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Theorem iuninc 23964
Description: The union of an increasing collection of sets is its last element. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iuninc.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
iuninc.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
iuninc  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i
) ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
Distinct variable groups:    i, n    n, F    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)

Proof of Theorem iuninc
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... 1
) )
21iuneq1d 4076 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) )
3 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
1 ) )
42, 3eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  =  ( F `  j )  <->  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  ( F `  1 ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( j  =  1  ->  (
( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  ( F `  j ) )  <->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) ) ) )
6 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... k
) )
76iuneq1d 4076 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )
8 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
97, 8eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  =  ( F `  j )  <->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  =  ( F `  k ) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  ( F `  j ) )  <->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) ) ) )
11 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
1211iuneq1d 4076 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
13 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  =  ( F `  j )  <->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  ( F `  j ) )  <->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... i
) )
1716iuneq1d 4076 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n ) )
18 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  j )  =  ( F `  i ) )
1917, 18eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( j  =  i  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  =  ( F `  j )  <->  U_ n  e.  ( 1 ... i
) ( F `  n )  =  ( F `  i ) ) )
2019imbi2d 308 . . 3  |-  ( j  =  i  ->  (
( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  =  ( F `  j ) )  <->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n )  =  ( F `  i ) ) ) )
21 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
22 fzsn 11050 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
24 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
)
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
26 1ex 9042 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
27 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
2826, 27iunxsn 4130 . . . . 5  |-  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 )
2925, 28eqtri 2424 . . . 4  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  ( F `  1 )
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  =  ( F `
 1 ) )
31 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  -> 
k  e.  NN )
32 elnnuz 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fzsuc 11052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
3432, 33sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
3534iuneq1d 4076 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } ) ( F `  n
) )
36 iunxun 4132 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  U_ n  e.  { (
k  +  1 ) }  ( F `  n ) )
37 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
3937, 38iunxsn 4130 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  { ( k  +  1 ) }  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) )
4039uneq2i 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  U_ n  e. 
{ ( k  +  1 ) }  ( F `  n )
)  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
4136, 40eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
4235, 41syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
4331, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  ->  U_ n  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
44 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  ->  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
4544uneq1d 3460 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  -> 
( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 k )  u.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
46 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  ->  ph )
47 iuninc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4847sbt 2082 . . . . . . . . 9  |-  [ k  /  n ] ( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) ) )
49 sbim 2114 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ k  /  n ]
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( [
k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  NN )  ->  [ k  /  n ] ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
50 sban 2118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  NN )  <->  ( [
k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  NN ) )
51 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n ph
5251sbf 2075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ k  /  n ] ph 
<-> 
ph )
53 clelsb3 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ k  /  n ]
n  e.  NN  <->  k  e.  NN )
5452, 53anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
5550, 54bitr2i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  <->  [ k  /  n ] ( ph  /\  n  e.  NN )
)
56 sbsbc 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ k  /  n ]
( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  [. k  /  n ]. ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
57 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  k  e. 
_V
58 sbcss 3698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  _V  ->  ( [. k  /  n ]. ( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  [_ k  /  n ]_ ( F `  n )  C_  [_ k  /  n ]_ ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. k  /  n ]. ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) )  <->  [_ k  /  n ]_ ( F `  n
)  C_  [_ k  /  n ]_ ( F `  ( n  +  1
) ) )
60 csbfv2g 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  n ]_ ( F `
 n )  =  ( F `  [_ k  /  n ]_ n ) )
6157, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ k  /  n ]_ ( F `
 n )  =  ( F `  [_ k  /  n ]_ n )
62 csbvarg 3238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  n ]_ n  =  k )
6357, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ k  /  n ]_ n  =  k
6463fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 [_ k  /  n ]_ n )  =  ( F `  k )
6561, 64eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ k  /  n ]_ ( F `
 n )  =  ( F `  k
)
66 csbfv2g 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  n ]_ ( F `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( F `  [_ k  /  n ]_ ( n  +  1 ) ) )
6757, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ k  /  n ]_ ( F `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( F `  [_ k  /  n ]_ ( n  +  1 ) )
68 csbov1g 6073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  n ]_ ( n  +  1 )  =  ( [_ k  /  n ]_ n  +  1 ) )
6957, 68ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ k  /  n ]_ ( n  +  1 )  =  ( [_ k  /  n ]_ n  +  1 )
7069fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 [_ k  /  n ]_ ( n  +  1 ) )  =  ( F `  ( [_ k  /  n ]_ n  +  1 ) )
7163oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ k  /  n ]_ n  +  1 )  =  ( k  +  1 )
7271fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 ( [_ k  /  n ]_ n  + 
1 ) )  =  ( F `  (
k  +  1 ) )
7367, 70, 723eqtri 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ k  /  n ]_ ( F `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( F `  (
k  +  1 ) )
7465, 73sseq12i 3334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ k  /  n ]_ ( F `  n )  C_ 
[_ k  /  n ]_ ( F `  (
n  +  1 ) )  <->  ( F `  k )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
7556, 59, 743bitrri 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) 
C_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  [ k  /  n ] ( F `
 n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
7655, 75imbi12i 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( [
k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  NN )  ->  [ k  /  n ] ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
7749, 76bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ]
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
7848, 77mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
79 ssequn1 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) 
C_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( F `  k )  u.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8078, 79sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
8146, 31, 80syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  -> 
( ( F `  k )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )
8243, 45, 813eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  ->  U_ n  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8382exp31 588 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  =  ( F `  k )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  =  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
8483a2d 24 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  =  ( F `  k ) )  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  =  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
855, 10, 15, 20, 30, 84nnind 9974 . 2  |-  ( i  e.  NN  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i ) ( F `  n
)  =  ( F `
 i ) ) )
8685impcom 420 1  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... i
) ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649   [wsb 1655    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121   [_csb 3211    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   U_ciun 4053    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  meascnbl  24526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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