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Theorem iunmbl2 21697
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7537 . . 3  |-  ( A  ~<_  NN  <->  ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN ) )
2 nnenom 12048 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
3 sdomentr 7643 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  NN  /\  NN  ~~ 
om )  ->  A  ~<  om )
42, 3mpan2 671 . . . . 5  |-  ( A 
~<  NN  ->  A  ~<  om )
5 isfinite 8060 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
6 finiunmbl 21684 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
76ex 434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
85, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
10 bren 7517 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> NN )
11 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  f : A -1-1-onto-> NN
12 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n NN
13 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1413nfcri 2617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1512, 14nfrex 2922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
16 f1of 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  f : A
--> NN )
1716ffvelrnda 6014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
18173adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
19 simp3 993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
20 f1ocnvfv1 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
21203adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
2221eqcomd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  n  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
23 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 ( f `  n ) )  ->  B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  B  =  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
2519, 24eleqtrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
26 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( `' f `  k
)  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
2726csbeq1d 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2827eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B 
<->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B ) )
2928rspcev 3209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  NN  /\  x  e.  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
3018, 25, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
31303exp 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3211, 15, 31rexlimd 2942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) )
33 f1ocnvdm 6169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' f `  k )  e.  A
)
34 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  ->  B  =  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
3534eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
3614, 35rspce 3204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
3736ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f `  k
)  e.  A  -> 
( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3833, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3938rexlimdva 2950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B ) )
4032, 39impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
41 eliun 4325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
42 eliun 4325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B )
4340, 41, 423bitr4g 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( x  e.  U_ n  e.  A  B 
<->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
4443eqrdv 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
4544adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
46 rspcsbela 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4733, 46sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4847an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
50 iunmbl 21693 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5245, 51eqeltrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352ex 434 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5453exlimiv 1693 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
5510, 54sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
569, 55jaoi 379 . . 3  |-  ( ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN )  -> 
( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
571, 56sylbi 195 . 2  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5857imp 429 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   [_csb 3430   U_ciun 4320   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   omcom 6673    ~~ cen 7505    ~<_ cdom 7506    ~< csdm 7507   Fincfn 7508   NNcn 10527   volcvol 21605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-xmet 18178  df-met 18179  df-ovol 21606  df-vol 21607
This theorem is referenced by:  opnmblALT  21742  mbfimaopnlem  21792  mbfaddlem  21797  mbfsup  21801  dmvlsiga  27757
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