Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunfo Structured version   Unicode version

Theorem iunfo 8971
 Description: Existence of an onto function from a disjoint union to a union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iunfo.1
Assertion
Ref Expression
iunfo
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem iunfo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fo2nd 6828 . . . 4
2 fof 5810 . . . 4
3 ffn 5746 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ssv 3484 . . 3
6 fnssres 5707 . . 3
74, 5, 6mp2an 676 . 2
8 df-ima 4866 . . 3
9 iunfo.1 . . . . . . . . . . 11
109eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10
11 eliun 4304 . . . . . . . . . 10
1210, 11bitri 252 . . . . . . . . 9
13 xp2nd 6838 . . . . . . . . . . 11
14 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl5ib 222 . . . . . . . . . 10
1615reximdv 2896 . . . . . . . . 9
1712, 16syl5bi 220 . . . . . . . 8
1817impcom 431 . . . . . . 7
1918rexlimiva 2910 . . . . . 6
20 nfiu1 4329 . . . . . . . . 9
219, 20nfcxfr 2578 . . . . . . . 8
22 nfv 1755 . . . . . . . 8
2321, 22nfrex 2885 . . . . . . 7
24 ssiun2 4342 . . . . . . . . . . . 12
2524adantr 466 . . . . . . . . . . 11
26 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12
27 ssnid 4027 . . . . . . . . . . . . 13
28 opelxp 4883 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28mpbiran 926 . . . . . . . . . . . 12
3026, 29sylibr 215 . . . . . . . . . . 11
3125, 30sseldd 3465 . . . . . . . . . 10
3231, 9syl6eleqr 2518 . . . . . . . . 9
33 vex 3083 . . . . . . . . . 10
34 vex 3083 . . . . . . . . . 10
3533, 34op2nd 6816 . . . . . . . . 9
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11
3736eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10
3837rspcev 3182 . . . . . . . . 9
3932, 35, 38sylancl 666 . . . . . . . 8
4039ex 435 . . . . . . 7
4123, 40rexlimi 2904 . . . . . 6
4219, 41impbii 190 . . . . 5
43 fvelimab 5937 . . . . . 6
444, 5, 43mp2an 676 . . . . 5
45 eliun 4304 . . . . 5
4642, 44, 453bitr4i 280 . . . 4
4746eqriv 2418 . . 3
488, 47eqtr3i 2453 . 2
49 df-fo 5607 . 2
507, 48, 49mpbir2an 928 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wrex 2772  cvv 3080   wss 3436  csn 3998  cop 4004  ciun 4299   cxp 4851   crn 4854   cres 4855  cima 4856   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  cfv 5601  c2nd 6806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fo 5607  df-fv 5609  df-2nd 6808 This theorem is referenced by:  iundomg  8973
 Copyright terms: Public domain W3C validator