MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Unicode version

Theorem iunmbl 21714
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables  i 
k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  dom  vol
2 nfcsb1v 3451 . . . . . 6  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
32nfel1 2645 . . . . 5  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
4 csbeq1a 3444 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
54eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
61, 3, 5cbvral 3084 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
7 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
87, 2, 4cbviun 4362 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A
9 csbeq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
109iundisj 21709 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
118, 10eqtri 2496 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
12 difexg 4595 . . . . . . 7  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
1312ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
14 dfiun2g 4357 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  =  U. {
y  |  E. k  e.  NN  y  =  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) } )
1611, 15syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
176, 16sylbi 195 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) )  =  ( k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )
1918rnmpt 5247 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  =  { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2019unieqi 4254 . . 3  |-  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  = 
U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2117, 20syl6eqr 2526 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
223, 5rspc 3208 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
2322impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
24 fzofi 12051 . . . . . 6  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
25 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ m  A  e.  dom  vol
26 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
2726nfel1 2645 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol
28 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
2928eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3025, 27, 29cbvral 3084 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
31 elfzouz 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
32 nnuz 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3331, 32syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
3433ssriv 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ k )  C_  NN
35 ssralv 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1..^ k )  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3730, 36sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
39 finiunmbl 21705 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
4024, 38, 39sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
41 difmbl 21704 . . . . 5  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )  -> 
( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4223, 40, 41syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4342, 18fmptd 6044 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) : NN --> dom  vol )
44 csbeq1 3438 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  [_ i  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
4544iundisj2 21710 . . . 4  |- Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)
46 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
47 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
4847nfel1 2645 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol
49 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5049eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
5148, 50rspc 3208 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
5251impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
53 difexg 4595 . . . . . . 7  |-  ( [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )
55 csbeq1 3438 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ i  /  n ]_ A )
56 oveq2 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ i ) )
5756iuneq1d 4350 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  =  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )
5855, 57difeq12d 3623 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  (
[_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) )
5958, 18fvmptg 5947 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6046, 54, 59syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6160disjeq2dv 4422 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  (Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  <-> Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
6245, 61mpbiri 233 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  -> Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
) )
63 eqid 2467 . . 3  |-  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  (
( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) `  y ) ) ) )
6443, 62, 63voliunlem2 21712 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  e. 
dom  vol )
6521, 64eqeltrd 2555 1  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   1c1 9492   NNcn 10535   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791   vol*covol 21625   volcvol 21626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cc 8814  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xadd 11318  df-ioo 11532  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-xmet 18199  df-met 18200  df-ovol 21627  df-vol 21628
This theorem is referenced by:  volsup  21717  iunmbl2  21718  vitalilem4  21771  vitalilem5  21772  ismbf3d  21812  itg2gt0  21918  voliune  27857
  Copyright terms: Public domain W3C validator