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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iunmbl2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) |
Ref | Expression |
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iunmbl2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | brdom2 7625 |
. . 3
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2 | nnenom 12225 |
. . . . . 6
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3 | sdomentr 7732 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | mpan2 682 |
. . . . 5
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5 | isfinite 8183 |
. . . . . 6
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6 | finiunmbl 22546 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | ex 440 |
. . . . . 6
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8 | 5, 7 | sylbir 218 |
. . . . 5
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9 | 4, 8 | syl 17 |
. . . 4
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10 | bren 7604 |
. . . . 5
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11 | nfv 1772 |
. . . . . . . . . . . . 13
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12 | nfcv 2603 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | nfcsb1v 3391 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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14 | 13 | nfcri 2597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 12, 14 | nfrex 2862 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | f1of 5837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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17 | 16 | ffvelrnda 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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18 | 17 | 3adant3 1034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | simp3 1016 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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20 | f1ocnvfv1 6200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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21 | 20 | 3adant3 1034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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22 | 21 | eqcomd 2468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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23 | csbeq1a 3384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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25 | 19, 24 | eleqtrd 2542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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26 | fveq2 5888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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27 | 26 | csbeq1d 3382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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28 | 27 | eleq2d 2525 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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29 | 28 | rspcev 3162 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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30 | 18, 25, 29 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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31 | 30 | 3exp 1214 |
. . . . . . . . . . . . 13
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32 | 11, 15, 31 | rexlimd 2883 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | f1ocnvdm 6208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | csbeq1a 3384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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35 | 34 | eleq2d 2525 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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36 | 14, 35 | rspce 3157 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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37 | 36 | ex 440 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 33, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 38 | rexlimdva 2891 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 32, 39 | impbid 195 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | eliun 4297 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | eliun 4297 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 40, 41, 42 | 3bitr4g 296 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | eqrdv 2460 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | adantr 471 |
. . . . . . . 8
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46 | rspcsbela 3807 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 33, 46 | sylan 478 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 47 | an32s 818 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | ralrimiva 2814 |
. . . . . . . . 9
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50 | iunmbl 22555 |
. . . . . . . . 9
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51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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52 | 45, 51 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . 7
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53 | 52 | ex 440 |
. . . . . 6
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54 | 53 | exlimiv 1787 |
. . . . 5
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55 | 10, 54 | sylbi 200 |
. . . 4
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56 | 9, 55 | jaoi 385 |
. . 3
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57 | 1, 56 | sylbi 200 |
. 2
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58 | 57 | imp 435 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4529 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-inf2 8172 ax-cc 8891 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 ax-pre-sup 9643 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-fal 1461 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-disj 4388 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-se 4813 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-isom 5610 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-of 6558 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-1o 7208 df-2o 7209 df-oadd 7212 df-er 7389 df-map 7500 df-pm 7501 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-fin 7599 df-sup 7982 df-inf 7983 df-oi 8051 df-card 8399 df-cda 8624 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-div 10298 df-nn 10638 df-2 10696 df-3 10697 df-n0 10899 df-z 10967 df-uz 11189 df-q 11294 df-rp 11332 df-xadd 11439 df-ioo 11668 df-ico 11670 df-icc 11671 df-fz 11814 df-fzo 11947 df-fl 12060 df-seq 12246 df-exp 12305 df-hash 12548 df-cj 13211 df-re 13212 df-im 13213 df-sqrt 13347 df-abs 13348 df-clim 13601 df-rlim 13602 df-sum 13802 df-xmet 19012 df-met 19013 df-ovol 22465 df-vol 22467 |
This theorem is referenced by: opnmblALT 22610 mbfimaopnlem 22660 mbfaddlem 22665 mbfsup 22669 dmvlsiga 29000 |
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