Theorem iunmbl2 21156

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7441	. . 3 |- ( A ~<_ NN <-> ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) )
2		nnenom 11905	. . . . . 6 |- NN ~~ om
3		sdomentr 7547	. . . . . 6 |- ( ( A ~< NN /\ NN ~~ om ) -> A ~< om )
4	2, 3	mpan2 671	. . . . 5 |- ( A ~< NN -> A ~< om )
5		isfinite 7961	. . . . . 6 |- ( A e. Fin <-> A ~< om )
6		finiunmbl 21143	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
7	6	ex 434	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
8	5, 7	sylbir 213	. . . . 5 |- ( A ~< om -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
9	4, 8	syl 16	. . . 4 |- ( A ~< NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
10		bren 7421	. . . . 5 |- ( A ~~ NN <-> E. f f : A -1-1-onto-> NN )
11		nfv 1674	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n f : A -1-1-onto-> NN
12		nfcv 2613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n NN
13		nfcsb1v 3404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
14	13	nfcri 2606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
15	12, 14	nfrex 2882	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
16		f1of 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> f : A --> NN )
17	16	ffvelrnda 5944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. NN )
18	17	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( f ` n ) e. NN )
19		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
20		f1ocnvfv1 6084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
21	20	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
22	21	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> n = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
23		csbeq1a 3397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` ( f ` n ) ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
25	19, 24	eleqtrd 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
26		fveq2 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` n ) -> ( `' f ` k ) = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
27	26	csbeq1d 3395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
28	27	eleq2d 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) )
29	28	rspcev 3171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` n ) e. NN /\ x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
30	18, 25, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
31	30	3exp 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( n e. A -> ( x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) ) )
32	11, 15, 31	rexlimd 2936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
33		f1ocnvdm 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( `' f ` k ) e. A )
34		csbeq1a 3397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` k ) -> B = [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
35	34	eleq2d 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' f ` k ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
36	14, 35	rspce 3166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) -> E. n e. A x e. B )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f ` k ) e. A -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
38	33, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
39	38	rexlimdva 2939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
40	32, 39	impbid 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
41		eliun 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
42		eliun 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
43	40, 41, 42	3bitr4g 288	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( x e. U_ n e. A B <-> x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
44	43	eqrdv 2448	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
45	44	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
46		rspcsbela 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
47	33, 46	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
48	47	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. NN ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
49	48	ralrimiva 2822	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
50		iunmbl 21152	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
52	45, 51	eqeltrd 2539	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	ex 434	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
54	53	exlimiv 1689	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
55	10, 54	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
56	9, 55	jaoi 379	. . 3 |- ( ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
57	1, 56	sylbi 195	. 2 |- ( A ~<_ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
58	57	imp 429	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   [_csb 3388   U_ciun 4271   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518   omcom 6578   ~~ cen 7409   ~<_ cdom 7410   ~< csdm 7411   Fincfn 7412   NNcn 10425   volcvol 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xadd 11193  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-xmet 17921  df-met 17922  df-ovol 21066  df-vol 21067

This theorem is referenced by:  opnmblALT  21201  mbfimaopnlem  21251  mbfaddlem  21256  mbfsup  21260  dmvlsiga  26708