MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Unicode version

Theorem iunmbl 21034
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables  i 
k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  dom  vol
2 nfcsb1v 3304 . . . . . 6  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
32nfel1 2589 . . . . 5  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
4 csbeq1a 3297 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
54eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
61, 3, 5cbvral 2943 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
7 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
87, 2, 4cbviun 4207 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A
9 csbeq1 3291 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
109iundisj 21029 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
118, 10eqtri 2463 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
12 difexg 4440 . . . . . . 7  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
1312ralimi 2791 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
14 dfiun2g 4202 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  =  U. {
y  |  E. k  e.  NN  y  =  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) } )
1611, 15syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
176, 16sylbi 195 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) )  =  ( k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )
1918rnmpt 5085 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  =  { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2019unieqi 4100 . . 3  |-  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  = 
U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2117, 20syl6eqr 2493 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
223, 5rspc 3067 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
2322impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
24 fzofi 11796 . . . . . 6  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
25 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ m  A  e.  dom  vol
26 nfcsb1v 3304 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
2726nfel1 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol
28 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
2928eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3025, 27, 29cbvral 2943 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
31 elfzouz 11557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
32 nnuz 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3331, 32syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
3433ssriv 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ k )  C_  NN
35 ssralv 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1..^ k )  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3730, 36sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
39 finiunmbl 21025 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
4024, 38, 39sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
41 difmbl 21024 . . . . 5  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )  -> 
( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4223, 40, 41syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4342, 18fmptd 5867 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) : NN --> dom  vol )
44 csbeq1 3291 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  [_ i  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
4544iundisj2 21030 . . . 4  |- Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)
46 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
47 nfcsb1v 3304 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
4847nfel1 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol
49 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5049eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
5148, 50rspc 3067 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
5251impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
53 difexg 4440 . . . . . . 7  |-  ( [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )
55 csbeq1 3291 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ i  /  n ]_ A )
56 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ i ) )
5756iuneq1d 4195 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  =  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )
5855, 57difeq12d 3475 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  (
[_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) )
5958, 18fvmptg 5772 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6046, 54, 59syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6160disjeq2dv 4267 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  (Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  <-> Disj  i  e.  NN  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
6245, 61mpbiri 233 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  -> Disj  i  e.  NN  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
) )
63 eqid 2443 . . 3  |-  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  (
( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) `  y ) ) ) )
6443, 62, 63voliunlem2 21032 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  e. 
dom  vol )
6521, 64eqeltrd 2517 1  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   [_csb 3288    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   U.cuni 4091   U_ciun 4171  Disj wdisj 4262    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861  ..^cfzo 11548   vol*covol 20946   volcvol 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-xmet 17810  df-met 17811  df-ovol 20948  df-vol 20949
This theorem is referenced by:  volsup  21037  iunmbl2  21038  vitalilem4  21091  vitalilem5  21092  ismbf3d  21132  itg2gt0  21238  voliune  26645
  Copyright terms: Public domain W3C validator