MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Unicode version

Theorem iunmbl 22383
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables  i 
k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1754 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  dom  vol
2 nfcsb1v 3417 . . . . . 6  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
32nfel1 2607 . . . . 5  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
4 csbeq1a 3410 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
54eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
61, 3, 5cbvral 3058 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
7 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
87, 2, 4cbviun 4339 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A
9 csbeq1 3404 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
109iundisj 22378 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
118, 10eqtri 2458 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
12 difexg 4573 . . . . . . 7  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
1312ralimi 2825 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
14 dfiun2g 4334 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  =  U. {
y  |  E. k  e.  NN  y  =  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) } )
1611, 15syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
176, 16sylbi 198 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
18 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) )  =  ( k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )
1918rnmpt 5100 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  =  { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2019unieqi 4231 . . 3  |-  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  = 
U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2117, 20syl6eqr 2488 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
223, 5rspc 3182 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
2322impcom 431 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
24 fzofi 12184 . . . . . 6  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
25 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ m  A  e.  dom  vol
26 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
2726nfel1 2607 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol
28 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
2928eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3025, 27, 29cbvral 3058 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
31 fzossnn 11961 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ k )  C_  NN
32 ssralv 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1..^ k )  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3430, 33sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3534adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
36 finiunmbl 22374 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3724, 35, 36sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
38 difmbl 22373 . . . . 5  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )  -> 
( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
3923, 37, 38syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4039, 18fmptd 6061 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) : NN --> dom  vol )
41 csbeq1 3404 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  [_ i  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
4241iundisj2 22379 . . . 4  |- Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)
43 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
44 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
4544nfel1 2607 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol
46 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
4746eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
4845, 47rspc 3182 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
4948impcom 431 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
50 difexg 4573 . . . . . . 7  |-  ( [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
5149, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )
52 csbeq1 3404 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ i  /  n ]_ A )
53 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ i ) )
5453iuneq1d 4327 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  =  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )
5552, 54difeq12d 3590 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  (
[_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) )
5655, 18fvmptg 5962 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
5743, 51, 56syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
5857disjeq2dv 4402 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  (Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  <-> Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
5942, 58mpbiri 236 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  -> Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
) )
60 eqid 2429 . . 3  |-  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  (
( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) `  y ) ) ) )
6140, 59, 60voliunlem2 22381 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  e. 
dom  vol )
6221, 61eqeltrd 2517 1  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   [_csb 3401    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   U.cuni 4222   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   1c1 9539   NNcn 10609  ..^cfzo 11913   vol*covol 22294   volcvol 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297
This theorem is referenced by:  volsup  22386  iunmbl2  22387  vitalilem4  22446  vitalilem5  22447  ismbf3d  22487  itg2gt0  22595  voliune  28891
  Copyright terms: Public domain W3C validator