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Theorem iunmbl2 22559
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7625 . . 3  |-  ( A  ~<_  NN  <->  ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN ) )
2 nnenom 12225 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
3 sdomentr 7732 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  NN  /\  NN  ~~ 
om )  ->  A  ~<  om )
42, 3mpan2 682 . . . . 5  |-  ( A 
~<  NN  ->  A  ~<  om )
5 isfinite 8183 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
6 finiunmbl 22546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
76ex 440 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
85, 7sylbir 218 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
94, 8syl 17 . . . 4  |-  ( A 
~<  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
10 bren 7604 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> NN )
11 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  f : A -1-1-onto-> NN
12 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n NN
13 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1413nfcri 2597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1512, 14nfrex 2862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
16 f1of 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  f : A
--> NN )
1716ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
18173adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
19 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
20 f1ocnvfv1 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
21203adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
2221eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  n  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
23 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 ( f `  n ) )  ->  B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  B  =  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
2519, 24eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
26 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( `' f `  k
)  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
2726csbeq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2827eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B 
<->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B ) )
2928rspcev 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  NN  /\  x  e.  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
3018, 25, 29syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
31303exp 1214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3211, 15, 31rexlimd 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) )
33 f1ocnvdm 6208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' f `  k )  e.  A
)
34 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  ->  B  =  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
3534eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
3614, 35rspce 3157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
3736ex 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f `  k
)  e.  A  -> 
( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3938rexlimdva 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B ) )
4032, 39impbid 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
41 eliun 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
42 eliun 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B )
4340, 41, 423bitr4g 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( x  e.  U_ n  e.  A  B 
<->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
4443eqrdv 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
4544adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
46 rspcsbela 3807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4733, 46sylan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4847an32s 818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
50 iunmbl 22555 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5245, 51eqeltrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352ex 440 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5453exlimiv 1787 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
5510, 54sylbi 200 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
569, 55jaoi 385 . . 3  |-  ( ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN )  -> 
( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
571, 56sylbi 200 . 2  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5857imp 435 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   [_csb 3375   U_ciun 4292   class class class wbr 4416   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   omcom 6719    ~~ cen 7592    ~<_ cdom 7593    ~< csdm 7594   Fincfn 7595   NNcn 10637   volcvol 22464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xadd 11439  df-ioo 11668  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-xmet 19012  df-met 19013  df-ovol 22465  df-vol 22467
This theorem is referenced by:  opnmblALT  22610  mbfimaopnlem  22660  mbfaddlem  22665  mbfsup  22669  dmvlsiga  29000
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