Theorem iunmbl2 22559

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7625	. . 3 |- ( A ~<_ NN <-> ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) )
2		nnenom 12225	. . . . . 6 |- NN ~~ om
3		sdomentr 7732	. . . . . 6 |- ( ( A ~< NN /\ NN ~~ om ) -> A ~< om )
4	2, 3	mpan2 682	. . . . 5 |- ( A ~< NN -> A ~< om )
5		isfinite 8183	. . . . . 6 |- ( A e. Fin <-> A ~< om )
6		finiunmbl 22546	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
7	6	ex 440	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
8	5, 7	sylbir 218	. . . . 5 |- ( A ~< om -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
9	4, 8	syl 17	. . . 4 |- ( A ~< NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
10		bren 7604	. . . . 5 |- ( A ~~ NN <-> E. f f : A -1-1-onto-> NN )
11		nfv 1772	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n f : A -1-1-onto-> NN
12		nfcv 2603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n NN
13		nfcsb1v 3391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
14	13	nfcri 2597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
15	12, 14	nfrex 2862	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
16		f1of 5837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> f : A --> NN )
17	16	ffvelrnda 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. NN )
18	17	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( f ` n ) e. NN )
19		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
20		f1ocnvfv1 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
21	20	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
22	21	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> n = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
23		csbeq1a 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` ( f ` n ) ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
25	19, 24	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
26		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` n ) -> ( `' f ` k ) = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
27	26	csbeq1d 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
28	27	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) )
29	28	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` n ) e. NN /\ x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
30	18, 25, 29	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
31	30	3exp 1214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( n e. A -> ( x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) ) )
32	11, 15, 31	rexlimd 2883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
33		f1ocnvdm 6208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( `' f ` k ) e. A )
34		csbeq1a 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` k ) -> B = [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
35	34	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' f ` k ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
36	14, 35	rspce 3157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) -> E. n e. A x e. B )
37	36	ex 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f ` k ) e. A -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
39	38	rexlimdva 2891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
40	32, 39	impbid 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
41		eliun 4297	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
42		eliun 4297	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
43	40, 41, 42	3bitr4g 296	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( x e. U_ n e. A B <-> x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
44	43	eqrdv 2460	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
45	44	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
46		rspcsbela 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
47	33, 46	sylan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
48	47	an32s 818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. NN ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
49	48	ralrimiva 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
50		iunmbl 22555	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
52	45, 51	eqeltrd 2540	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	ex 440	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
54	53	exlimiv 1787	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
55	10, 54	sylbi 200	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
56	9, 55	jaoi 385	. . 3 |- ( ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
57	1, 56	sylbi 200	. 2 |- ( A ~<_ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
58	57	imp 435	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   [_csb 3375   U_ciun 4292   class class class wbr 4416   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   omcom 6719   ~~ cen 7592   ~<_ cdom 7593   ~< csdm 7594   Fincfn 7595   NNcn 10637   volcvol 22464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xadd 11439  df-ioo 11668  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-xmet 19012  df-met 19013  df-ovol 22465  df-vol 22467

This theorem is referenced by:  opnmblALT  22610  mbfimaopnlem  22660  mbfaddlem  22665  mbfsup  22669  dmvlsiga  29000