Theorem iunmbl2 22052

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7464	. . 3 |- ( A ~<_ NN <-> ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) )
2		nnenom 11993	. . . . . 6 |- NN ~~ om
3		sdomentr 7570	. . . . . 6 |- ( ( A ~< NN /\ NN ~~ om ) -> A ~< om )
4	2, 3	mpan2 669	. . . . 5 |- ( A ~< NN -> A ~< om )
5		isfinite 7983	. . . . . 6 |- ( A e. Fin <-> A ~< om )
6		finiunmbl 22039	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
7	6	ex 432	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
8	5, 7	sylbir 213	. . . . 5 |- ( A ~< om -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
9	4, 8	syl 16	. . . 4 |- ( A ~< NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
10		bren 7444	. . . . 5 |- ( A ~~ NN <-> E. f f : A -1-1-onto-> NN )
11		nfv 1715	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n f : A -1-1-onto-> NN
12		nfcv 2544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n NN
13		nfcsb1v 3364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
14	13	nfcri 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
15	12, 14	nfrex 2845	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
16		f1of 5724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> f : A --> NN )
17	16	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. NN )
18	17	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( f ` n ) e. NN )
19		simp3 996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
20		f1ocnvfv1 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
21	20	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
22	21	eqcomd 2390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> n = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
23		csbeq1a 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` ( f ` n ) ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
25	19, 24	eleqtrd 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
26		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` n ) -> ( `' f ` k ) = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
27	26	csbeq1d 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
28	27	eleq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) )
29	28	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` n ) e. NN /\ x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
30	18, 25, 29	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
31	30	3exp 1193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( n e. A -> ( x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) ) )
32	11, 15, 31	rexlimd 2866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
33		f1ocnvdm 6089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( `' f ` k ) e. A )
34		csbeq1a 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` k ) -> B = [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
35	34	eleq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' f ` k ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
36	14, 35	rspce 3130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) -> E. n e. A x e. B )
37	36	ex 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f ` k ) e. A -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
38	33, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
39	38	rexlimdva 2874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
40	32, 39	impbid 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
41		eliun 4248	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
42		eliun 4248	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
43	40, 41, 42	3bitr4g 288	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( x e. U_ n e. A B <-> x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
44	43	eqrdv 2379	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
45	44	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
46		rspcsbela 3773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
47	33, 46	sylan 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
48	47	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. NN ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
49	48	ralrimiva 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
50		iunmbl 22048	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
52	45, 51	eqeltrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	ex 432	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
54	53	exlimiv 1730	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
55	10, 54	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
56	9, 55	jaoi 377	. . 3 |- ( ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
57	1, 56	sylbi 195	. 2 |- ( A ~<_ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
58	57	imp 427	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   [_csb 3348   U_ciun 4243   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496   omcom 6599   ~~ cen 7432   ~<_ cdom 7433   ~< csdm 7434   Fincfn 7435   NNcn 10452   volcvol 21960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-xmet 18525  df-met 18526  df-ovol 21961  df-vol 21962

This theorem is referenced by:  opnmblALT  22097  mbfimaopnlem  22147  mbfaddlem  22152  mbfsup  22156  dmvlsiga  28278