv 1730 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
5510, 54sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
569, 55jaoi 377 . . 3  |-  ( ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN )  -> 
( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
571, 56sylbi 195 . 2  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5857imp 427 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   [_csb 3348   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496   omcom 6599    ~~ cen 7432    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   Fincfn 7435   NNcn 10452   volcvol 21960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-xmet 18525  df-met 18526  df-ovol 21961  df-vol 21962
This theorem is referenced by:  opnmblALT  22097  mbfimaopnlem  22147  mbfaddlem  22152  mbfsup  22156  dmvlsiga  28278
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